книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

ция F (t, i ) ни при каких t,i

не является особой матрицей [1],

т. е. на рисунках графики нигде не пересекают

временную ось.

Приведенная интерпретация

функции F(t, т)

позволяет эври­

стически доказать формулу Коши (12).

4. Множество достижимости. Управление u(t), t > /с, назо­

вем допустимым, если оно кусочно-непрерывно

(измеримо) и в

u(t)ÇU, t > t 0.

(13)

Пусть

tu

^о<Д і< °°,— некоторый фиксированный

момент

времени. В

n-мерном пространстве векторов-выходов

х линей­

ной системы

(3) рассмотрим множество Q, составленное из по­

ложений в момент t = t \

выходов x(t) системы

(3),

порожден­

ных всевозможными допустимыми управлениями при условии,

что

в

момент

t = t0 все

входы одинаковы. Другими

словами,

Q =

: X =

x ( t u x0, «(•)), a(t)ÇU),

(14)

где символом x(t,

х0, и(-)) обозначено решение в момент t урав­

нения

(3) с x ( t 0) — x0, и = «(•) = (и(т),

Множество Q

(14)

назовем

множеством достижимости системы

(3). Для

пло­

ского

случая

( п = 2) множество достижимости изображено

на

рис. 4.

Выпуклость множества достижимости для систем, линей­

5.

точки Х[, х2 принадлежат этому множеству, следует,

что и весь

отрезок, соединяющий

их, принадлежит множеству X.

Анали­

тически выпуклость

множества X

означает, что

для

любых

х и х2 Ç;X и чисел

выполняется условие

Примеры выпуклых множеств даны

на рис. 5, а.

Множества,

изображенные на рис. 5, б, очевидно, невыпуклы.

гг

5

казывается для случая,

когда система линейна по управлению

и множество U в (13) выпукло. Действительно,

пусть х х и х2—

две точки из Q. Следовательно, существуют два допустимых уп­

равления Ui(t)£U, u2(i)^U

таких, что

траектории хг {і) и х2 {t)

системы

X = А (t) X -f В (t) и (t),

(15)

соответствующие этим управлениям

(соответственно),

приходят

из х0 в момент t = t x в точки

х 1и х 2: хг (tu х0, иг ( •)) = хи х 2 {tu а:0,

иЛ')) = х2 - Построим управление

U\ {t) = Xj Ui (t ) -f- X2 u2(t), 0

Xj,

X2

1,

Xt + X2 == 1.

В силу выпуклости множества U управление uX(t)

при всех

указанных

значениях Хь

Х2

допустимо: U\ (t) £ U, t >-

Управле­

нию U\ (t),

t ^ t 0, в силу

(15)

соответствует траектория х\ (t). Из

формулы

Коши (12) при b (и, t) = B(t)u имеем

Хх (*i) = F (tu t0) x0 +

j /7 (tu т) В (X) их (X) dx = F (ti, t0) x0+

+ §F {tu x) В (T ) [XXUI (x) + X2 u2(x)] dx = Xj F (tu to) x o+

+ J F (tu x) В (X) Ui (x) dx

+

X2 F {tu t0) x0 +

jF(fbx)5(x)«*(x) dx.

^0

лым множеством U доказана.

систем, нели

6.

Выпуклость множества достижимости для

нейных по управлению. По существу, выпуклость множества

достижимости систем, линейных по управлению,— это

простое

ц

2 = I g(u(t))dt, и (t)ÇU, /£[гѴП],

(16)

ва Z:

t,

Zt =

j g (Щ(t)) di;

Ui (t) Ç.U; t0<

t < tu / =

1,2.

Покажем, что элемент

А =

Хх Zj -j- X2 z2>

0; X2 y> 0;

Xt + X2 =

1,

(17)

«і

),

+ (tt - *0),

Щ

^0 + X, (tt ~ t o X t K t , .

j g (их (t)) dt ==

j' g (их (t)) d t +

J . g (Ux (0) dt =

^0

^0

*0~ЬМЛ—U)

t,

\

Л

j g (И). (0) dt =

Xi j g- («t (t)) dt +

X2 J g (u2 (t)) dt =

Г0

*o

— XJZJ -j- X2Z2 =

Zx .

Таким образом,

какова бы ни была точка zx отрезка z x z2,

нация

«х (t) = À, «t (t) + Х2 и., (t)

(18)

имеет принципиальное значение

(см.,

например,

определение

игольчатой вариации управления, стр. 91).

(0,1),

кри­

Когда

параметр

в

(17)

пробегает

интервал

вая U\ (t)

(см. рис. 6)

деформируется от

u2(t) до

а

соот­

ветствующая ей точка

z\

в п -мерном

пространстве движется

сти

g(u) это, в общем случае, не так.

Второе вспомогательное утверждение, необходимое для до­

казательства выпуклости

множества достижимости.

Пусть

f (и,

t)— непрерывная по

своим аргументам вектор-функция.

по заданному

числу е >

0 найдется

такое

разбиение отрезка

[tQ, ^і] точками

^0 — х 0

Т1

х т - 1

<С ~т =

^1’

( 1 9 )

включающими

точки

разрыва управления

и (t),

что

т - 1

ту + 1

2

f

II / (U (t), s ) — f(u (t), T,) Il

dt <

S,

Ту <

s < Ту j1. (20)

;—n

J

В самом деле,

пусть Ѳь . . . . Ѳ*— точки разрыва управления

u(t),

содержащиеся

в разбиении

(19).

Функция

/ (u(t),s)

ку­

сочно-непрерывна по 1 и непрерывна по s на

[17,

т/+,]

и, следо­

вательно, ограничена: Hf(u(t),s) I] <СМ для

s < /j. Разделим

сумму из (20) на две подсуммы, отнеся к Si

слагаемые,

со­

держащие

интегралы по промежуткам, на которых лежат точки

разрыва Ѳ( (таких слагаемых

не более 2 k), а к S2— все осталь­

ные

слагаемые.

(19)

настолько

мелким,

чтобы т,+1 —

Возьмем

разбиение

— ту < г /( 8 Ш) .

Тогда

S, <

2k ■2М • е/ (8/гМ) = г / 2.

Если

[т;-,

т -+1]

участвует

в S2, то

функция

f(u (t), s) непрерывна

на замк­

(теорема

Кантора)

равномерно

непрерывна. Дополнив

по не­

обходимости

разбиение

(19.)

новыми

точками,

получим

Иf ( a { t ) , s ) - f ( u ( t ) , т;.) II

< е/ [2 (tx—£0)]

для

х у < /< т у +1,

откуда

=/)< 2 (ti

e

5 2

^2 2(#і

-

to)

T

•

Следовательно, при Ty<C,s<; ту+і

m~1

j

II /.(a (t), s ) — f ( u (t), Ту)

dt = ß t

+ S2 <

/2-0

Il

S.

т/

Утверждение

доказано.

Замечание. Из доказательства оценки (20) следует, что она

не изменится, если к точкам

(19) добавить конечное число новых

точек дробления отрезка.

вспомогательное

:

состоит

Третье, и

последнее,

утверждение

в следующем. Пусть / (и,

t) — векторная

функция, непрерывная

по совокупности переменных u£U,

t £ [ t Q, ty\.

Тогда замыкание

У множества

У, образованного точками

t,

u(t)çU, * € [ * „ ,

2 = p(u(t),t)dt,

* i ] ,

если и (t)

пробегает весь класс допустимых управлений,

всегда

выпукло.

Предположим противное: пусть множество У_невыпукло

(рис. 9).

Тогда

найдутся

такие

точки

у и

У2 ÇY

и

числа

*іЛ £(0, \)Лі + К = 1, что

Ух = КУ\ + h y £ Y -

(21)

Следовательно, расстояние от точки

у\

до

множества

У не мень­

ше положительного числа

е, т. е.

II У — У\

II > в для

всех

yÇY.

(22)

В силу того, что Уі£У,

і — 1,2,

найдутся последовательности

Уг(1), У?\ • • • >Уіп),

1, 2, точек

из

Y,

сходящиеся

к г/;. За­

фиксируем номер п, для которого

\\Уі-УІп)\\ <

- р

* =

1,2.

(23)

Так

как yln)ÇY,

то найдутся

допустимые

управления

Ui(t)ÇV,

tÇ [Л)> Уі], такие,

что

t,

y (tn)= j f ( u i ( t ) , t ) d t , i = 1,

2.

(24)

Исходя из только что доказанного вспомогательного утвер­

ждения для управлений ы,-

(t), і = 1,2, по заданному числу е/3

можно указать дробление отрезка [f0,

точками (19), при ко­

тором для каждого управления и,- (t),

і = 1, 2, будет выполнять­

ся оценка (20)

с заменой в

на е/3. Пусть точки (19) включают

все точки дробления отрезка

[/о, ^і], построенные для функций

Uy(t)

и u2(t)

по числу е/3. В силу замечания, сделанного

ко вто­

рому

вспомогательному утверждению,

при

ту</5 </ху+і

Ж

и/( « / ( 0 .s) —/ ( ц г(/),т.) II Л <

е

(25)

j

— -, / = 1,2.

Построим еще одну точку

Ух

- =

fj

( u

x

( t ) , t ) d t .

(30)

Поскольку управление «х (0

допустимо,

то

точка

ух принадле­

жит множеству

У, а значит, и множеству Y.

Оценим расстояние

между точкой

у х

,

определенной по формуле

(21),

/\

и точкой г/х .

^

^

/ч

Ясно, что

II

г/х

— Ух

II

<

II Ух

— Ух

II

+

II ух — Ух II

• Под­

ставим

сюда выражение

для Ух

и г/х

из

(21)

и

(29):

II Ух

— Ух

I K

II

(У і — У\ ) +

h

({/г — Уг ) H+

II Ух — г/х

II <

<

II У і

—

y \ n)Il

+

h

й

У і п)

~~

У*Я +

^2

II

У і

—

УІ п)Il

+

+

h

II У 2{п)

—

У іII

+

Il

Ух

—

Ух II .

В силу (23) и (27) отсюда получаем

II У х —

УхII

2

е +

II

-

II

•

(31)

< —

ух — Ух

II Ух - Ух II = II К 2

f /(«» (0- xj ) d t +

h2

f

(0- y ) d t—

i=o

i .

/=о

^ .

J

j

II ух — Ух II < s/3.

Подставляя эту оценку в (31),

приходим к

неравенству

Іі г/х— Ух

II < е,

которое противоречит

предполо­

ж е н и ю ^ ) .

Таким

образом,

доказано и третье утверждение.

и

х = хі + j F ( t u t)b(u(t),t)dt, хх =

F(tu t0) х0,

(32)

где и (t), t £ \ t 0, ti],— допустимое

управление. Согласно

доказан­

ному утверждению,

замыкание

множества

У = \у =

(tu t)b (u (t)

t) dt : и (/)£U,

(([i0l/,]

I

<0

D a (p,t)x(t) = b(u(t),t),

(1)

где х = {хи . . . , х п),

а = {

и , Л

0 (*)==£, Da (p,f) = Ep« +

+ А I (0 Pa~ l +

• • • +

Ax-i (t) p +

A a (t), p ==

.