Задача 4.1.

Для балки, показанной на рис.4.6, построим эпюры Q_y и M_z , подберём сечение балки в виде стального прокатного двутавра. В расчётах примем коэффициент надёжности по нагрузке _f = 1,2, коэффициент условий работы _с = = 1,0, расчётное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см², расчётное сопротивление при сдвиге R_s = 130 МПа = 13 кН/см², предел текучести _т = = 230 МПа = 23 кН/см².

Расчёт начнём с определения опорных реакций и построения эпюр Q_y и M_z.

М_А = 0, R_B·5 – 40·1·5,5 – 20·2,5 + 10 = 0, R_B = 52 кН ;

М_В = 0, – R_А·5 + 10 + 20·2,5 – 40·1·0,5 = 0, R_А = 8 кН ;

Y = 0 (проверка), 20 + 40·1 – 8 – 52 = 60 – 60 = 0.

Э

пюры Q_y и M_z приведены на рис.4.6. Опасным сечением является сечение над опорой В, где Q = Q_нб = 40 кН и M = М_нб = 20 кНм.

Вычислим расчётные значения наибольшего изгибающего момента и наибольшей поперечной силы:

М_расч = М_нбg_f = 20·1,2 = 24 кНм;

Q_расч = Q_нбg_f = 40·1,2 = 48 кН

и требуемый момент сопротивления

П

Рис.4.6

Рис.2.1

о сортаменту принимаем двутавр I18 и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения (рис.4.7).

h = 18 см , b = 9 см , d = 0,51 см , t = 0,81 см ;

J_z = 1290 см⁴ , W = 143 см³ , см³.

Вычисляем статический момент полки относительно нейтральной оси Оz

.

Для опасного сечения, где Q_y и M_z имеют наибольшие значения, построим эпюры _х и _ух. С этой целью найдём характерные значения напряжений и проверим прочность балки по нормальным и касательным напряжениям:

Рис.4.7

Эпюры нормальных напряжений _х и касательных напряжений _ух приведены на рис.4.7.

Вычислим значения главных напряжений и углы наклона нормалей к главным площадкам в опасном сечении балки, в стенке, на уровне её сопряжения с полкой (у = 9 – 0,81 = 8,19 см) в зоне растяжения.

кН/см² = 152 МПа , _ух = ₁ = 45,7 МПа ;

На рис.4.8 показаны нормальные, касательные и главные напряжения, действующие на гранях бесконечно малых элементов, выделенных из стенки

двутавра, на уровне сопряжения с полкой.

П

роверяем условие прочности по главным напряжениям

_{1 =} 164,7 МПа <

< _cR = 210 МПа .

Рис.4.8

Вычисляем значение предельного момента в

пластической стадии деформирования. С учётом формул (18) и (19), имеем

М_пред = 2_т= 2·23·81,4 = 3744,4 кНсм = 37,4 кНм .

Пластический шарнир образуется в сечении над опорой В , где действует наибольший изгибающий момент.

Вычислим величину коэффициента запаса

Задача 4.2.

Для балки, показанной на рис.4.9, построим эпюры Qy и Mz , подберём сечение балки в виде стального прокатного двутавра.

В

расчётах примем _f = 1,2, _с = 0,9, R = 210 МПа = 21 кН/см², R_s = 130 МПа = = 13 кН/см², _т = 230 МПа = 23 кН/см².

Определим опорные реакции и построим эпюры Q_y и М_z:

М_А = 0, R_B·4 + 20·1,5 – 30·2·1 –

– 45·2 – 20 = 0, R_B = 35 кН ;

М_В = 0, – R_А·4 + 20·5,5 + 30·2·3 +

+ 45·2 – 20 = 0, R_А = 90 кН ;

Y = 0 (проверка), 20 + 30·2 +45 – 90 –

– 35 = 125 – 125 = 0.

Эпюры Q_y и М_z приведены на рис.4.9. Поперечная сила Q_y имеет наибольшее значение в сечении над опорой А (х =

=

Рис.4.9

1,5 м), а изгибающий момент М_z – в сечении х = 3,5 м.

Вычислим расчётные значения наибольшего изгибающего момента и поперечной силы для опасного сечения (х = = 3,5 м)

М_расч = М_нбg_f = 50·1,2 = 60 кНм ;

Q_расч = Q_нбg_f = 35·1,2 = 42 кН .

требуемый момент сопротивления равен

По сортаменту принимаем двутавр I27 и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения (рис.4.10,а).

h = 27 см , b = 12,5 см , d = 0,6 см , t = 0,98 см ;

J_z = 5010 см⁴ , W = 371 см³ , см³.

Вычисляем статический момент полки относительно нейтральной оси Оz

Рис.4.10

Для опасного сечения построим эпюры _х и _yx. найдём наибольшее значение нормальных напряжений и проверим условие прочности:

Найдём характерные значения касательных напряжений:

;

Эпюры напряжений _х и _yx для опасного сечения (х = 3,5 м) приведены на рис.4.10,б,в.

Для построения эпюры _yx в сечении х = 1,5 м, где Q_y имеет наибольшее значение, и проверки условия прочности по касательным напряжениям найдём _нб и ₁. Учитывая, что для этого сечения

Q_расч = Q_нбg_f = 70·1,2 = 84 кН ,

получим

Эпюра _yx для сечения х = 1,5 м показана на рис.4.10,г.

Вычислим значения главных напряжений и углы наклона нормалей к главным площадкам в опасном сечении балки, в стенке, на уровне её сопряжения с полкой (у = 13,5 – 0,98 = 12,52 см) в зоне растяжения.

Учитывая, что в этом случае

кН/см² = 150 МПа , _ух = ₁ = – 22,3 МПа ,

получим

Н

Рис.4.11

а рис.4.11 показаны нормальные, касательные и главные напряжения, действующие на гранях бесконечно малых элементов, выделенных из стенки двутавра, на уровне сопряжения с полкой.

Проверяем условие прочности по главным напряжениям

_{1 =} 153,2 МПа < _cR = 0,9·210 = 189 МПа .

Вычисляем значение предельного момента в пластической стадии деформирования.

М_пред = 2_т= 2·23·210 = 9660 кНсм = 96,6 кНм .

Пластический шарнир образуется в опасном сечении (х = 3,5 м) , где действует наибольший изгибающий момент.

величина действительного коэффициента запаса равна

Задача 4.3.

Для стальной балки указанного на рис.4.12 сечения определим из условия прочности по методу предельных состояний величину расчётной нагрузки q . Построим эпюру _х для опасного сечения. В расчетах примем R = 210 МПа = = 21 кН/см², _с = 0,9.

Определяем опорные реакции.

М_А = 0 ,  q52,5  2q15,5  5R_B = 0 , R_B = 4,7q ;

М_В = 0 , q52,5  2q10,5  5R_А = 0 , R_А = 2,3q ;

Y = 0 (проверка) , q5  2q1  2,3q  4,7q = 7q  7q = 0 .

Рис.4.12

Строим эпюры Q_у и М_z (рис.4.12,а). Определяем экстремальное значение изгибающего момента в пролете. Из пропорции находим

, x₀ = 2,3 м ;

.

Определяем положение центра тяжести сечения и моменты сопротивления для верхних и нижних волокон балки (рис.4.12,б). Данные для сечения прокатного швеллера ^[30 берем из сортамента.

см³ ;

см ;

см⁴ ;

см³ , см³ .

Поскольку материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (R_р = R_c = R), то достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности (14) в сечении с наибольшим изгибающим моментом (сечение С).

.

Из этого условия находим

.

Отсюда находим величину расчётной нагрузки

Числовой коэффициент 2,645 в выражении для М_расч имеет размерность м². Поэтому для выражения М_расч в кНсм надо ввести множитель 10⁴.

определяем значения нормальных напряжений в крайних волокнах балки в сечении С.

;

.

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

Эпюра _х для сечения С приведена на рис.4.12,в.

Задача 4.4.

Для балки указанного сечения (рис.4.13) определим величину расчётной нагрузки q из условия прочности по нормальным напряжениям и построим эпюру  в опасном сечении. В расчетах примем R = 210 МПа = 21 кН/см², _с = 1,0.

Определяем опорные реакции.

М_А = 0 , q10,5  q23  4R_В = 0 , R_В = 1,375q;

М_В = 0 , q14,5 + q21  4R_А = 0 , R_А = 1,625q;

 = 0 (проверка) , q1  q2  1,625q  1,375q = 3q  3q = 0 .

Рис.4.13

Строим эпюры Q_у и М_z (рис.4.13,а). Определяем экстремальное значение изгибающего момента в пролете. Из пропорции находим:

, х₀ = 1,375 м ;

.

Числовые коэффициенты у изгибающих моментов имеют размерность м².

Определяем положение центра тяжести сечения и моменты сопротивления для верхних и нижних волокон сечения (рис.4.13,б).

;

;

, .

Поскольку материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности (4.14) в сечении с наибольшим изгибающим моментом

;

.

Отсюда находим: . Размерность числового коэффициента у изгибающего момента переведена в сантиметры.

определяем напряжения в крайних волокнах балки в сечении С.

;

.

Прочность балки обеспечена. Эпюра _х приведена на рис.4.13,в.

Задача 4.5.

Для чугунной балки указанного поперечного сечения (рис.4.14) определим грузоподъемность и построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Допускаемые напряжения чугуна при растяжении и сжатии равны

[_р] = 80 МПа = 8 кН/см², [_с] = 150 МПа = 15 кН/см².

Рис.4.14

Используя уравнения статики, определяем опорные реакции

R_A = 0,5 Р , R_В = 2,5 Р ,

и строим эпюру изгибающих моментов M_z (рис.4.14,а).

Используя в качестве вспомогательной ось О₁z₁, проходящую через центр тяжести нижнего прямоугольника (рис.4.14,б), определим положение центра тяжести сечения

см .

Вычислим осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси Оz и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон:

см⁴ ;

см³ , см³.

Для определения величины наибольшей допустимой силы Р используем условия прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям для двух сечений балки  сечения С, где действует наибольший изгибающий момент М_С = 0,5Р, растягивающий нижние волокна, и сечения В, где действует наибольший изгибающий момент М_В = Р, растягивающий верхние волокна.

В сечении С наибольшие растягивающие напряжения в нижних волокнах равны (рис.4.14,в)

Из условия прочности

находим

, кН .

Проверка прочности по наибольшим сжимающим напряжениям не требуется, так как в сечении С , а .

В сечении В наибольшие растягивающие напряжения возникают в верхних волокнах

Из условия прочности

находим

, кН .

Наибольшие сжимающие напряжения в нижних волокнах равны

.

Из условия прочности

находим

, кН .

Таким образом более опасным является сечение В, и допустимая величина силы равна Р = 179,36 кН.

Определим напряжения в нижних и верхних волокнах опасного сечения

кН/см² = – 148,6 МПа ;

кН/см² = 80 МПа .

Эпюра нормальных напряжений в сечении В приведена на рис.4.14,в.

Задача 4.6.

Для балки указанного поперечного сечения (рис.4.15) определим грузоподъемность и построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Материал балки – чугун. Допускаемое напряжение при растяжении [_р] = = 80 МПа, при сжатии [_с] = 150 МПа.

Рис.4.15

строим эпюру изгибающих моментов M_z (рис.4.15,а). Числовой коэффициент на эпюре M_z имеет размерность м².

Используя вспомогательную ось О₁z₁ , определим положение центра тяжести сечения (рис.4.15,б)

.

Определим осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси Оz и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон.

;

, см³ .

Для определения несущей способности балки определим из условий прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям параметр нагрузки Р.

На участке ВС балки растянуты верхние волокна

Из условия прочности

находим

Проверка прочности по наибольшим сжимающим напряжениям на участке ВС балки не требуется, так как < _в, а .

В сечении А растянуты нижние волокна

Из условия прочности

находим

, .

Наибольшие сжимающие напряжения в верхних волокнах равны

Из условия прочности

получим

,

таким образом, более опасным является сечение А. Допустимая величина параметра нагрузки равна Р = 26,24 кН.

Определим нормальные напряжения в нижних и верхних волокнах опасного сечения

Эпюра нормальных напряжений приведена на рис.4.15,в.