книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

отрезка [0,

(см.

§

1, где

получено уравнение

для

этой

функции).

Таким

образом,

оптимальное

управление

u°(t),

О р е а л и з у е т с я

на кусочно-постоянной

функции.

Вывод. В задаче (1) с управляемой системой оптимальное

управление существует в классе релейных функций.

Если

в задаче

(1)

предположить, что A(t),

b(t) — перемен­

ные матрица и вектор, которые удовлетворяют на отрезке

[О,

^і] достаточному условию управляемости из п.

7.1, то по

только что приведенной схеме можно доказать

существование

оптимального релейного управления и в этом случае.

си­

2. Системы с несколькими управлениями.

Рассмотрим

стемы с г входами:

у =

Ах 4- Bu,

X (0) = х0, 0 < t < tv X =

(хх,

(3)

I (и) - ср (х (іг)) -> шіп

(4)

ные'' для задачи (1) рассуждения при каждом і, і =

1,..., г,

опять убеждаемся, что задача (3), (4) имеет

решение

в

клас­

се релейных функций

управления.

утверждение

и на

Соответствующим

образом обобщается

сохранятся для рассмотренных выше систем,

если исследовать

задачи с подвижными концами:

х (/0)6Х0, х & К * !

(5)

(Аф, Х\ — ограниченные замкнутые выпуклые множества). Мож­

но также критерий (4) заменить на критерий

быстродействия. #

Общий случай. Рассмотрим линейную систему

X = А (t)x +

b (u(t), t), X = (xj,. . . , x„),

и =

[uv .. . ,ur),

где A(t),

b(u, t)

— непрерывные функции.

Пусть

Ù —: ограниченное замкнутое

множество. Допусти­

Салль

[4]

доказал

довольно

общий результат о принципе ре-

лейности

(bang — bang

principle). В данном параграфе

выяс­

няются условия, когда оптимальные управления релейны.

1. Теорема об п интервалах. Рассмотрим систему

*<п>-р а1х<п-1) - + . . . + апх — bu,

(1)

где X, и — одномерные

выходная

и входная переменные;

аи ...,

ап, Ьф0 — постоянные

числа

(параметры), характеризующие

объект управления и входные устройства.

управ­

Пусть

требуется с помощью

кусочно-непрерывных

лений

u(t), іф>0, ограниченных по модулю единицей

! u(t) 1<

1,

(2)

перевести

систему

из начального

состояния

х (0) —х10, . . . ,

Фп~■1) (0) =

(3)

в конечное:

X (к) “=* іі,... , *<"-

(4)

Из

теории управляемости

(§ 1) следует, что если векторы

х0 — (х1о,..., хп0\ и Хі —

хп1 (достаточно близки по норме

( УХі — *0 II < е),

то

всегда

найдется допустимое управление,

X” -р а ф п 1 - Р ... -р а„_ іХ -р а „ = 0

(5)

и0(0 =

sign^0 (/) b = sign

(/) sign b,

(6)

где ф°(0 — нетривиальное решение сопряженного

уравнения

(— 1)"ф(п) +

( - I)"-1 аф

• • + а„ф =

0.

(7)

( - 1)"Х* + ( - I)" -1ахХ"-> +

. . . - а„_,Х + ап = 0.

(8)

Если X= Х1 — некоторый корень

уравнения (5), то X= —

—

если X= XÄ— корень уравнения (8), то

с\е lk *

(9)

решение уравнения (7), что легко проверяется подстановкой

(9)

(9)

решениями уравнения (7)

будут функции:

c ite n t ,

cU2e Xki , . . . , c mk Г * " 1«"*',

(10)

где ск, с*,...,

скт — произвольные

числа.

В

силу

линейности

уравнения (7) решением будет и функция

Ф* (0 =

(сі + Сгі +

+

) е

k

•

(U)

щие

Пусть Х1

5

Xs — все различные корни уравнения (8), имею­

кратности

m i, ..., ms. Ясно,

что тх 4- ... -\-ms — п. По

до­

казанному для

каждого

корня

XÉ, k ~ 1,..., s,

функция (11)—

решение уравнения (7). Поэтому опять

же

в силу

линейности

функция

s

тк

Ф(9 = Ф1 (0 +

■. •+

ф, (9 = 2

2

W

~

l е Ѵ

(12)

k—\ i=1

есть

решение уравнения

(7), зависящее

от п произвольных

по­

стоянных с*, г = 1..... mk\k = 1,...,

s. Решение (12)

называется

об­

щим решением уравнения

(7), поскольку любое решение уравне­

ния (7) представимо в виде (12) при некоторых

значениях по­

стоянных Сі . Это утверждение

является

следствием

линейной

независимости

функций ( 11) при k = \, ..., s и приводится в кур­

сах по дифференциальным уравнениям.

В силу (6) для доказательства теоремы достаточно показать,

что функция ф° (t), 1

0, не может

иметь более п—1

нуля.

Но

ку еРт - Ч>( 7^=0, то число нулей

функции

(17)

не

превосходит

степени полинома, стоящего в скобках в

(17),

т.

е. не

больше

m t —1. Противоречие доказывает

утверждение

о

числе

нулей

функции (13).

чем

—1 = п—1. Таким образом,

теорема об

п интервалах доказана.

Примечание. В рассуждениях мы использовали веществен­

ность корней уравнения (8). Это предположение

существенно

зательства

(см. § 1 .VIII).

2. Принцип релейности. Рассмотрим задачу терминального

управления

х ~ A(t)x -\- b(t)u,

t£ а =

[^0,

,

x(t0) =

х0, I

u(t) I <

1,

(18)

I{ü) =

Hx(tx) Il

min,

Il X II — евклидова

норма.

Согласно результатам § 3. III, минимальное значение крите­

рия качества равно

6° = m a X(

inf

f

g'F {tx,i)b{t)u{t)dt

иe l = i

1“ (б I

?

V

*0

=g0, F (к, g *o - J

I г0' F (g оb(о I dt.

и

Оптимальное управление u°(t) определено на

множестве

° * = { t : g 0' F (іъ і) b (І)Ф О,

(19)

и равно

«° (1) = — sign g0' F (tx, t) b (t),

- (20)

a правый конец

оптимальной

траектории x°(t)

удовлетворяет

условию

* °(g

=

5°g°.

(2i)

Если

<з0=о

(множество

а \ с 0

пустое или

имеет нулевую

t)b{t))k,

t & \ a Q,

k < n .

(23)

В силу (21) на множестве с\<з0 можно

найти

допустимое

уп­

равление м1(0 такое, что траектория

системы, порожденная

управлениями

м1(Г), приходила в

точку

8°g0. Другими

словами, задача разрешима относительно u(i),

t Ç а \ а 0:

a°g° = F (tv t0) x0+ J F(tlt t) b (t) u° (t) d t+

J Fit,, t) b (t) и (t) dt. (24)

ao

°\a0

СІ -

J 1

=

\ , ... ,k,

(25)

CTXffo

где

с1= 8°g0 — F(tu

t0) x0— J F(tu t)

b (t) u°(t) dt -- известный

я-вектор. К равенствам

a0

(25) добавим еще одно:

d1=

j a 1(t) и (t) dt,

(26)

а \а0

в котором dx — некоторое

число; ai(t) — функция, вполне ли­

нейно

независимая от функций (23) на о \о 0, т. е. для

любых

k

чисел

g,, ..

g* (2 g? > 0) не существует множества ш

нену-

левой

/= і

меры такого, что

=

t&.

i= 1

По предположению система уравнений (25) разрешима от­

носительно u(t)

таких, что

I u(t)

! < U e > \* 0.

(27)

ся следующим образом:

k

шах

gic\ + fd1

I

(28)

Beü+lfM

®\Oo i=1

По доказанному

существует такое число d 1, когда

левая

меньшее

dl ,

при

котором

(28) превращается

в равенство.

Пусть gl,

. ..,

g l , Z1— числа,

на которых при d1 = d1 до­

стигается максимум в (28). Обозначим

°і= Ь : 2 #

*

)

Ъ ^

+

flfll W ф °-

}•

Управление u\t),

/ f о \ а 0, разрешающее

задачу

(24),

(25),

однозначно определено на множестве аь где имеет вид

и1(0 =

— sign

gî IF (к, t) b (0]i + Pa1 (0

>

j.

(29)

Если

а0 [J at =

а,

то

управление

u(t),

составленное

из

условий

(20), (29), почти всюду на <з обладает свойством (22) и

решает

задачу (18).

Тогда на множестве

а \ {а0 (J

}

выпол-

Пусть а0 U Oj Ф а.

к

gl [F (tlt t) b (7)]г- -f- f^d1(t)

няется

тождество

V

= 0,

и

поэтому

среди

функций [F (flt t) b (f)]b . . . ,

[F (tu t) b{t)\k, o1 {t), t &

\ }o0 U сц},

есть

линейно

зависимые.

Такие

функции

находятся

среди

первых k функций в силу выбора. Выберем

из

них

линейно

независимые:

[F{ti,t)b{t)]1, . . . , \ F { t 1,t)b{t))kï

(30)

Выделяя в (24)

уже

известное

управление

d(t),

опять придем к равенствам вида

(25),

где

вместо

k

будет

стоять Іги вместо

а \ а

0 —

а \ { а 0 (J o t }.

Добавляя

к

получен­

ным

соотношениям

еще

одно

типа

(26)

с функцией

а2(і),

^ 6 °\

1°о U аі}!

вполне

линейно независимой

от

функций

(30),

построим по описанной для u\t) схеме управление

u\t),

ко­

торое

обладает свойством (22) на множестве

=

[t- J

g2 [F (h, t) b (t)]i +

f a 2 (t) ф 0, ^

\ {

eoU9l}

].

Если aol)ai U a2 = °>

то

совокупность из трех построенных

управлений решает

задачу

(18)

и

обладает

свойством

(22).

Если °0 у Oj (J а2 7^ о,

то

процесс

продолжаем.

Ясно,

что

он

окончится не более чем через

т , т < п —т\,

шагов.

В

ре-

зультате получатся

множества

а05

от,

и

= а» и управле-

і=0

ат соответствен­

ния u°(t), . . ., um(t), определенные на о0, . .

но, разрешающие в совокупности

задачу

(18)

и обладающие

свойством (22).

и (і) =

К

(31)

\um(t), К°т

лейным, если оно измеримо и обладает

свойством (22).

Покажем, что управление (31) измеримо. Каждое из мно­

жеств о0, ..., от по построению

измеримо,

если

b(t),

ax(t), ...,

ат ( t ) ~ измеримые функции.

Каждая функция

и1 (t),

опреде­

Поэтому, выбирая функции

al(t),

a m(t)

кусочно-аналитиче­

скими, получаем, что каждое

управление

кусочно-непрерывно,

а, следовательно, управление

(31)

релейно.

Q&) =

{х:х(^,х0, «(•)), 1«

| <

1}.

(1)

Оно строго выпукло, т. е. его граница не содержит

„плоских“

участков

(строго:

при

любых

х и х г £ Q,

х х ф х 2,

числа

к,

О < X< 1, точка (1 — X)х х + к х г является

внутренней

для

Q).

Другими словами, для каждой граничной точки х

множества

Q нельзя

найти точек хь х2 Ç Q, хх Ф х2

и

числа X, 0 <

к < 1,

таких, что

х =

(1 — к) Ху-\ -кх 2. Допустим,

что

множество

(1)

не является строго

выпуклым,

т. е.

существует

точка

х,

X Ç dQ, такая,

что

X =

(1 — Х)хх +

Хх2, x lt x2£<?Q, 0 <

к <

1.

(2)

Точкам X ,

х и х2 соответствуют управления

u(t),

u{(t)

u2(t),

0 < f

Поскольку все три точки граничные, то

через

них

можно провести опорные плоскости. Пусть

g ,

g u ^

— норма­

ли соответствующих опорных плоскостей.

Согласно

опреде­

лению опорной плоскости

(п.4.2.11),

g'x = min g'y, y£Q.

(3)

Аналогичные

соотношения

выполняются для пар

{g1( Xj),

определяет непрерывное

справа

управление

однозначно

на

[О, t{\. Предположение

(2) в силу линейности и управляемости

системы (4.1) по управлению означает

и (0 =

(1 — к)щ (t) + ки2 (t).

(4)

Покажем, что при

к,

0 < к < |1, это равенство возможно лишь

тогда, когда

«1 (0 =

иг (0.

(5)

Предположим,

что это

не так и т — точка из отрезка,

на кото­

ром тождество

нарушается. Пусть для определенности их(т) =

1,

«2 (т)——1. Подставляя эти значения в правую

часть

формулы

(4), получим (1—к)-1 —Х= 1 —2Х.

Это число по

модулю меньше

Рис 84

Рис. 85

на

gj,

§2 (Рис-

86)-

В этом слу­

чае,

вообще

говоря,

появляется

возможность

двух

оптимальных

управлений, вычисленных

из (4.2)

для

разных

g'0! и g®.

Однако в

действительности

этого не может быть. Два разных управления

u°i(t) и ul(t), 0 -<

tu

дают две разные точки x {tx)

и

x%tx),

ле­

жащие на границе d Q(/,).

По определению точек

X\{tt ) и лД^і)

опорные плоскости

в них

к множеству

Q{tx)

имеют

нормали

g? и g°. По определению

же векторов g0, доставляющих

мак­

симум

в задаче,

каждый

из них разделяет множества

Q(tx)

и

R (§°). В силу

строгой

выпуклости

множеств

Q(^)

и R (8°)

у

них

может быть лишь

одна общая точка. Поэтому точки

x°\(tx)

и

x\{tx)

должны

совпадать,

что

возможно

в

силу

(5)

лишь

при ti[(f) ES ul(t) (за

исключением

точек

разрыва).

Таким образом, единственность оптимального управления для

задачи

(4.1)

при условии, что система

управляема,

доказана.

2.

Системы

с несколькими входами. Приведенные

рассуж­