книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

модулю

не

превосходящие единицы | u(t)

| -< 1. Предположим,

что система

(8)

управляема, т. е. выполняется условие (1.4)

для всех

g,

Il g

II > 0: g'F (tlt t) b Ф 0, 0 < t <

tv

динат

за время tu

необходимо и достаточно, чтобы

шах

0) х0 +

Г min

g'F (/ь t) bu dt j <

0.

(9)

llg |l = i(

„J U K I

j

Как отмечается в § 1 гл. I, функция

F(t, т)

для обыкновен­

ных систем представима в виде F (t, т) =

F(t)F~l (т). Поэтому, вво­

дя

в

(9)

новую переменную f'=g'F(ti) и учитывая

(§2. IV),

что для зада*чи быстродействия вид нормы || g II

не

играет ни­

какой

роли,получаем

шах

Г Xо -

J

I ГF Ht) b I dt

Il f Я= 1

о

Допустим, что управление uV:(t), 0.<Д<Д[,

удовлетворяет

принципу максимума (§ 5 гл. II), т. е. найдется /*,

||/* Ц > 1,

такой, что функция

и* (0 = — sign/*' F~'(t)b

(11)

переводит траекторию

x*(f)

в момент t = t* в начало

коорди­

нат

X* (f*) — 0.

управ­

Предположим, что существует другое допустимое

ление

«(/), О

такое, что

x(t1) = 0 , tt < t\ >причем уп­

равление

uit)

удовлетворяет

принципу

максимума,

т. е. и (t) =

=

— sign f

F~l (t) bt

где. / — вектор,

доставляющий

максимум

в

(10)

при

t =

Д

Так. как

x*(t\)= 0, то из формулы Коши

получим

*

h

О = ж* (f) = F (fx) х0+ j F (f)

F~l (t) bu* (t) dt

0

или

после

умножения

обеих

частей равенства

на

обратную

матрицу

F~[ (f*)

«

l\

О =

х0 ф

j

F~] (t) bu* (/) dt.

h

f*'

(о ь

I dt.

о

Г - Ѵ ' У

I

(12)

O

Аналогично получим

О = f~'x0 — j

\ f'F ■' (t) b

I dt.

(13)

0

Сравнивая (12) и (13), заключаем, что

*

т,

f I

о

Г

F~4t)b

I

dt = f*' х0~

С і /*' F~'(t)b I d t -

*

*o

‘о

_

77

- j

I

/* ’

F- '(t)b I

df <

(f) ь

I dt—

/' x0 -

j I

и

*

О

*

*1

Jp-1(/) b I

dt——j

*1

dt,

-

j

I

/*'

\ f*'F -i (t) b \

u

F

откуда

f*'F-'(t)b = 0, /£[7,, fl.

(14)

В § 1 было показано, что функция f*' / 7-1(/) b удовлетворяет

линейному

дифференциальному уравнению. Следовательно,

из

условия (14)

вытекает, что

f*' F~l(t)b = 0, /£[0,^*].

Последнее соотношение противоречит предположению об

управляемости системы (8).

является

оптимальным,

Таким

образом, управление u*(t)

т. е. принцип максимума является и достаточным условием

в

данной задаче.

ложены разнообразные методы доказательства

критериев

управляемости

[12—15]. Впервые явные критерии управляемости

для систем

с запаздыва­

нием доказаны в [16, 17]. Эти результаты потом

развивались в [18—22).

Для нестационарных систем полный результат известен в

аналитическом

жет быть развита столь же полно, как и теория управляемости.

Для нели­

нейных систем теория наблюдаемости почти не разработана.

является, вообще

§ 3.

Теория

идентификации для

линейных систем не

говоря, линейной

за

исключением

рассмотренного

здесь

случая. Один

из

взглядов

на идентификацию нелинейных систем изложен в

работе

[31].

в

§ 4.

Теоремы

существования

оптимальных

управлений

имеются

нейных систем этапными явились работы [314—37].

ния

§ 5.

Как следует из определения обобщенного оптимального управле­

(гл.

II), с темой предыдущего параграфа тесно связан вопрос о классах

функций,

на которых реализуются оптимальные управления. Кроме статьи

[4]

теме

настоящего параграфа посвящена работа

[38].

и в [39].

§ 6. Единственность оптимальных

управлений

доказывается

Предположения, имеющиеся в первых

работах с применением

L-проблѳмы,

ных систем подобный результат имеется в

[41, 42].

максимума для линей­

§ 8. Общая теорема

о достаточности принципа

ных систем с фазовыми

ограничениями

доказана

А. Я. Дубовицким

и

А. А. Милютиным [43]. Для нелинейных

систем используются

метод прира­

щений [44], динамическое программирование [45] и

метод В.

Ф. Кротова

[46].

1.

Г а н т м а х е р

Ф. Р. Теория матриц. М., Гостехиздат, 1953.

2.

V o g t

W. ü„

Си l i e

n C. G.

The minimum

number of

inputs regul-

red for

the complete

controllability e f

a

linear

stationary

dynamical

systems.

IEEE Trans. Automat. Control, AC-12, No 3, 1967.

controls in

the

absence

3.

N e u s t a d t

L. W.

The existence of optimal

of convexity conditions. J. Math. Anal, and Appl., 7,

No 1,

1963.

управления.

4.

Л а

С а л л ь

Д ж . П. Принцип оптимального релейного

Труды I Международного конгресса ИФАК по автомат, управл., 2. М„ Изд-во

АН СССР, 1961.

А. А.

Оптимальные процессы в системах

автоматиче­

5.

Ф е л ь д б а у м

ского регулирования. Автоматика и телемеханика, 14, № 5, 1953.

уравнения.

6.

П о н т р я г и н

Л. С.

Обыкновенные

дифференциальные

М., «Наука»,

1970.

Б. В. Методы теории функций

ком­

7. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т

плексного переменного. М., «Наука», 1965.

вещественной переменной.

М.,

8.

Н а т а н с о н

И. П. Теория функций

Гостехиздат,

1957.

Р. В. Теория оптимальных по быстродействию

про­

9. Г а м к р е л и д з е

цессов

в

линейных

системах. Изв. АН

СССР,

сер. мат.,

22, №

4,

1968.

10.

of

La

S а 11 е J. Р. The time

optimal

control problem. Contributions to th

theory

nonlinear

Oscillations. V. Princeton,

1959

12.

К р а с о в с к и й

H. Н. Теория управления движением. М.,

«Наука»,

1967.

К а л м а н

Р., Ф а л б

П., А р б и б

М. Очерки

по математической

13.

теории систем. М., «Мир», 1971.

управление,

теория

и

примене­

14.

А т а н с М., Ф а л б Л. Оптимальное

ние. М., «Энергия»,

1968.

of Optimal

Control

Theory, New

15. L e e Е. В.,

М а г k u s L. Foundations

York—London—Sydney,

1967.

16. К и р и л л о в а

Ф. M.,

Ч у р а к о в а С. В. К проблеме управляемости1

линейных систем с последействием. Дифферент уравнения, 3, № 3,

1967.

17.

К и р и л л о в а

Ф. М.,

Ч у р а к о в а

С. В. Относительная

управляе­

20.

Г а б а с о в

Р.,

К и р и л л о в а

Ф. М.,

К р а х о т к о

В. В. Управляе­

мость многоконтурных систем с сосредоточенными параметрами.

Автомати­

ка и телемеханика, № Ш, 1971.

полной управляемости

линейных

систем

21.

М и н ю к

С. А. К теории

дифференциальных

уравнений

с запаздывающим

аргументом.

Дифференц.

уравнения, 7, № 7, 1971.

К р а х о т к о

В. В. Относительная управляемость ли­

22.

Г а б а с о в

Р.,

нейных

стационарных

систем

с отклоняющимся

аргументом

нейтрального

типа. Дифференц. уравнения, 6, № 8, 1970.

of controllability. IEEE Trans­

23.

C h a n g

A. An

algebraic characterization

actions

on Autom. Control, AC-10,

No

1,

1965.

Controllability

and

observa­

24.

S i l v e r m a n

L. M.,

M e a d o w s H. E.

bility on time-variable

linear Systems. SIAM J. Control, 5, No 2, 1967.

си­

25.

З а б е л л о

Л. E. Об управляемости линейных

нестационарных

стем. Вестник БГУ, сер. мат., физ., мех., № 3, 1971.

26. 3 а б ел л о Л. Е; К вопросу об управляемости линейных нестационар­

ных систем с интегрируемыми коэффициентами. Дифференц. уравнения,

8,

№ 12, 1972.

Н.

Н.

К

проблеме

существования

оптимальных,

27.

К р а с о в с к и й

управлений. Изв. вузов, математика, № 6, 1959.

Диффе­

28.

К а р а с е в

И. П. О существовании области достижимости.

ренц. уравнения, 3, № 12, 1967.

управляемости

динамических

систем. Диф­

29.

Г а б а с о в

Р. К

теории

ференц. уравнения, 4, № 9, 1968.

задачи

теории

управляемости. Диф­

30.

П е т р о в

Н. Н. Решение одной

ференц. уравнения, 5, № 5, 1969.

31.

Г а б а с о в

Р.,

К о п е й к и н а

Т. Б. К

теории

идентификации

ди­

намических систем. Дифференц. уравнения, 6, № 12, 1970.

32.

B e l l m a n

R.,

G l i c k s b e r g

I., G r o s s О. On

the

„bang-bang“

control

problem. Quart. Appl. Math., 14, No 1, 1956.

33.

К р а с о в с к и й

H. H. К теории оптимального

регулирования. Авто­

матика и телемеханика, 18, № 11, 1957.

34. Ф и л и п п о в

А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального

ре­

гулирования. Вестник МГУ, сер. мат., мех., астр., физ., хим., № 2, 1959.

35. R o x i n

Е. The

existence

of optimal controls. Michigan

Math. J., 9,

No 2, 1962.

36.

Г а м к р е л и д з е

P. В. О скользящих

оптимальных режимах. ДАН

СССР,

143, № 6,

1962.

37. C e s a r i

L. An

existence theorem in problems of optimal

control

SIAM J. Control. A3, No 1, 1965.

principle.

38. H a 1 к i n

H.

A generalization of Lasalle's , bang-bang“

SIAM J. Control, A3, No 2, 1965.

39. Г и н д е с

В. Б. Об особом управлении в оптимальных системах. Изв.

вузов, матем., № 7, 1967.

40. К и р и л л о в а

Ф. М. О корректности постановки одной задачи оп­

тимального регулирования. Изв. вузов, математика, № 4, 1958.

41. К и р и л л о в а

Ф. М. О непрерывной зависимости решения одной

пехи мат. наук, 17,

вып. 4

(106),

1962.

control

problems. SIAM5J. Con­

42.

С u 11u m

J. Perturbations of optimal

trol, 4, No

4, 1966.

А. Я.,

М и л ю т и н

А. А.

Некоторые оптимальные

43.

Д

у б о в и ц к и й

44. Р о з о н о э р

Л. И. О достаточных

условиях

оптимальности. ДАН

СССР, 127, № 3, 1959.

В. Г. Математические методы

оптимального

управ­

45. Б о л т я н с к и й

ления. М„ «Наука», 1970.

Б у к р е е в

В. 3.,

Г у р м а н

В. И. Новые

методы

46. К р о т о в В.

Ф.,

вариационного

исчисления в динамике

полета. М., «Машиностроение», 1969.

Г л а в а

VII.

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

л: =

A{t) X - i - В {t) и,

(1)

X = {xlt

и — {«j, . . . ,u r),tçT =

[*„Л].

ниченного выпуклого множества

U: u ( t ) £ U . Рассмотрим

те

допустимые управления, которые переводят траектории x(t)

си­

стемы (1) из точки Хо в точку Xi:

х (t0) = х0, х(0) = х1% Качество

каждого такого управления оценим величиной

г,

/(«) = | \х' (0 М (0 ж(0 + и' (0 N (Z) и (01 dt,

(2)

І

Рассмотрим систему с запаздыванием:

X (f) = A (t) X (t) - j- А г (t) x(t — h) -[- B (t) и (t),

( 1)

? (/), t0— h < t < t0,

*o(0

x0,

x (^o)

X =

[xv .

u = {«!,-----ur},

tÇT = [/0, y ,

detß(0 VO, tÇTy

h > 0,

t{ не фиксировано. За множество U(-)

допустимых

уп­

равлений

возьмем совокупность

интегрируемых функций

u(t)

таких,

что

ее там в течение времени fr. х (t) = 0,

і°\ — h ^ t < t\. Для

ре­

шения задачи введем множество

= f x : x

= x(t1,x0(-),u(-)),u(-)ÇUl(-)},

где

— множество допустимых

управлений, перево­

дящих траектории x(t)

в начало координат и удерживающих их

там.

Непосредственно

проверяется,

что Q(t\)— выпуклое

мно­

жество.

что исходная

задача

эквивалентна

сле­

Нетрудно видеть,

R (ô) = {X : /ѴІ'-р (с I х)

8).

Р ’

at =Л 1 ^

х + Ь* (и«*)’ *(*о) = *о-

(1)

Е

: dt

А 2=(0у

■+ Ьг (V, t ) , y (t0) = у 0,

(2)

X = {*!, . .

у =

{Ѵі, . . . , у „ } , и = К , . . . , и г},ѵ = К .

... , ѵ9).

и (/) Ç4Jс: Ег.

(3)

v(t)£ V czE q,

(4)

игра продолжается

в течение

заданного отрезка времени

T = [ t 0, С]- Игрок Р

по доступной

информации стремится вы­

/(«, ѵ) = I! x(tx) — y(tx) II

(5)

было минимальным. Цель у игрока

Е противоположная: он

стремится максимизировать величину (5).

Решим

2. Решение задачи программного

преследования.

нужно

решить задачу терминального управления

/ (и (V), V) = min

II X (tj) — у (tx) Il

иШ

вдоль

траекторий систем (1), (2). Решим эту задачу с исполь­

зованием теоремы о минимаксе

(п. 2, § 2. I I I ) :

ueU II g II <1

II g II <1 ueU

X (h) =

Fx (tx, Q *0 + j

F! (tv

t) b, (u (t), i) dt,

U

У (ti) =

F * (*i, *0) Уо -I" j

F 2 (tv

0 b a (V (t), t ) d t.

to

В результате получим

I (и (V), v) — max

g' Fi (*i, h) *o +

(

mg' Fx*n (tu t) bx (u, t) dt -

H£ il <i

V иШ

= max

gr Fi (h, g xo— g'Fi {tu g Уо + H n g '/ 7! {tu t) bx {u,t)dt

il gil <i

y ueU

g°’

=

F2{tut)b2{v,t),

veV

где g0 — вектор,

доставляющий максимум в правой части ра­

венства (6).