
книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа
.pdfотрезка [0, |
(см. |
§ |
1, где |
получено уравнение |
для |
этой |
|||
функции). |
|
Таким |
образом, |
оптимальное |
управление |
u°(t), |
|||
О р е а л и з у е т с я |
на кусочно-постоянной |
функции. |
|
||||||
Вывод. В задаче (1) с управляемой системой оптимальное |
|||||||||
управление существует в классе релейных функций. |
|
|
|||||||
Если |
в задаче |
(1) |
предположить, что A(t), |
b(t) — перемен |
|||||
ные матрица и вектор, которые удовлетворяют на отрезке |
[О, |
||||||||
^і] достаточному условию управляемости из п. |
7.1, то по |
||||||||
только что приведенной схеме можно доказать |
существование |
||||||||
оптимального релейного управления и в этом случае. |
си |
||||||||
2. Системы с несколькими управлениями. |
Рассмотрим |
||||||||
стемы с г входами: |
|
|
|
|
|
|
|
||
у = |
Ах 4- Bu, |
X (0) = х0, 0 < t < tv X = |
(хх, |
|
(3) |
и = {uv ... ,иг), \щ \ < 1, / = 1,.. ., г.
Пусть опять рассматривается задача терминального управления
I (и) - ср (х (іг)) -> шіп |
(4) |
с непрерывной квазивыпуклой функцией ф (х).
Предположим, что система (3) нормальна (по Ла Саллю), т. е. при каждом і, і = 1,..., г, выполняется условие ранг {bit Abi, . . . .
An~]bi) = п, где bi — і-й столбец матрицы В. Повторяя приведен
ные'' для задачи (1) рассуждения при каждом і, і = |
1,..., г, |
|||
опять убеждаемся, что задача (3), (4) имеет |
решение |
в |
клас |
|
се релейных функций |
управления. |
утверждение |
и на |
|
Соответствующим |
образом обобщается |
нестационарные системы.
При доказательстве приведенных простейших теорем суще ствования оптимальных управлений не использовался конкрет ный вид критерия качества и граничных условий. Нетрудно про верить, что теоремы существования оптимальных управлений -
сохранятся для рассмотренных выше систем, |
если исследовать |
|||
задачи с подвижными концами: |
|
|
||
|
|
х (/0)6Х0, х & К * ! |
|
(5) |
(Аф, Х\ — ограниченные замкнутые выпуклые множества). Мож |
||||
но также критерий (4) заменить на критерий |
быстродействия. # |
|||
Общий случай. Рассмотрим линейную систему |
||||
X = А (t)x + |
b (u(t), t), X = (xj,. . . , x„), |
и = |
[uv .. . ,ur), |
|
где A(t), |
b(u, t) |
— непрерывные функции. |
|
|
Пусть |
Ù —: ограниченное замкнутое |
множество. Допусти |
мые управления и (t), t0s^.t^Ct,— измеримые функции со значе ниями из U. Л. В. Нойштадтом доказано [3], что множество достижимости системы в этом случае—- выпуклое ограниченное
замкнутое множество. Отсюда следует, что задача терминально го управления с критерием (4), где ср (х) — непрерывная функ ция, имеет решение в классе измеримых управлений. Такой же вывод справедлив и для задачи быстродействия.
Можно учесть и подвижные граничные условия (5), если Х0, Х і —-замкнутые, ограниченные множества.
§ 5. Релейность оптимальных управлений
Релейные управления, принимающие лишь два значения и имеющие конечное число моментов переключения, легко реали зуемы на технических устройствах. Поэтому для приложений важно знать, когда оптимальные управления релейны. Дж. П. Ла
Салль |
[4] |
доказал |
довольно |
общий результат о принципе ре- |
|||
лейности |
(bang — bang |
principle). В данном параграфе |
выяс |
||||
няются условия, когда оптимальные управления релейны. |
|
||||||
1. Теорема об п интервалах. Рассмотрим систему |
|
||||||
|
|
*<п>-р а1х<п-1) - + . . . + апх — bu, |
(1) |
||||
где X, и — одномерные |
выходная |
и входная переменные; |
аи ..., |
||||
ап, Ьф0 — постоянные |
числа |
(параметры), характеризующие |
|||||
объект управления и входные устройства. |
управ |
||||||
Пусть |
требуется с помощью |
кусочно-непрерывных |
|||||
лений |
u(t), іф>0, ограниченных по модулю единицей |
|
|||||
|
|
|
|
! u(t) 1< |
1, |
(2) |
|
перевести |
систему |
из начального |
состояния |
|
|||
|
|
х (0) —х10, . . . , |
Фп~■1) (0) = |
(3) |
|||
в конечное: |
|
|
|
|
|
||
|
|
X (к) “=* іі,... , *<"- |
|
(4) |
|||
Из |
теории управляемости |
(§ 1) следует, что если векторы |
|||||
х0 — (х1о,..., хп0\ и Хі — |
хп1 (достаточно близки по норме |
||||||
( УХі — *0 II < е), |
то |
всегда |
найдется допустимое управление, |
решающее задачу. Для таких точек оптимальное по быстро действию управление в задаче (1) — (4), согласно § 4, всегда существует.
Теорема А. А. Фельдбаума [5] об n -интервалах состоит в следующем: если все корни характеристического уравнения си стемы (1)
X” -р а ф п 1 - Р ... -р а„_ іХ -р а „ = 0 |
(5) |
действительны, то оптимальное по быстродействию управление релейно I u°(t) | = 1 и имеет не более п интервалов постоянства.
Для доказательства теоремы воспользуемся принципом мак-
симума п. 2.4.II. Оптимальное управление u°(t) удовлетворяет условию
и0(0 = |
sign^0 (/) b = sign |
(/) sign b, |
|
(6) |
где ф°(0 — нетривиальное решение сопряженного |
уравнения |
|||
(— 1)"ф(п) + |
( - I)"-1 аф |
• • + а„ф = |
0. |
(7) |
Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид
( - 1)"Х* + ( - I)" -1ахХ"-> + |
. . . - а„_,Х + ап = 0. |
(8) |
Если X= Х1 — некоторый корень |
уравнения (5), то X= — |
— |
корень уравнения (8), и наоборот, что проверяется прямой под становкой. В силу предположения теоремы следует, что все кор ни уравнения (8) действительны.
Из теории дифференциальных уравнений [6] известно, что
если X= XÄ— корень уравнения (8), то |
|
с\е lk * |
(9) |
решение уравнения (7), что легко проверяется подстановкой |
(9) |
в (7). Если lk — корень уравнения кратности тк, то наряду с
(9) |
решениями уравнения (7) |
будут функции: |
|
|
|
|
||||||||
|
c ite n t , |
cU2e Xki , . . . , c mk Г * " 1«"*', |
|
|
(10) |
|||||||||
где ск, с*,..., |
скт — произвольные |
числа. |
В |
силу |
линейности |
|||||||||
уравнения (7) решением будет и функция |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ф* (0 = |
(сі + Сгі + |
+ |
|
|
) е |
k |
• |
|
|
(U) |
|||
щие |
Пусть Х1 |
5 |
Xs — все различные корни уравнения (8), имею |
|||||||||||
кратности |
|
m i, ..., ms. Ясно, |
что тх 4- ... -\-ms — п. По |
до |
||||||||||
казанному для |
|
каждого |
корня |
XÉ, k ~ 1,..., s, |
функция (11)— |
|||||||||
решение уравнения (7). Поэтому опять |
же |
в силу |
линейности |
|||||||||||
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
тк |
|
|
|
|
|
|
Ф(9 = Ф1 (0 + |
■. •+ |
ф, (9 = 2 |
2 |
W |
~ |
l е Ѵ |
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k—\ i=1 |
|
|
|
|
||
есть |
решение уравнения |
(7), зависящее |
от п произвольных |
по |
||||||||||
стоянных с*, г = 1..... mk\k = 1,..., |
s. Решение (12) |
называется |
об |
|||||||||||
щим решением уравнения |
(7), поскольку любое решение уравне |
|||||||||||||
ния (7) представимо в виде (12) при некоторых |
значениях по |
|||||||||||||
стоянных Сі . Это утверждение |
является |
следствием |
линейной |
|||||||||||
независимости |
функций ( 11) при k = \, ..., s и приводится в кур |
|||||||||||||
сах по дифференциальным уравнениям. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В силу (6) для доказательства теоремы достаточно показать, |
|||||||||||||
что функция ф° (t), 1 |
0, не может |
иметь более п—1 |
нуля. |
Но |
ф °(0 — нетривиальное решение уравнения |
(7), и |
поэтому оно |
имеет вид (12), где не все постоянные с? |
равны |
нулю. Таким |
образом, нужно показать, что выражение, стоящее справа в |
(12), |
не может иметь более п—1 нуля. Каждое слагаемое (0 в |
(12) |
в силу (И) имеет не более тк—1 нуля, ибо е'ъ* ф 0 и корни функции (11) совпадают с корнями многочлена степени тпк— 1, стоящего в скобках. Если в (Т2) взять любые два слагаемые tyk(t)
ито число нулей их суммы
|
|
Ь (О + |
'МО |
|
(13) |
|
не превзойдет числа |
(mh — 1) + (ml — 1) + 1 = mk ф mt — 1. |
|
||||
Допустим противное: число нулей функции (13) равно или |
||||||
больше, чем шк ф тпѵ Умножим функцию (13) на с_хд.* ф 0: |
|
|||||
С\фС2І |
Cmk t * |
-2 |
t -f-... -f- clm |
e<xr-x*K |
(H) |
|
+ (ci 4~c |
|
|
||||
Ясно, что нули функций (13) и (14) |
одни и те же и их не менее, |
|||||
чем шк ф т 1. |
Вычислим производную по t от функции (14): |
|||||
С2 ф 2czt |
-ф Cmk (pik — 1) t |
k |
ф (C2+ 2 с з t 4~ ■• • -f- |
|
||
+ Стг (mt — 1) (tmi~2 ) e<xr xk>*ф (с[ф cl2t Ф ... Ф |
|
|||||
|
+ |
clmitmi - v) ^ - h ) e ( h - 4 ) t . |
|
(15) |
Поскольку между любыми двумя нулями функции есть по крайней мере один нуль производной, то функция (15) имеет не менее. ч ем тй+/гег—1 нуля. Собирая в (15) подобные члены, получаем
с\ + Сз t ф . . . -|- Стк (тпк — 1) tmk~2 ф (d\ ф d2t ф .. . ф
|
|
|
ф dlmitmi-')e(Ki - h ) t , |
(16) |
||
где |
d\, |
. .., |
сіщ — некоторые |
постоянные, |
выражающиеся че |
|
рез |
с\, |
.. ., |
cmi,l причем dlmi = |
Cm, ( \ |
— ф). |
|
|
Так как по предположению |
7, Ф |
Хк , |
то степень полинома, |
||
стоящего в |
(16) перед е(Х/ ~ х*>* такая же, |
как в (15), а степень |
«свободного» полинома в (16) уменьшилась не менее чем на еди ницу. Функцию (16) продифференцируем еще раз, и опять сте пень полинома при е^і —xk)t сохранится, а степень «свободного» полинома уменьшится по меньшей мере на единицу. Число ну лей производной от (16) будет не меньше, чемm ^rtik —2. Повто ряя описанную процедуру тк раз, придем к тому, что в резуль тате «свободный» полином исчезает, тк-ая производная будет иметь вид
(ё\ + à t ф .. • 4 - £m, tmi~x ) eih-h) |
(17) |
|
183
Поскольку функция (17) получена последовательным диф ференцированием из функции (14), то в силу упомянутой связи между нулями функции и ее производной число нулей функции не меньше, чемm,kJr m l—m k=ml. Но, с другой стороны, посколь
ку еРт - Ч>( 7^=0, то число нулей |
функции |
(17) |
не |
превосходит |
|
степени полинома, стоящего в скобках в |
(17), |
т. |
е. не |
больше |
|
m t —1. Противоречие доказывает |
утверждение |
о |
числе |
нулей |
|
функции (13). |
|
|
|
|
|
Проведя математическую индукцию по числу слагаемых, с помощью приведенных рассуждений легко показать, что число нулей функции ty(t) в (12), состоящей из s слагаемых, не более
чем |
—1 = п—1. Таким образом, |
теорема об |
п интервалах доказана. |
|
|
|
Примечание. В рассуждениях мы использовали веществен |
|
ность корней уравнения (8). Это предположение |
существенно |
для справедливости утверждения, а не вызвано методом дока
зательства |
(см. § 1 .VIII). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Принцип релейности. Рассмотрим задачу терминального |
|||||||||
управления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ~ A(t)x -\- b(t)u, |
t£ а = |
[^0, |
, |
|
||||
|
|
x(t0) = |
х0, I |
u(t) I < |
1, |
|
(18) |
||
|
|
I{ü) = |
Hx(tx) Il |
min, |
|
|
|||
Il X II — евклидова |
норма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно результатам § 3. III, минимальное значение крите |
|||||||||
рия качества равно |
|
|
|
|
|
|
|
||
6° = m a X( |
|
|
inf |
|
f |
g'F {tx,i)b{t)u{t)dt |
|||
иe l = i |
|
1“ (б I |
|
? |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
=g0, F (к, g *o - J |
I г0' F (g оb(о I dt. |
|||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Оптимальное управление u°(t) определено на |
множестве |
||||||||
|
° * = { t : g 0' F (іъ і) b (І)Ф О, |
|
|
(19) |
|||||
и равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«° (1) = — sign g0' F (tx, t) b (t), |
|
- (20) |
||||||
a правый конец |
оптимальной |
траектории x°(t) |
удовлетворяет |
||||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* °(g |
= |
5°g°. |
|
|
(2i) |
||
Если |
<з0=о |
(множество |
а \ с 0 |
пустое или |
имеет нулевую |
меру), то построенное управление u°(t) почти всюду на а обла дает свойством
I и ° ( 91 = 1 .
Пустьа0^=а.Тогда на множествео\а0выполняется тождество g0' F{tl t î) b (t) = 0, t£<3\o0, т. e. функции [Д(^, 05(OÎi> • • [F(tx, t)b(t)]n линейно зависимы. Выберем среди них линейно независимые:
|
t)b{t))k, |
t & \ a Q, |
k < n . |
(23) |
В силу (21) на множестве с\<з0 можно |
найти |
допустимое |
уп |
|
равление м1(0 такое, что траектория |
системы, порожденная |
|||
управлениями |
м1(Г), приходила в |
точку |
8°g0. Другими |
|
словами, задача разрешима относительно u(i), |
t Ç а \ а 0: |
|
||
a°g° = F (tv t0) x0+ J F(tlt t) b (t) u° (t) d t+ |
J Fit,, t) b (t) и (t) dt. (24) |
|||
|
ao |
°\a0 |
|
|
По предположению в (23) линейно независимы лишь первые k функций, поэтому п равенств (24) всегда будут выполняться, если выполнены первые k из них:
|
СІ - |
J 1 |
|
= |
\ , ... ,k, |
(25) |
|
|
CTXffo |
|
|
|
|
где |
с1= 8°g0 — F(tu |
t0) x0— J F(tu t) |
b (t) u°(t) dt -- известный |
|||
я-вектор. К равенствам |
|
a0 |
|
|
||
(25) добавим еще одно: |
|
|||||
|
|
d1= |
j a 1(t) и (t) dt, |
|
(26) |
|
|
|
|
а \а0 |
|
|
|
в котором dx — некоторое |
число; ai(t) — функция, вполне ли |
|||||
нейно |
независимая от функций (23) на о \о 0, т. е. для |
любых |
||||
|
|
k |
|
|
|
|
чисел |
g,, .. |
g* (2 g? > 0) не существует множества ш |
нену- |
|||
левой |
|
/= і |
|
|
|
|
меры такого, что |
|
|
|
|||
|
|
= |
|
|
t&. |
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
По предположению система уравнений (25) разрешима от |
||||||
носительно u(t) |
таких, что |
|
|
|
||
|
|
I u(t) |
! < U e > \* 0. |
|
(27) |
Поэтому найдется d l такое, что и система (25), (26) будет разрешима относительно функций и(і), удовлетворяющих усло
вию (27) (достаточно взять d l равным значению правой части (26) на решении системы (25)).
Аналитически разрешимость системы (25), (26) записывает
ся следующим образом: |
|
||
|
k |
|
|
шах |
gic\ + fd1 |
I |
(28) |
Beü+lfM |
|
®\Oo i=1 |
|
По доказанному |
существует такое число d 1, когда |
левая |
часть этого неравенства неположительна. Далее, если <Д-*оо, то она стремится к + со (достаточно взять / = 1, g = 0). А поскольку левая часть непрерывна по d1, то найдется наи
меньшее |
dl , |
при |
котором |
(28) превращается |
в равенство. |
|
||||||||||||
|
Пусть gl, |
. .., |
g l , Z1— числа, |
на которых при d1 = d1 до |
||||||||||||||
стигается максимум в (28). Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
°і= Ь : 2 # |
* |
) |
Ъ ^ |
+ |
flfll W ф °- |
|
|
}• |
|
|||||||
|
Управление u\t), |
/ f о \ а 0, разрешающее |
задачу |
(24), |
(25), |
|||||||||||||
однозначно определено на множестве аь где имеет вид |
|
|||||||||||||||||
|
|
и1(0 = |
— sign |
|
gî IF (к, t) b (0]i + Pa1 (0 |
> |
j. |
(29) |
||||||||||
|
Если |
а0 [J at = |
а, |
то |
управление |
u(t), |
|
составленное |
из |
|||||||||
условий |
(20), (29), почти всюду на <з обладает свойством (22) и |
|||||||||||||||||
решает |
задачу (18). |
Тогда на множестве |
а \ {а0 (J |
} |
выпол- |
|||||||||||||
|
Пусть а0 U Oj Ф а. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
к |
gl [F (tlt t) b (7)]г- -f- f^d1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
няется |
тождество |
V |
= 0, |
и |
|
поэтому |
||||||||||||
среди |
функций [F (flt t) b (f)]b . . . , |
[F (tu t) b{t)\k, o1 {t), t & |
\ }o0 U сц}, |
|||||||||||||||
есть |
линейно |
зависимые. |
Такие |
функции |
|
находятся |
среди |
|||||||||||
первых k функций в силу выбора. Выберем |
из |
них |
|
линейно |
||||||||||||||
независимые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
[F{ti,t)b{t)]1, . . . , \ F { t 1,t)b{t))kï |
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
||||||||
|
Выделяя в (24) |
уже |
известное |
управление |
d(t), |
|
||||||||||||
опять придем к равенствам вида |
|
(25), |
где |
|
вместо |
k |
будет |
|||||||||||
стоять Іги вместо |
а \ а |
0 — |
а \ { а 0 (J o t }. |
Добавляя |
к |
получен |
||||||||||||
ным |
соотношениям |
еще |
одно |
|
типа |
(26) |
с функцией |
а2(і), |
||||||||||
^ 6 °\ |
1°о U аі}! |
вполне |
линейно независимой |
от |
функций |
(30), |
||||||||||||
построим по описанной для u\t) схеме управление |
u\t), |
ко |
||||||||||||||||
торое |
обладает свойством (22) на множестве |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
[t- J |
g2 [F (h, t) b (t)]i + |
f a 2 (t) ф 0, ^ |
\ { |
eoU9l} |
]. |
|
Если aol)ai U a2 = °> |
то |
совокупность из трех построенных |
|||||||
управлений решает |
задачу |
(18) |
и |
обладает |
свойством |
(22). |
|||
Если °0 у Oj (J а2 7^ о, |
то |
процесс |
продолжаем. |
Ясно, |
что |
он |
|||
окончится не более чем через |
т , т < п —т\, |
шагов. |
В |
ре- |
|||||
зультате получатся |
множества |
а05 |
от, |
и |
= а» и управле- |
||||
|
|
|
|
|
|
і=0 |
ат соответствен |
||
ния u°(t), . . ., um(t), определенные на о0, . . |
|||||||||
но, разрешающие в совокупности |
задачу |
(18) |
и обладающие |
||||||
свойством (22). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство (22) было положено в основу определения релей ного управления. Дополнительно предполагалось, что функция и(0> t имеет лишь конечное число моментов переключения. Построенная выше функция
и (і) = |
К |
(31) |
|
|
\um(t), К°т |
обладает свойством (22), но неизвестно, является ли она кусоч но-непрерывной. Решить этот вопрос в общем случае трудно. Поэтому ослабим требование кусочно-непрерывности и введем новое понятие: управление u(i), /Ça, называется обобщенно ре
лейным, если оно измеримо и обладает |
свойством (22). |
|||
Покажем, что управление (31) измеримо. Каждое из мно |
||||
жеств о0, ..., от по построению |
измеримо, |
если |
b(t), |
ax(t), ..., |
ат ( t ) ~ измеримые функции. |
Каждая функция |
и1 (t), |
опреде |
ленная по правилу (29), измерима. Функция u(t), составленная из конечной совокупности измеримых функций, измерима. Та ким образом, нами доказан принцип обобщенной релейности: каждое оптимальное управление в задаче (18) можно взять обобщенно релейным.
Чтобы получить принцип релейности, предположим, что функции A(t), b(t), t Ça, - кусочно-аналитические, т. е. найдет ся конечное число непересекающихся отрезков, составляющих а, и таких, что на каждом из них эти функции аналитические. Из вестно [7]. что аналитическая функция отличная от тождествен ного нуля не имеет на конечном отрезке точек сгущения нулей.
Поэтому, выбирая функции |
al(t), |
a m(t) |
кусочно-аналитиче |
скими, получаем, что каждое |
управление |
кусочно-непрерывно, |
|
а, следовательно, управление |
(31) |
релейно. |
|
Таким образом, оптимальное управление в задаче с кусоч но-аналитической системой может быть выбрано релейным (принцип релейности). Эти результаты верны и для случая не скольких входов.
§6. Единственность оптимальных управлений и траекторий .
1.Простейшие случаи. Начнем с задачи (1), рассмотренной
в§ 4. При сделанных предположениях оптимальное управление не только существует, но и единственно (с точностью до значе
ний в точках разрыва). Это следует из того, что условие (4.2) од нозначно определяет оптимальное управление u° (t) . Чтобы по казать это, сначала докажем одно важное свойство множества достижимости
|
Q&) = |
{х:х(^,х0, «(•)), 1« |
| < |
1}. |
|
|
|
|
(1) |
||||
Оно строго выпукло, т. е. его граница не содержит |
„плоских“ |
||||||||||||
участков |
(строго: |
при |
любых |
х и х г £ Q, |
х х ф х 2, |
числа |
к, |
||||||
О < X< 1, точка (1 — X)х х + к х г является |
внутренней |
для |
Q). |
||||||||||
Другими словами, для каждой граничной точки х |
множества |
||||||||||||
Q нельзя |
найти точек хь х2 Ç Q, хх Ф х2 |
и |
числа X, 0 < |
к < 1, |
|||||||||
таких, что |
х = |
(1 — к) Ху-\ -кх 2. Допустим, |
что |
множество |
(1) |
||||||||
не является строго |
выпуклым, |
т. е. |
существует |
точка |
х, |
||||||||
X Ç dQ, такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
(1 — Х)хх + |
Хх2, x lt x2£<?Q, 0 < |
к < |
1. |
|
|
|
(2) |
||||
Точкам X , |
х и х2 соответствуют управления |
u(t), |
u{(t) |
u2(t), |
|||||||||
0 < f |
Поскольку все три точки граничные, то |
через |
них |
||||||||||
можно провести опорные плоскости. Пусть |
g , |
g u ^ |
— норма |
||||||||||
ли соответствующих опорных плоскостей. |
|
Согласно |
опреде |
||||||||||
лению опорной плоскости |
(п.4.2.11), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
g'x = min g'y, y£Q. |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||
Аналогичные |
соотношения |
выполняются для пар |
{g1( Xj), |
(gt,x2). После подстановки в (3) значений х и у по формуле Ко ши получаем и(і) = — sign g' F ( t lt t) b.
Соответственно щ (t) = —sign g\ F (tly t) b, ut(t) —— signg 2F{tx,t) b. В силу предположения управляемости каждая из этих формул
определяет непрерывное |
справа |
управление |
однозначно |
на |
|||
[О, t{\. Предположение |
(2) в силу линейности и управляемости |
||||||
системы (4.1) по управлению означает |
|
|
|
||||
|
и (0 = |
(1 — к)щ (t) + ки2 (t). |
|
|
(4) |
||
Покажем, что при |
к, |
0 < к < |1, это равенство возможно лишь |
|||||
тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«1 (0 = |
иг (0. |
|
|
(5) |
Предположим, |
что это |
не так и т — точка из отрезка, |
на кото |
||||
ром тождество |
нарушается. Пусть для определенности их(т) = |
1, |
|||||
«2 (т)——1. Подставляя эти значения в правую |
часть |
формулы |
|||||
(4), получим (1—к)-1 —Х= 1 —2Х. |
Это число по |
модулю меньше |
единицы, еслиО<Х<1. Слева же в (4) всегда стоит число, по модулю равное единице. Противоречие показывает, что множе ство (1) строго выпукло.
Аналогично показывается, что строго выпукло множество достижимости Q (fx) *= {х : х = х (^, х0, «(•)), | и | -< 1, х0£А0),
где Хо— выпуклое множество. Последнее утверждение можно доказать непосредственно, используя строгую выпуклость мно жества (1). Если Q (ti)— строго выпуклое множество, то гео метрически (рис. 84) ясно, что оптимальное управление незави симо единственно от того, строго выпукло или нет множество R.
Г
Рис 84 |
Рис. 85 |
Приведем аналитическое доказательство единственности оптимального управления лишь для задачи (4.1), в которой вы полняется условие управляемости
( 1. 12) .
Если g0— вектор, вычисленный из (II.3.7), единственный (рис. 85), то и управление u°(t), 0 единственно из-за однозначности формулы (4.2). Допустим, что мак симум в (II.3.7) достигается на нескольких векторах,в частности
на |
gj, |
§2 (Рис- |
86)- |
В этом слу |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чае, |
|
вообще |
говоря, |
|
появляется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
возможность |
двух |
оптимальных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
управлений, вычисленных |
из (4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для |
|
разных |
g'0! и g®. |
Однако в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
действительности |
этого не может быть. Два разных управления |
|||||||||||||||
u°i(t) и ul(t), 0 -< |
tu |
дают две разные точки x {tx) |
и |
x%tx), |
ле |
|||||||||||
жащие на границе d Q(/,). |
По определению точек |
X\{tt ) и лД^і) |
||||||||||||||
опорные плоскости |
в них |
к множеству |
Q{tx) |
имеют |
|
нормали |
||||||||||
g? и g°. По определению |
же векторов g0, доставляющих |
мак |
||||||||||||||
симум |
в задаче, |
каждый |
из них разделяет множества |
Q(tx) |
и |
|||||||||||
R (§°). В силу |
строгой |
выпуклости |
множеств |
Q(^) |
и R (8°) |
у |
||||||||||
них |
может быть лишь |
одна общая точка. Поэтому точки |
||||||||||||||
x°\(tx) |
и |
x\{tx) |
должны |
совпадать, |
что |
возможно |
в |
|
силу |
|
(5) |
|||||
лишь |
при ti[(f) ES ul(t) (за |
исключением |
точек |
разрыва). |
|
|
||||||||||
|
Таким образом, единственность оптимального управления для |
|||||||||||||||
задачи |
(4.1) |
при условии, что система |
управляема, |
доказана. |
||||||||||||
|
2. |
Системы |
с несколькими входами. Приведенные |
рассуж |
дения полностью переносятся на системы х = Ах + Ви с несколь-