2. Решение задач Задача2.1.

Для стержня ступенчато постоянного сечения, находящегося под действием осевых нагрузок (рис.2.3,а), построим эпюрыN и. Определим удлинения (укорочения) участков стержня и всего стержня в целом и построим эпюру осевых перемещений. В расчетах примемЕ= 110⁵МПа = 110⁴кН/см².

Рис.2.3

Определим опорную реакцию в точке закрепления стержня.

X= 0, –R + 9 + 301,2 – 24 = 0,R= 21 кН .

Направление опорной реакции в начале расчета принято правильно.

Определим с помощью метода сечений продольные силы и нормальные напряжения в пределах трех характерных участков стержня.

У

часток 1. (м, рис.2.4)

X= 0, – 21 +N= 0 ;

N= 21 кН (растяжение) ;

Участок 2. (, рис.2.5)

Рис.2.4

Рис.2.5

X= 0 , – 21 + 9 +N= 0 ;

N= 12 кН (растяжение),

Участок 3. (, рис.2.6)

X= 0 , –N+ 30(2,8 –х) – 24 = 0 ,N= 30(2,8 –х) – 24 ;

х= 1,6 м ,N=301,2 – 24 = 12 кН (растяжение),

х= 2,8 м ,N= – 24 кН (сжатие) ,

Рис.2.6

Строим эпюры N и(рис.2.3,б,в). В пределах первого и второго участков продольные силы и нормальные напряжения имеют постоянные значения, а в пределах третьего участка они изменяются по линейному закону. В сечениих= 0,8 м продольная сила имеет скачок на величину 9 кН.

Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня.

(удлинение) ,

(удлинение),

Общее удлинение стержня равно

Определим осевые перемещения характерных сечений стержня.

х= 0,u=u₀= 0 ;

x= 0,8 м , u₁=u₀+l₁= 0,014 см ;

x= 1,6 м ,u₂=u₁+l₂= 0,014 + 0,008 = 0,022 см ;

x= 2,8 м ,u₃=u₂+l₃=l= 0,0184 см .

Эпюра uприведена на рис.2.3,г. В пределах первого и второго участков осевые перемещения изменяются по линейному закону, а в пределах третьего участка – по закону квадратной параболы. В сечении, гдеN== 0, имеется экстремумu_max, который равен:

где – удлинение верхней части третьего участка стержня длинойа, которая определяется из пропорции:

а= 0,4 м.

Все поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси Ох, то есть вниз.

Задача.2.2.

Для стержня ступенчато постоянного сечения, испытывающего центральное растяжение и сжатие (рис.2.7,а), построим эпюрыNи. Определим удлинения (укорочения) участков стержня и всего стержня в целом и построим эпюру осевых перемещений. В расчетах примемЕ= 2·10⁵МПа = 2·10⁴кН/см².

Определим с помощью метода сечений значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная с сечения вблизи свободного торца.

Участок 3. ()

х= 3 м ,N= 0,= 0 ;

х= 2 м ,N= – 301 = –30 кН (сжатие) ;

Участок 2. ()

х= 2 м ,N= – 30 кН ,

х= 1,2 м ,N= – 30 кН ,= – 30 МПа .

Рис.2.7

Участок 1. ()

х= 1,2 м ,N= – 30 + 60 = 30 кН (растяжение) ;

;

х= 0 ,N= 30 – 201,2 = 6 кН ;

Эпюры Nиприведены на рис.2.7,б,в. В пределах первого и третьего участков продольные силы и нормальные напряжения изменяются по линейному закону, а в пределах второго участка они имеют постоянное значение. В сечениих= 1,2 м продольная сила имеет скачок на величину 60 кН.

Опорная реакция в закрепленном сечении равна R= 6 кН. Её направление показано на рис.2.7,а.

Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня.

Стержень в целом укорачивается.

Определяем осевые перемещения характерных сечений стержня.

х= 0 ,u₀= 0 ;

x= 1,2 м ,u₁=u₀+l₁= 0,009 см ;

x= 2 м ,u₂=u₁+l₂= 0,009 – 0,012 = – 0,003 см ;

x= 3 м ,u₃=u₂+l₃=l= – 0,008 см .

Эпюра uприведена на рис.2.7,г. В пределах второго участка осевые перемещения изменяются по линейному закону, а в пределах первого и третьего участков – по закону квадратной параболы. В сечениих= 3 м касательная к эпюреuпараллельна осиОх.В пределах второго участка имеется сечение, осевое перемещение которого равно нулю.

Задача 2.3.

Чугунный стержень ступенчато постоянного сечения закреплен на обоих торцах и находится под действием двух сосредоточенных сил (рис.2.8,а). Построим в общем виде эпюрыN,иuи определим величину силыиз условий прочности по методу допускаемых напряжений. В расчетах примемF = = 10 см²и допускаемые напряжения при растяжении и сжатии [_р] = 80 МПа = = 8 кН/см² , [_с] = 150 МПа = 15 кН/см².

Рис.2.8

В точках закрепления стержня возникают две опорные реакции R₁иR₂. Составим уравнение равновесия:

Х= 0 , –R₁+ + 3–R₂= 0 ,R₁+R₂= 4.

Получили одно уравнение с двумя неизвестными. Данный стержень является статически неопределимым и для его расчета необходимо использовать условие деформации стержня l= 0. Раскроем это условие с помощью принципа независимости действия сил.

Отбросим мысленно одно из закреплений, например, верхнее, и введем вместо него неизвестную силу Х=R₁(рис.2.8,б). Произведем расчет полученного таким образом статически определимого стержня раздельно на действие заданных нагрузок и силыХ. Соответствующие эпюры продольных сил приведены на рис.2.8,в,г. При этом величины удлинений и укорочений стержня равны:

;

.

Используем условие деформации стержня и находим опорные реакции.

;

,.

Определяем значения N,иlв пределах участков стержня.

Участок 1.

Участок 2.

Участок 3.

Проверим выполнение условия деформации стержня.

.

Задача решена правильно. Эпюры Nиприведены на рис.2.9,б,в.

Определяем осевые перемещения характерных сечений.

х= 0 ,u=u₀= 0 ;

х= 40 см ,u₁=u₀+l₁= 50;

х= 70 см ,u₂=u₁+l₂= ;

х= 100 см ,u₃=l= 0 .

Рис.2.9

Эпюра uприведена на рис.2.9,г. Осевые перемещения изменяются по линейному закону. Все поперечные сечения перемещаются в положительном направлении осиОх, то есть вниз.

Используем условия прочности по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям (первый и третий участки) и определим допускаемые значения силы .

,;

.

Из двух допускаемых значений сил надо принять меньшее: = 64 кН.

Задача 2.4.

Латунный стержень ступенчато постоянного сечения находится под действием силы Р= 30 кН. Нижний участок испытывает равномерный нагрев на величинуТ= 20Спо отношению к начальной температуре. Между нижним торцом стержня и жестким основанием имеется начальный зазор= = 0,012 см (рис.2.10,а). Построим эпюрыN,иu.

В расчетах примем Е= 110⁵МПа = 110⁴кН/см²и коэффициент линейного температурного расширения= 1,6510^–51/град.

Рис.2.10

Определим величину удлинения стержня от действия силы  и от нагрева нижнего участка.

Поскольку сумма l_Риl_Тбольше начального зазора= 0,012 см, при нагружении стержня этот зазор замкнется и стержень будет работать как статически неопределимый с двумя опорными реакциямиR₁иR₂(рис.2.10,а).

Составим уравнение равновесия.

Х= 0, –R₁+ 30 –R₂= 0 ,R₁+R₂= 30 кН .

Для решения задачи используем условие деформации стержня l=. От- бросим мысленно нижнее закрепление и введем неизвестную силуХ=R₂. Возможное укорочение стержня от действия этой силы равно:

.

Используя условие деформации стержня, с помощью принципа независимости действия сил получим

.

Определим продольные силы и нормальные напряжения в пределах участков стержня и величины удлинений участков.

Участок 1.

Участок 2.

Проверим выполнение условия деформации стержня.

Задача решена правильно. Эпюры Nиприведены на рис.2.10,б,в. Определяем осевые перемещения характерных сечений стержня.

х= 0 ,u=u₀= 0 ;

х= 40 см ,u₁=u₀+l₁= 0,0036 см ;

х= 80 см ,u₂== 0,012 см .

Эпюра uприведена на рис.2.10,г. Осевые перемещения изменяются по линейному закону. Все поперечные сечения перемещаются вниз.

Задача 2.5.

Стержневая система состоит из жесткой балки АВ, шарнирно опёртой в точкеАи поддерживаемой стержнемСВкруглого сечения диаметромd=

= 22 мм (рис.2.11,а). Определим величину силыиз условия прочности стержняСВпо методу предельных состояний, величину удлинения стержня и угол поворота балкиАВ. В расчетах примемR= 210 МПа = 21 кН/см²,_f =

= 1,4, _с= 0,9,Е= 2,110⁵МПа = 2,110⁴кН/см².

При нагружении системы возникают опорные реакции R_АиН_Ана опореАи продольная растягивающая силаNв стержнеСВ. Эти величины можно определить из уравнений равновесияХ= 0,Y= 0,М= 0.

Для определения Nиспользуем уравнение равновесия для моментов

М_А = 0 ,,,

г

де– плечо силыN, ,.

Рис.2.11

Используем условие прочности стержня

где – площадь сечения стержня.

Расчетное и нормативное значения силы равны:

Принимаем с округлением _н= 34 кН и определяем величину удлинения стержня от действия этой силы. Схема деформации системы приведена на рис.2.11,б.

где – длина стержня.

Определим угол поворота жесткой балки АВ.

;

,= 0,09^о.

Угол поворота балки очень мал.

Задача 2.6.

Стержневая система (рис.2.12,а) состоит из жесткой балкиАВ, имеющей шарнирно неподвижную опоруА, и двух стержнейСDиED, поддерживающих балку. К балке приложена сила, нормативное значение которой равно 400 кН. Определим усилия в стержнях и подберем их сечения из условия прочности в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков. Определим величину разрушающей (предельной) силы. В расчетах примем коэффициент надежности по нагрузке_f= 1,2 , расчётное сопротивление материалаR= 210 МПа = 21 кН/см², коэффициент условий работы_с= 0,9, предел текучести_т= 240 МПа = 24 кН/см²и соотношение между площадями поперечных сечений стержнейF₂/F₁= 1,2.

Рис.2.12

Под действием нагрузки на опоре Авозникают опорные реакцииR_Аи

Н_А, а в стержнях – продольные растягивающие усилияN₁иN₂. Поскольку для их определения можно использовать только три независимых уравнения равновесияХ= 0,Y= 0,М= 0, задача является статически неопределимой (n= 4 – 3 = 1 – степень статической неопределимости системы).

Составим уравнение равновесия относительно усилий N₁иN₂.

М_А= 0 ;

где – плечи сил N₁,N₂иотносительно точкиА.

Расчетное значение силы Рравно

Получили одно уравнение относительно двух неизвестных N₁иN₂:

1,44N₁+ 2N₂= 4803 = 1440 .

Для получения второго уравнения относительно N₁иN₂ рассмотрим схему деформации системы. Под действием силыжесткая балкаАВповернется относительно точкиАна малый угол. Стержни при этом получат удлиненияl₁иl₂(рис.2.12,б). Из схемы деформации находим:

Полученное соотношение является условием деформации системы. Выразим l₁иl₂через усилия в стержнях.

,,

где – длины стержней.

Используем условие деформации системы.

,

Подставляем полученное соотношение в уравнение равновесия и определяем расчетные значения усилий в стержнях.

1,4140,417N₂ + 2N₂= 1440 ,N₂= 556 кН ,N₁= 0,417556 = 232 кН .

Определяем требуемые площади сечений стержней.

,.

Проверяем выполнение принятого соотношения между F₁иF₂.

При подборе сечения первого стержня её площадь надо увеличить и принять равной

П

Рис.2.13

оскольку каждый стержень состоит из двух одинаковых равнобоких уголков (рис.2.13), разделим требуемые площади сечений пополам и по сортаменту примем сечения стержней.

Проверим прочность стержней и определим величины их удлинений.

Первый стержень _┘└ 90907

;

.

Второй стержень _┘└ 1101107

;

.

Прочность стержней обеспечена. Согласно СНиП определение удлинений произведено от действия нормативной нагрузки. В силу этого расчетные значения усилий разделены на коэффициент надежности по нагрузке _f. Модуль упругости стали принят равнымЕ= 2,110⁵= 2,110⁴кН/см².

Проверим выполнение условия деформации системы.

Расхождение составляет:

Определим величину разрушающей (предельной) силы. Согласно диаграмме Прандтля принимается, что при этом напряжения в стержнях равны пределу текучести _та усилия в стержнях равныN_1т=_тF₁иN_2т=_тF₂.

Составим уравнение предельного равновесия системы.

М_А= 0 ,.

Отсюда находим

.

Коэффициент запаса по отношению к нормативному значению силы равен