Данными функциями W(z) линейно интерполируется На границе, как:
W(z) = W(zn)FR(n, z) + W(zn+i)FL(ii + 1, z). (6-5)
Подставляя формулу (6-5) в (6-3), имеем:
м
W ^ = |
Ц [Г(2«} C«(k’ n) + W (2«+l} С^ ' " + |
1)] ’ |
|
n=1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
CL (k, n) = |
zn |
|
|
j |
Fl (n, z) [z — zK)-' dz |
|
|
|
zn-i |
|
CR (k, n) = |
zn+i |
Fr (n, z)(z — Z j - 1 dz. |
|
j |
( 6 - 6 ) |
|
|
zn |
|
|
Уравнение (6-3) представим в виде |
|
|
WK= ZG(k,n)Wa, |
(6-7) |
где |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
G(k, n) = |
|
[CL (&, л) + CR (k, л)] |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
W= GW. |
(6-8) |
Уравнение (6-7) описывает систему 2Л1 линейных уравнений с 2М переменных (действительные и мнимые части), из 2М переменных некоторые определены, а не которые равны между собой. Решая эту систему, потре буем, чтобы решение удовлетворяло всем уравнениям с наименьшей среднеквадратичной ошибкой. Запишем выражение (6-8) так:
(G — I)W — 0, |
(6-9) |
где / — единичная матрица. |
аппроксимации |
Из-за численных ошибок и ошибок |
вектор приближенного решения при подстановке в урав нение (6-9) будет давать вместо нулевого вектора век тор ошибки Е. Если граница ПЭ содержит отрезки пря мых и комплексный потенциал изменяется приблизитель
но по линейному закону между граничными точками, то
подстановка уравнений (6-4) и (6-5) в (6-6) |
приводит |
к требуемой матрице G. В случае, когда некоторые или |
все точки границы ПЭ сингулярны (точки, |
потенциал |
в окрестности которых можно представить в |
виде |
W — |
= Л + В (г—zn)mn, где тп> 1), а также если |
часть |
гра |
ницы ПЭ содержит дуги окружности, то для |
удобства |
вычислений вводим корректировку в линейную интерпо ляцию и поправочные коэффициенты к матрице G, вы численной для линейной интерполяции W(z). Интегри руя (6-6) в регулярном случае, получим коэффициенты
Cl и Cr\
CL (k, п) = 1 - (z„_, - |
zK)(zn- |
z ^ j) - 1In \(zn - |
|
|
— 2K)(z„_, — гк)->], |
n=4=k. |
(6-10) |
и |
|
|
|
|
|
CR (k, n) —— 1 + (zn+l - |
zk)(zn+1 - Z j-l X |
|
x |
In [(zn+1 — zJk)(zJI — zk)-'}, n Ф k, |
(6-11) |
где аргумент |
логарифма |
лежит |
между — л и л. |
Функ |
ции Сь и CR расходятся при n = k-\-1 или k и п = к—1 или к соответственно, однако эта расходимость устранима
CL(k, k + 1) = 1; CR(k, к — 1) — —1
и
CL (k, к) + CR (k, k) = In [(zA+1 — zk){zk_ x — zk)~l],
где аргумент логарифма лежит между 0 и 2я. Для упро щения расчета определим:
S n = |
(Zn+1 |
zn) (zn |
Zfc) |
*, n Ф1k |
(6-12) |
и |
|
|
|
|
|
r„ |
= l - S |
- i ln(l |
4- Sn), |
n=f=k. |
|
Тогда (6-10) и (6-11) представим так: |
|
CL(k, п) — Тп^ и п ф к + 1 |
(6-13) |
и |
|
|
|
|
|
CR(k, |
п) = —Тп + ln(l + S n), п Фк. |
(6-14) |
Расчет по формулам (6-13) и (6-14) на ЭЦВМ удо бен, поскольку логарифмический член можно разложить в ряд Тейлора, если S n мало.
DRL( k , n ) = -
При отсутствии сингулярных точек на границе ПЭ матрицы рассчитываются по приведенным выражениям. В случае если имеет место сингулярность точек на гра нице ПЭ, то приведенный метод целесообразно использо вать для расчета первого приближения. Рассмотрим, ка кие необходимо вносить поправки, когда точки на грани це ПЭ сингулярны.
Потребуем, чтобы сингулярные точки не были сосед ними, и если это имеет место, введем между ними регу лярную точку. В окрестности сингулярной точки zn комп лексный потенциал
W = А + |
В (z — zn)mn, |
(6-15) |
где А и В — переменные, |
а тп — показатель |
степени, |
определяемый так, что конформное отображение пере
водит сингулярную точку п в |
регулярную. |
Граничная |
точка, лежащая на переходе |
металл — изолирующий |
участок ПЭ, регулярна, когда |
между этими |
участками |
прямой угол, а область лежит слева при обходе грани цы в положительном направлении. Граничная точка, ле жащая внутри металлического или изолированного уча стка ПЭ, является регулярной, когда граница — прямая
линия. |
|
сингулярна, то вместо функ |
Если граничная точка п |
ции (6-4) используем следующие функции: |
Fl (п, z ) = l — [(z — zn)(zn_, - |
z j |
1 |
Fr (п, z) = 1 — [(г — zn)(zn+1 - |
z j -1]'”"; |
|
|
|
|
(6-16) |
F L (n + I >г ) = |
[(г |
Zr)(Zn+l |
z n) |
] |
FR(n— l,z ) = |
[(г - |
zn)(zn^ - |
z „ r‘]mn. |
Вычислив линейные функции CL и CR, вводим доба вочные коэффициенты, обусловленные сингулярностями:
JЩ г - г л) 1 { г ^ — гп)]тп -
%п—1
DRR(k,n) = - f 1 { [ { г - гп)/ ( гп + 1 - г |
<Ы7> |
п) ] т " ~ |
dz |
(6- 18) |
( ^ - 2 n)/(Z n+l - Z«)} — ч |
Из соотношений (6-4), (6-16), (6-17) и (6-18) полу-
Наем:
|
DRL(k, п + |
1) = |
—DRR(k, п)\ |
(6-19) |
|
DRr (k ,n — 1) = |
—DRl (k, n) . |
(6-20) |
Определяя функцию |
|
|
|
|
|
|
|
h(m,S) = |
J {tm— t)(t + |
1 /S)_1 dt, |
(6-21> |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DRl (k,n) = |
h |
mn, |
Sn-i |
( |
6 |
- ) |
|
|
|
1+ 5„_1 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
DRR(k, n) = —h(mn, S n), |
(6-23) |
где Sn |
определены |
|
выражением |
(6-12). |
Функцию |
h(tn,S) в |
(6-21) можно вычислить обычными методами |
или разложением в ряд в случае, если |5 | мало, для по следнего случая
S2 |
,_______ |
S3 |
' |
I |
(6-24) |
3(т +2) ^ |
4(т +3) ’ |
|
J ' |
|
интеграл |
Рассмотрим два граничных случая, |
когда |
можно просто оценить, а именно при |S|->-°o |
|
lim h(m, 5) |
= 1 /т — 1. |
|
(6-25) |
| S | - ~ |
|
|
|
|
|
Это имеет место, когда |
S = Sn и n = k. Второй слу |
чай, когда S = —1, при этом |
|
|
|
|
h {т, — 1) = }о(tm— 1)/(( — 1 )dt. |
|
где S n определены |
выражением |
(6-12). |
Функцию |
h(m,—1) можно вычислить аналитически. Приведенные выражения позволяют рассчитывать ПЭ, у которых гра ница состоит из отрезков прямой. Отметим, что границу полупроводникового ПЭ технологически удобно выпол нять в виде дуг окружностей между проводящими поло сами на поверхности ПЭ полупроводникового резистора (рис. 6-1,6). В этом случае, как и в случае сингулярнос ти точек, для удобства расчетов вводим поправки, обу словленные кривизной границы. В первом приближении,
считая, что концы дуг являются регулярными точками А, рассмотрим дугу окружности (рис. 6-1, г).
Пусть гс — центр окружности, a zM— средняя точка дуги, расположенной между точками zn-\ и гп. Считая, что комплексный потенциал меняется линейно вдоль ду ги, имеем:
W <*> = у |
( К + К - ,) + у |
- |
К - ,) 1" (1 + |
|
+ |
т|) [In (1 |
+ г)^]-1, |
(6-26) |
где |
|
|
|
|
|
|
(2 — 2M)/(ZM— 2С) = |
11; |
|
|
п |
гм)/(zM |
2С) —- т\п, |
(6-27) |
1 |
+ Ц = |
(2 — 2С)/(2 М — 2С) = |
е‘Ф |
Функцию Fb(n, z) запишем так:
Fl (М = - у |
! , Ш(1+т1) |
1 |
|
(6-28) |
1П 1( + 1Т„ ) |
|
J |
|
|
|
Далее необходимо рассмотреть только одну функцию Fl, так как поправочный член дляСл (&, п—1) отличает ся от CL(k, п) только знаком, как следует из (6-20). Ис пользуя (6-27), можно показать
(1 + |
i)n) (1 + |
i)«-i) — 1» |
|
(6-29) |
Цп — 11п-1 = (1 + |
Tin) — 1/(1 + |
Tin). |
(6-30) |
Линейную функцию |
(г—zn-\)/(zn—2n-i) |
запишем |
так: |
|
|
|
|
|
|
{ z ~ z n - i ) { 2 „ - 2 n_j) 1= |
0,5(1 + |
2ц + |
1 |
Чп |
L1 + |
,п«— ' |
1 |
|
(6-31) |
(1+Лп) |
(1 +ть) |
|
|
|
Дифференциальная |
функция — разность |
между |
(6-28) и (6-31) — в этом случае равна: |
|
|
DFJn, ц) = |
0,5 |
In (1 |
+ц)/1п(1 |
- fr y — |
|
1 |
|
|
2i) + 1 — 11n — (1 + ib) |
(6-32) |
|
1 |
|
|
|
1+ Чп—■ (1 +11„) |
|
Интеграл (6-32) одинаков с интегралом (6-17) и оп ределяет поправочные члены DRL(k, п) и GL(k, п). Удобную форму интеграла получаем, аппроксимируя из менение комплексного потенциала вдоль дуги как sinCD/sincDn. Разлагая второй член (6-32) в ряд Фурье, имеем:
DFl (я,г]) = 0,5 cos Ф„ — 0,5 11 —|—г| —(— |
|
(± *sinO„)_1j , |
(6-33) |
(1 +11) |
|
где Ф„ равно половине угла дуги (положительная вели
чина). |
|
|
|
|
|
и делая заме |
Интегрируя (6-33), так же как (6-17), |
ну переменных, получим: |
|
|
|
|
DR, (k, п) — 0,5 |
cos Ф„ |
■0,5(1 |
Пк |
X |
|
|
|
|
|
|
1+ %) |
х (± i sin Ф^)-1In / |
Zn |
*к- |
|
|
|
|
V zn - i - h |
|
- 1 |
+ - |
1 + |
Лк |
sin Ф„ |
J ’ |
(6-34) |
1 + Лк = |
(zK— гс)/(гм — гс) . |
(6-35) |
Первый член в скобках 6-34) исчезает при n = k или |
п—\ — k. За исключением этих двух |
случаев выражение |
(6-34) должно быть вычислено на ЦВМ. |
|
Приведенная методика |
расчета |
электрических |
параметров ПЭ |
с большим числом контактов на поверхности использована при рас чете ПЭ монокристаллических полупроводниковых резисторов с растром, нанесенным на поверхность ПЭ. Приведенный теоретиче ский метод расчета позволяет рассчитывать распределение потенци ала в ПЭ с большим числом контактов и соответственно рассчиты вать основные электрические параметры полупроводникового рези стора: номинальное сопротивление при заданном числе контактов на поверхности ПЭ, начальный скачок сопротивления и минимальное сопротивление. На основе рассмотренного теоретического метода был проведен расчет распределения поля в ПЭ при различных поло жениях скользящего контакта на его поверхности. Тем самым были рассчитаны: начальный скачок сопротивления и минимальное сопро-
тивление полупроводникового резистора. Расчетное распределение поля в полупроводниковом ПЭ при положении скользящего контакта на участке L показано на рис. 6-2, а; на рис. 6-2, б приведены рас четные и экспериментальные (пунктиром) зависимости изменения сопротивления ПЭ переменного полупроводникового резистора при увеличении числа металлизированных участков наего поверхности.
Остановимся на основных соотношениях, описывающих прово димость монокристаллического полупроводникового материала, ис пользуемого для ПЭ резистора.
Рис. 6-2. Распределение тока в ПЭ резистора (при по ложении скользящего контакта на полосе L) и зависи мость сопротивления ПЭ размером (400X25 мм) от чис ла металлизированных полос N (SuОл = 250 мм2).
|
Концентрация электронов п |
в |
зоне проводимости |
и |
дырок |
р |
в |
валентной зоне |
описывается |
выражениями |
|
|
|
|
|
" =_(i§ jijdk^ |
I£»(k)]: |
|
(6‘36) |
|
Интегрирование |
производится по зоне Бриллюэна; |
fn(E) |
и |
fp(E) — функции распределения |
электронов и дырок |
по |
энергиям, |
равные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/п (£ ) = |
i + -р‘- |
— |
; |
fP ( E ) = l - f n ( E ) , |
|
(6-37) |
к |
квазиволновой |
вектор; |
fi =\ / kT; |
F—уровень Ферми; £n(k), |
£ p (k) — закон дисперсии носителей заряда. |
|
|
|
|
Если дну зоны проводимости соответствует одна точка в зоне |
Бриллюэна, то в кубическом кристалле это должна быть точка k = |
0. |
Для невырожденной зоны в этом случае |
|
|
|
|
|
£ „ (к ) |
= Ес + Н Щ 2т п, |
|
(6-38) |
где |
Ес и т п — постоянные, т „ > 0. |
|
|
|
|
|
Когда дну зоны проводимости соответствует несколько точек в зоне Бриллюэна к “ (а =1,2...), то
"л,а (к )= £ с + |
2 |
|
mi > 0. |
t= X,y,Z
Величина Ес соответствует дну зоны, т п называется эффектив ной массой электронов; в анизотропном случае величины mt пред ставляют собой компоненты тензора эффективных масс
-1 I &Еп (к)
тЧ h2 dki dkj
приведенного к главным осям. Тогда в системе главных осей имеем:
Шхх — П%х\ Шуу — mv\ nijz — П1х\
Шху — niXz — ■■■— 0.
Для электронов в валентной зоне имеем аналогичные выраже
ния.
В изотропном случае
Ер (k) = Ev — h2k2/2mp.
|
Соответственно в анизотропном |
случае |
|
Ера (к) |
'■(h-itV |
|
2тt |
|
=х,у,г |
Eg= Et —Ev — ширина запрещенной зоны.
В случае вырожденных зон равенства несправедливы и зависи мость £(к) дается более сложными формулами. Так если у потолка валентной зоны имеются две вырожденные при к= 0 изотропные
зоны, то закон |
дисперсии £ р (к) вблизи края |
зон (знак плюс отно |
сится к зоне так называемых «легких» дырок, |
а знак минус — к зо |
не «тяжелых» |
дырок) |
|
Ер (к) = Е0 |
- |
J L \Ak2 ± [Д.2 к*С2(к1ку2 +к1кг2+к2к2)}l/2jf |
|
|
2т0 |
где т0— масса |
|
свободного электрона в вакууме. |
В полупроводниковых материалах с узкой запрещенной зоной |
даже при небольшом удалении от экстремума сказывается непараболичность зоны. Полагая, что отклонение от параболичности связа но со взаимодействием валентной зоны и зоны проводимости, а все остальные зоны расположены достаточно далеко, закон дисперсии в рассматриваемых зонах запишем так (знак плюс относится к зоне проводимости, а минус — к валентной зоне):
£ ( k) = £ c + f t 2 *2/2m0 + y - ( ± |
j |
/ " |
E2g + - j P 2 k2 - |
e J . |
где |
P — параметр, характеризующий |
взаимодействие зон; |
т( 0) = |
3h2Eg |
массы |
вблизи края зоны. |
— |
------ значение эффективной |
При яг(О) < m 0 получим:
E (к) = Ec+ - j - ( ± V E\ + 2ft2 k2 Egm (O)"1 - Eg ). |
(6-39) |
В виде (6-39) закон дисперсии выполняется достаточно хорошо для зон проводимости ряда полупроводников с узкими запрещенны ми зонами. Для простой параболической зоны выразим концентра цию электронов через эффективную плотность состояний в зоне про
водимости Nс и интеграл Ферми (см. приложение 3) F |
('6') |
n = t f c F1/2(fl), Д = ( F - F C) W ) , |
(6-40) |
'тп kT \з/2
где Nс = 2 2яД2 / |
(6-40) принимает вид: |
При отсутствии вырождения формула |
п = Nce®. |
(6-41) |
При более сложной зависимости £(к) концентрация может да ваться выражениями с заменой тп на некоторую величину та, на
зываемую эффективной массой плотности состояний:
trid = Q2/3 (тх ту т 2)1/3 , |
(6-42) |
где Q— число эквивалентных минимумов в зоне проводимости.
Основное соотношение, используемое для определения уровня Ферми, условие электрической нейтральности
р + 5 г . ^ - п = 0. |
(6-43) |
Здесь г,,-—-заряд локализованных примесей /-го сорта в едини цах заряда электрона (с учетом знака); Nj — концентрация примеси.
Степень заполнения примесных уровней
|
4 |
|
|
Г - Е.У ", |
(б.«) |
|
n i |
|
К |
*• |
|
|
где N^(N^) |
и |
— число нейтральных и заряженных доноров |
(акцепторов); |
gn(ga) — фактор |
вырождения |
примесного |
уровня, |
а £ д(£ а) — энергия донорного |
(акцепторного) |
примесного |
уровня. |
Параметры |
£ д, |
Ea, ga и ga в каждом |
отдельном случае |
должны |
определяться из опытных данных. В простейшем случае, когда вы рождение примесного уровня связано только со спином электрона, фактор вырождения равен двум.
Рассмотрим температурный ход уровня Ферми в при месной области в полупроводнике, содержащем один тип одновалентных доноров с концентрацией NR. Учи тывая вырождение, определим для Ge концентрацию до норов, при которой уровень Ферми попадает в зону про водимости (вырождение считаем не очень сильным, ес ли 0 ^ 1,3),
Для данного случая условие нейтральности запишем Так:
NcFm ('&) = NR( l + g J F |
, |
Для интеграла Ферми |
воспользуемся приближен |
ным выражением |
|
Л /2(0) = 1 + 0,27е^
В результате получим уравнение
|
е20 )__ |
L |
1_о 27 |
N J |
(£с"£д)//г7’ |
- |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
— . |
е- (Е1-Еятт= 0. |
(6-45) |
|
|
8дМс |
|
|
|
|
|
Решение уравнения (6-45) |
|
|
|
|
е®= е-(Ес~Ед)/*т |
|
|
■*д \2 |
, ^Д |
Р(£с-£д)/^ |
|
|
|
Л'с |
£д Л^с |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 fl |
|
ЛУ |
|
|
|
|
|
2^д l |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
F — Е„ = kT In |
| / |
— (l — |
^д\ 2 , |
8д,Мс |
е<ЕсЕл)/кт — |
|
/ |
|
|
У 4^д ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----- - f l - |
0 ,2 7 ^ |
|
|
|
|
|
2*д1 |
|
Л'е |
|
|
|
При Г-Н) справедливо неравенство |
|
|
|
|
(0,27)2Л/Д ^ |
е{Е(ГЕд)/кТ _ |
|
|
|
Поэтому |
4 ^ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^7 __ |
Ес 1~Гд |
*L in -& - |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
gn Ne |
|
При достаточно большой концентрации уровень Фер ми может в определенном интервале температур по пасть в зону проводимости. Следующее условие опреде-
