Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

		g'(x) X	max g		x.						(9)
Ясно,	что		lull <i
Ясно,	что	g(x) == X/ Il X II .
		g(x) == X/ Il X II .									( 10)
Пусть x°, x°ÇQ, — такой вектор, что
		g'(x°)x0 = min g'(x)x.									( 11)
			X 6	Q							( 11)
				Положим g0 =* g(x°),						если xu# 0
				и g0 = 0		при	x° = 0.			Тогда па
				ра	векторов		(g0, х°)			удовлет
				воряет (8). В самом						деле, ле
				вое неравенство в (8) следует
				из	(9)	при	X	=	х°: g0' х° =
				— ё9' С*°) х° ^			g'x°-			Докажем
	Р и с. 63			правое неравенство					(8).		Если
	Р и с. 63			х°= 0, то g °= 0				и соотношения
				(8)	следуют тривиально.
Пусть х° Ф 0, тогда из			(10)	получаем		g0 = g(x°) — х°/1\| х° \|\| .
Следовательно,		g0' х° =(х0' / \|\| х° \|\| )х°= \|\| х° \|\| . С другой стороны,
g'(x)-x = x'xf II X		II = II X II .	(11) х°— ближайший к началу								коор
Таким образом, в силу			(11) х°— ближайший к началу								коор
динат	элемент	выпуклого	множества Q. При					доказательстве

теоремы об отделимости выпуклых множеств мы показали,	что
вектор с = (хѳ — 0)1 Илс° — 0 II = х°/ \|] х° \|] обладает свойством
с'х°<с'х:	(12)

для всех x £ Q . Поскольку с есть тот же вектор g0 (см. (10)), то неравенство (12) есть второе неравенство в (8).

Второе доказательство. Если множество Q содержит нача ло координат (рис. 64), то очевидное решение (8): g°=x°=0.

Пусть 0 ÇQ (рис. 65). Найдем во множестве Q ближайшую к на

чалу координат точку х°. Рассмотрим два выпуклых множества
Q и R = \х: Il	X II < Их° II	}. По построению х°— их общая точка,
а поскольку R — строго выпуклое множество, то х°— единствен
ная точка. Множества Q и R поэтому			отделимы			(не строго),
т. е. существует вектор с,		\|\| с \|\| = 1, такой, что			c'y <	с'х	для	всех
у Ç R, X Ç Q.	По построению вектора с
	с = х°І « х° И.							(13)
Так как х° — общая точка множеств Q и R, то c'y < с'х0 <								с'х,
У € R, X £ Q.	Положим g0 = с, у = Нх° Иg.				Тогда		последнее
неравенство имеет вид
	g0' II х° Hg < g0' х° <		g0' X.					(14)
Но в силу (13)	g0' II х° Il g = g' Их° Иg0=			g'x0, поэтому			(14)	эк
вивалентно (8).		о минимаксе).		Пусть		непрерывная
Следствие	(теорема

функция f(x, g) определена на замкнутых, выпуклых множест вах X, G, х£Х, g£G, одно из которых ограничено. Если f(x, g) выпукла по X при каждом g и вогнута по g при каждом х, то

min max f{x, g) = max min f(x, g).		(15)
X e X g e G	g e в X e X
Для доказанного нами случая соотношение (15) будет иметь
вид
min max g'x = max min g'x.
x e Q Hg II < 1	II g II <1 * s в

§ 3. Решение задачи минимизации нормы конечного состояния

Поскольку окончательный результат (1.13) совпал с форму лой, доказанной строго другим методом, то можно было пред положить, что «догадка» о перестановочности операций min и шах в (1.11) верна. Результат предыдущего параграфа подтвер ждает это предположение. Действительно, в (1.11) фигурирует непрерывная функция f {х, g) =g'x, билинейная по аргументам, т. е. линейная по х при фиксированном g и наоборот. Поэтому

f(x, g) выпукла и вогнута по х, g. Множества Qft)« {g: ||g||<! 1} выпуклы и замкнуты, второе из них ограничено.

Таким образом, все условия, гарантирующие существование седловой точки, а значит и справедливость теоремы о минимак

се, выполнены.	Формулу
5°= II х°(іі) у =	max \g'F(tu	t0) x 0+ § inf g'F{tb	t)b{u(t), 0^1(1)
	Il g II <1 l	t0 u ( t ) e U	)

можно считать теперь полученной строго с помощью теоремы о минимаксе.

Из (1), определения седловой точки и утверждения (1.13) получается соотношение для оптимального управления:

g0' F(tu t)b(ii°(t), t) = inî g0' F(tu t)b(u, t),	(2)
и 6 U

где g0— вектор, на котором достигается максимум в правой части

формулы (1).		звучит
Обратное утверждение о достаточности условия (2)
следующим образом: если u*(f), t0 < t < tu — допустимое		управ
ление, удовлетворяющее при	некотором g, Il g II = 1,	усло
вию (2), а на соответствующей ему траектории x*(t),
системы (1. 1) выполняется соотношение
g' х(іх) —	max g*' X,	(3)
то пара {u(t), x(t)} состоит	и * Il < Il **(4) Il
	из оптимального управления и
оптимальной траектории.

Докажем это рассуждение от противного: пусть существует допустимое управление u(t), t0<t^Ctu вдоль которого выпол няется неравенство

II x{tx) Il < Il х*(^) И.

(4)

Условие (3) можно переписать с учетом однородности по х и формулы (1.8)!

g*' x*(tt)= й x*{tx) II max

g*' x = || х*{^) Il • [| g* || =

Цд:* (tx) Il .

11*11<i

Поэтому

из неравенства

(4) и формулы

Коши

(1.12)

следует

IU (* i)

Il< Il x*(tx) H=g*' x * ( g =

g*'

F(ti,

t0) x 0 +

+ J ^ ! , 0

b(u*(t),

t)dt

(5)

По предположению, управление u*(t),

t0< t ^ t x,

удовлетво

ряет условию

(2). Поэтому из

(5) и (2)

имеем

II *(*») Il

<g*' F ( t u

*0 + J g*' F(tu

t) b(u*(i), t) dt <

g*' F(tu t0) x 0 + J g*'

F(tx,

t) b(u(t),

t) dt = g-*'

F(tx,

t0) x 0+

j F(tu

t) b(u(t), t) dt

“

g*7 *(<i)<

max

g'x(tt)=

||J t(g i|,

il g il

T . e. получаем противоречие, которое и доказывает утверждение о достаточности условий (2) и (3) для оптимальности пары

»*(<), Л*(9, *0

§ 4. Общая задача терминального управления

Применение теоремы о минимаксе не ограничивается за дачами, в которых критерий качества выражается через норму правого конца траектории. В силу геометрической формулиров ки задач терминального управления всякая задача такого рода сводится к условию пересекаемости выпуклых множеств. По следнее условие можно сформулировать следующим образом: два замкнутых множества Q и R (одно из которых ограничено) пе ресекаются тогда и только тогда, когда расстояние между ними

р = min min ИX — у \|\|	( 1)
х е Q y e R

равно нулю. В определение расстояния (1) входит норма, что позволяет опять воспользоваться формулой (1.9) и прийти к теореме о минимаксе. Эту общую схему поясним на конкретной задаче.

Рассмотрим задачу

X = A{t) X + b(u(t), t),	t0 <	t < fx,
xo € X 0, Xx Ç	X t,	(2)
I(u, x0)= <p(x(tt))-+ min,
	U,	* 0

где X0, Xi— выпуклые множества; cp (x) — квазивыпуклая функ ция; Ào, U — ограниченные множества.

Введем множества:

Q{tx) = {х : x = x(tu х0, и(-)),х0 £ Х 0, u{t) £ U],	(3)
R(b) = {x:x <E X u cp(x)<S).	(4)

Нетрудно сообразить, что исходная задача_ имеет решение тогда и только тогда, когда множества Q(^i) и R (8) пересекаются, т. е.

р(8) = min			min		[\| x —y \|\| = 0 .	(5)
	x e Q ( t J		y 6 R(b)
Отсюда, используя выражение				(1.9)	для нормы и теорему о ми
нимаксе, получим
р(8) =	min	min		max g'(x — у) =
	xe~Q(i,) у		бД(8) fl g		U<1
=	max	min		min g'(x — y).
	Il g II <1	X e	Q(4)	У 6 R ( s)

Подставим сюда выражения для элементов х и у множеств Q(ti) и R (8), следующие из соотношений (3), (4) и формулы Коши

- ( 1. 12) :

P (8)

шах

inf

xa e X 0

inf

\g' [F(tly

t0) x0 f

(I g R <1

ull) 6 U,

X e X „ ip(jc)<6

t)b(u{t),

t) dt\ — g'x)

max

{inf g'F(tu f0)x +

$F(tu

II g II «

X e X„

g'F(tu

t)b(u, t)dt

—

sup

g'x}.

4- J inf

t0 a

X 6 X,,

<f(x) «8

Из

критерия

(5)

получаем: минимальное значение 8°крите

рия качества в задаче (2)

равно нижней грани чисел 8,удовлет

воряющих равенству

max { inf g'F(tu

tQ) X +

Il g II < 1

X €

X 0

J inf

g'F(tu

t)b(u, t)dt

— sup

g'x} = 0.

(6)

t a и e U

X e X i , ï> (x )< 6

Пусть

g0, Il g0 II

— элемент,-на

котором

при 8=8° достигает

ся максимум в левой, части

равенства (6). Тогда

выполняются

следующие условия:

а) для

оптимального управления u°(t),

g0' F(tlt

t) b(u°(t),

= inf g0' F(tu

t) b(u, 0;

и e U

б) для левого конца оптимальной траектории

х°(0>

tQ<.

g0' F(tu t0) x°o{t) = inf g0' F(tu t0) x;

в) для правого конца оптимальной траектории:

g0' x°(tx) = sup g0' x.

x e X,, ip(jc)<8°

Совокупность данных условий достаточна для оптимально сти любой допустимой пары {u*(t), x * (t)}, удовлетворяющей им. Доказательство этого результата и его формулировка в тер минах гамильтониана (в форме принципа максимума) не содер жат элементов, отличающихся от уже использованных в гл. II. По форме полученный результат несколько отличается от того, что можно получить из гл. II через теорему об отделимости вы пуклых множеств. Отличие состоит в том, что величина 8° нахо дится из уравнения (6), а раньше — из неравенств типа (II.3.7). Объясняется это тем, что раньше максимум по g вычислялся на множестве || g || = 1, теперь на множестве II g I! < 1. Нетрудно сообразить, что в обоих случаях результаты идентичны, но в первом максимальное значение может оказаться при некоторых 8 отрицательным, во втором оно всегда неотрицательно.

Сравнение метода решения задачи (2) с помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств с методом, основанным на теореме о минимаксе, показывает, что первый более громоздок.

§ 5. Задача терминального управления с нефиксированной продолжительностью процесса

На примере данной задачи показывается, как оптимизиро вать линейные системы в случае, когда длительность процессов не фиксирована.

Рассмотрим систему из (4.2), где		t\£T, Т — множество	на
числовой оси. Пусть решается задача
x(t0) = х0, u(t) £		U,
/(и,	U) = <р(x(ti), t j	— > min,	(1)
		и, ty
где U ограничено, у (х,	t) квазивыпукла по х.
Введем множества:

Q(h) = [х : X = x(tu х0, «(•)), и(Z) ç U),

Я (8, t1) = { x :? (x, f,)< 8}.

Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи состоит в том, что

	р(8,	tt)=,	inf	inf	\\ X	■ÿ II = 0.		(2)
		X e Q ( f , )		y 6 R ( b , t :)
Для	каждого 4ÇT	найдем	нижнюю грань чисел 8 = 8 (ti),					удов
летворяющих уравнению			р(8, tx) = 0.			Нижняя	грань 8° чисел
(fi)	на множестве Т
		8° =	inf	8(f.) =	8	(f?)		(3)
		(,бГ
и есть минимальное значение				критерия		качества	в задаче	(1).

Число і° из (3) характеризует оптимальную продолжительность

Ч—10 процесса. Оптимальное	управление u°(t), t0	f?, нахо
дится из (3.2) при 8 = 8°, tx —	t\ по схеме, приведенной в пре

дыдущем параграфе. Но здесь можно говорить лишь о необхо

димых условиях оптимальности. Причина, в силу которой		эти
условия могут оказаться недостаточными, поясняется в § 8. VI.
§ 6. Пример
На отрезке времени [0, 2] рассмотрим систему
Хі — х2,	х2— и	(1)
»
с фиксированными начальными	условиями
Хі (0) = х0, хг (0) - 0.		(2)

125

Пусть множество U есть отрезок —	числовой оси и кри
терий качества управления задан в виде
/ {и) = ш ах { I х х (2) ! , I х 2 (2)	\| },	' (3)

т. е. представляет собой величину отклонения от начала коорди нат концевой точки траектории (1), (2) в момент t = 2.

Покажем на примере (1) — (3) метод решения задачи тер минального управления, изложенный в § 4.

Вычислим фундаментальную матрицу однородной системы,

получающейся из (1) при и — 0. Первым ее			столбцом является
решение уравнений
Х п,	X , =	0	(4)
с начальными значениями t = 0, хг (0) = 1, х2(0) — 0, откуда
*1(0 Ï	(	1	(5)
*2(0 і	I	0	(5)
*2(0 і	I	0

Компоненты второго столбца удовлетворяют тем же уравнени

ям (4), но начальные условия					изменяются:	Хі (0) = 0 ,		л^2(0) = 1.
Тогда				(0 ]	М
				(0 ]	М			(6)
				* 2(0 )	1 1			(6)
				* 2(0 )	1 1
Объединяя	(5),	(6),	получаем
F(t)	1	t	F(t,	F(t)F~l (x) =		1 t	1	T
F(t)	0 1 ,		F(t,	F(t)F~l (x) =		0 1	0	1
				1	t T
				0	1

Выпишем выражения под знаком максимума в левой части равенства (4.6):

inî

g'F{tx,

g X =

{gj_,

g2)

, 1 2

Xl =

ëlXo,

X 6 X ,

l u i

== 0

inf

g ' F ( t lt

t) b(u,

t) =

min

{&, g2

2 - П

I 0

M U

и 6 U

I и I < 1

I«

I <

0 £ 1

+• ё

г 1 ,

U =

— sign [(2 — t)gx-f g2],

Г2

] ?

sup

max

tei*i + ^ 2*2]<

i \ *

g 2 ь.

Ï E X U

<p ( X )

I *1I < s.

(7)

(8)

.(9 )

Последнее	неравенство			превращается			в	равенство,	если
хі *= § signai, i =		1, 2.	Следовательно,
	sup	g'x = 8		il g- [J ,	Il g II =		I gl	I + I g2 I •	(10)
X 6 X j , cp (д г ) < S
На основании (7), (8), (10) можем теперь записать функ
цию f(g)	под знаком		максимума		в	равенстве		(4.6):
		2
fig) = gixo~		J I	( 2 -	t)g± + g 2 I		dt — 8( I		g1 I + I g2 I	). (11)
		о

Заметим, что функция (11) положительно однородна, т.е. 7(Xg) = =^f(g) для X> 0. Поэтому ее максимум при (| g [| <; 1 будет достигаться на граничном векторе g0. Действительно, если бы

предположили

противное:

max

f(g) = f(g°),

Цg0 1 < 1 ,

(12)

Il g II <

и считали

для

определенности f(g ° )> 0, то при

достаточно

ма

лом е > 0

вектор у =

(1-f-£ ) g0был бы допустимым, т. е.

Il У II <

< 1, и для него

f (у) =

/((1 +

в) g0) =

(1 -f- e) f(g°) >

f(g°),

что

про

тиворечит

(12).

Таким

образом,

шах f(g) =

max f(g)

max

—j | (2 — t)

J|g|)«i

llg|=i

і й і і - Мяй = і

§2 1dt) - 8 .

( 1 3 )

Можно подсчитать, чтоЧ Т О

* ■ о

— х0— 2 — 8 , ■

/А 1

max f(g)=

4 -~ 2 1/ х0+ 5 - 8 ,

_ 4 < х 0< 0 ,

4- -

2 V 5 — х0- А

0 < х0 < 4,

Il g il « 1

*0 - 2 - 8 ,

4 < х 0.

Минимальное

значение

критерия

качества (наименьшее

8°,

удовлетворяющее уравнению (4.6),

равно

- х 0 — 2,

х0

4 ,

4 - 2 Ѵ ъ + 5,

- 4 < х 0< 1,

I < 1 .

- 2

/ 5 - х 0 ,

К Х0< 4,

х0

4 <

х0.

Ко м м е н т а р и и

§1. Доказательство первой теоремы о мшшмаксе для 2Х2-матричной игры принадлежит Э. Борелю [2]. В общем случае матричных игр теорема о минимаксе доказана Дж. фон Нейманом [3]. Наш случай отличается от клас сического лишь выбором множеств допустимых стратегий: в теории матрич

ных игр дело ограничивается рассмотрением симплексов.

§ 2. Обобщение теоремы о минимаксе на нелинейные функции и про извольные множества связано с появлением новых математических методов. Имеется элементарное доказательство fl], использующее лишь свойства вы пуклых и вогнутых функций. Оригинальное доказательство Дж. фон Неймана было основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. В связи с этим до казательством родилась теорема Какутани о неподвижной точке многознач ных отображений [1, 4].

§ 3. Для задач оптимальногоуправления теорема о минимаксе впервые

применена	в работе	[5]. К тому времени	в	теории оптимальных процессов
уже были	известны	методы, основанные	на	JL-проблеме моментов, теореме

об отделимости выпуклых множеств, теореме существования опорной плос кости.

Новый метод [5] обладал рядом преимуществ и весьма естественно трак товал задачу оптимизации как игру двух лиц, связанных с основными (исход ными) и сопряженными уравнениями.

В общей схеме применения методов функционального анализа к зада чам оптимизации линейных систем теорему о минимаксе можно поставить между исходной задачей оптимизации и теоремой об отделимости выпуклых множеств.

Л и т е р а т у р а

К а р л и н С. Математические

методы

в теории

игр,

программирова

нии, экономике. М., «Мир», 1964.

formes

linéaires

déterminate summét-

В o r e l Е. Sur les

systèmes

rique gauche et la théorie

générale

du jeu. C. R. Acad.

Sc., 186, No 1, 1927.

Н е й м а н

Д ж .,

М о р г е н ш т е р и

О. Теория

игр

и экономическое

поведение. М., «Наука»,

1970.

fixed

point

theorem.

K a k u t a n i

А generalization of Brouwer's

Duke Math., 8, No 10, 1941.

Г а б а с о в

P.,

Г и н д e с В. Б. К

оптимальным

процессам

в линей

ных системах с двумя ограничениями на управляющие воздействия. Автома тика и телемеханика, 26, № 6, Г965.

Г л а в а IV. ПРИМЕНЕНИЕ L-ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В данной главе после подробного обсуждения классической проблемы моментов, ее сущности и возможных методов решения, доказываются основные соотношения, с которыми связано ре шение проблемы. Мы выбрали элементарное доказательство L-проблемы, основанное на теореме об отделимости выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Много внимания уде ляется попыткам расширения сферы приложения L-проблемы и указываются основные препятствия.

Эта задача явилась первым пробным камнем, на котором была успешно применена /.-проблема моментов. По-видимому, это наикратчайший путь к пониманию особенностей метода..

1. Постановка задачи. Пусть в n-мерном пространстве за даны две точки х0 и Х\, имеется система, описываемая уравне нием

X = A(t) X -(- B(t)u,	х =	{хъ ..., хп),	и =	{«], . .	иг).	(1)
Предположим далее, что		допустимые	сигналы и(і)		(управле
ния), подаваемые на	вход системы, суть			кусочно-непрерывные

x(tj

	Рис. 66
функции	u ( t) = \ux(t), ..., ur{t)},	компоненты	которых щ (t)
стеснены	ограничениями:
	\ui(t)\< L, і =	г.	(2)

Каждое допустимое управление и(і) порождает некоторую (единственную для него) траекторию x(t) системы (1), выхо дящую из любой заданной точки (рис. 66).

Если начало всех траекторий x(t) привязать к заданной точке х0, x(to) —Хо, то, возможно, при некоторых допустимых уп равлениях u(t) соответствующие им траектории x(t) системы (1) пройдут в некоторый момент t\ через вторую заданную точку Х\ (рис. 67). Двухточечная задача оптимального быстродействия состоит в поиске среди управлений, обладающих указанным свойством, таких u°(t), которые переводят траекторию x°(t) из

х0 в Х\ за наименьшее время t\— t0, т. е. х°(/0) = х0, х°(£?) = х1, и не существует допустимого управления, у которого траектория

x(t) обладает свойствами: х(/0) = х0, х(^) =	хь	< /?. Чис
ло t i —10 называют временем оптимального	быстродействия,

u°(t), t0< t <t°\,— оптимальным управлением,x° (t), t0< f< /?,—опти мальной траекторией.

2. Эквивалентные интерпретации задачи. Проще всего дать сформулированной задаче быстродействия геометрическую фор мулировку в терминах множества достижимости. Пусть

Q(ti) = [х : X = х{іъ х0, /<(•)), I и, I < L) —

(3)

9 За к. 2251

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ