4. Определение напряжений в балках при изгибе.

Расчёт на прочность.

П

ри прямом изгибе балки в плоскости Оху в её поперечных сечениях действуют нормальные и касательные напряжения

(4.1)

(4.2)

В

Рис.4.1

этих формулах M_z и Q_y – изгибающий момент и поперечная сила; S_отс(у) – статический момент отсечённой части сечения F_отс относительно нейтральной оси Оz; b(y) – ширина сечения (рис.4.1).

Из формулы (4.1) следует, что нормальные напряжения _х принимают наибольшее и наименьшее значения в нижних (y = h_н) и в верхних (y = – h_в) волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси (рис.4.2,а,б).

Рис.4.2

При этом

(4.3)

где

(4.4)

Величины W_н и W_в называются моментами сопротивления сечения для нижних и верхних волокон.

Наибольшие напряжения определяются по формуле

(4.5)

где W_нм – меньший из моментов сопротивления W_н и W_в .

Рис.4.3

Для сечений симметричных относительно нейтральной оси (рис.4.3), h_н = h_в = h/2 и W_н = W_в = W = J_z/0,5h . При этом наибольшие напряжения определяются по формуле

(4.6)

В балках прямоугольного сечения касательные напряжения _yx изменяются по высоте сечения балки по закону квадратной параболы. Наибольшие значения они имеют в точках на уровне нейтральной оси (рис.4.4,а).

Значения _нб = _max и ₁ на уровне сопряжения полки и стенки двутавра (рис.4.4,б) вычисляются по формулам

, (4.7)

где – статический момент половины сечения двутавра; S_п – статический момент полки. При этом

. (4.8)

Рис.4.4

При изгибе балки величины главных напряжений ₁ и ₂ и углы наклона нормалей к главным площадкам ₁ и ₂ определяются по формулам

; (4.9)

. (4.10)

При расчёте изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчёта по предельным состояниям. В этом случае условие прочности записывается в виде

_нб ≤ _сR , (4.11)

где R – расчётное сопротивление материала балки, а _с – коэффициент условий работы.

Для хрупких материалов расчётное сопротивление при растяжении R_р существенно меньше, чем при сжатии R_с . В этом случае должны выполняться условия прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям

, . (4.12)

В случае расчёта на прочность по методу допускаемых напряжений в формулах (4.11) и (4.12) величины в правых частях необходимо заменить соответственно на [], [_р] и [_с].

Для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, с поперечным сечением, симметричным относительно нейтральной оси, условие прочности (4.11) записывается в виде

_нб = ≤ _сR . (4.13)

Для сечений, несимметричных относительно нейтральной оси (типа тавра и др.)

_нб = ≤ _сR . (4.14)

В формулах (4.13) и (4.14) М_расч = _f М_нб – наибольший изгибающий момент в опасном сечении балки от расчётных нагрузок, _f – коэффициент надёжности по нагрузке.

С использованием условий прочности (4.11) – (4.14) решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузоподъёмности).

Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала.

Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала. В этом случае используются расчётные формулы, получаемые из условий прочности (4.13) или (4.14)

(4.15)

При решении задачи по определению грузоподъёмности балки вначале из условия прочности (4.13) или (4.14) находится величина расчётного значения изгибающего момента

(4.16)

затем по известному значению М_расч определяются соответствующие величины нагрузок.

В некоторых случаях возникает необходимость использования условий прочности по наибольшим касательным напряжениям или по наибольшим главным напряжениям

(4.17)

Здесь R_s – расчётное сопротивление материала при сдвиге.

Работа балки за пределом упругости материала зависит от вида диаграммы  ₌ f(). Примем, что для материала балки можно использовать диаграмму Прандтля (рис.4.5,а). Согласно этой диаграмме при напряжениях, меньших предела текучести (_{х <} _т), справедлив закон Гука, а при _{х =} _т деформации неограниченно возрастают.

Рис.4.5

В случае изгиба балки при постепенном увеличении нагрузки напряжения в крайних волокнах опасного сечения достигают предела текучести _т и возникают пластические деформации. При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации распространяются вглубь сечения балки (рис.4.5,б). Предельное состояние (М_z = М_пред) наступает, когда напряжения во всех волокнах в нижней и верхней частях балки достигают значения _{х =} _т. В опасном сечении балки возникает так называемый пластический шарнир (рис.4.5,в).

Предельный момент в пластическом шарнире определяется по формуле

. (4.18)

Величина W_т – называется пластическим моментом сопротивления. Для симметричных сечений она равна

(4.19)

Определив предельный момент, можно найти величину коэффициента запаса как отношение предельного момента к наибольшему изгибающему моменту от действия нормативных нагрузок:

(4.20)

Решение задач