Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
11.36 Mб
Скачать

отрезка [0,

(см.

§

1, где

получено уравнение

для

этой

функции).

 

Таким

образом,

оптимальное

управление

u°(t),

О р е а л и з у е т с я

на кусочно-постоянной

функции.

 

Вывод. В задаче (1) с управляемой системой оптимальное

управление существует в классе релейных функций.

 

 

Если

в задаче

(1)

предположить, что A(t),

b(t) — перемен­

ные матрица и вектор, которые удовлетворяют на отрезке

[О,

^і] достаточному условию управляемости из п.

7.1, то по

только что приведенной схеме можно доказать

существование

оптимального релейного управления и в этом случае.

си­

2. Системы с несколькими управлениями.

Рассмотрим

стемы с г входами:

 

 

 

 

 

 

 

у =

Ах 4- Bu,

X (0) = х0, 0 < t < tv X =

(хх,

 

(3)

и = {uv ... ,иг), \щ \ < 1, / = 1,.. ., г.

Пусть опять рассматривается задача терминального управления

I (и) - ср (х (іг)) -> шіп

(4)

с непрерывной квазивыпуклой функцией ф (х).

Предположим, что система (3) нормальна (по Ла Саллю), т. е. при каждом і, і = 1,..., г, выполняется условие ранг {bit Abi, . . . .

An~]bi) = п, где bi і-й столбец матрицы В. Повторяя приведен­

ные'' для задачи (1) рассуждения при каждом і, і =

1,..., г,

опять убеждаемся, что задача (3), (4) имеет

решение

в

клас­

се релейных функций

управления.

утверждение

и на

Соответствующим

образом обобщается

нестационарные системы.

При доказательстве приведенных простейших теорем суще­ ствования оптимальных управлений не использовался конкрет­ ный вид критерия качества и граничных условий. Нетрудно про­ верить, что теоремы существования оптимальных управлений -

сохранятся для рассмотренных выше систем,

если исследовать

задачи с подвижными концами:

 

 

 

 

х (/0)6Х0, х & К * !

 

(5)

(Аф, Х\ — ограниченные замкнутые выпуклые множества). Мож­

но также критерий (4) заменить на критерий

быстродействия. #

Общий случай. Рассмотрим линейную систему

X = А (t)x +

b (u(t), t), X = (xj,. . . , x„),

и =

[uv .. . ,ur),

где A(t),

b(u, t)

— непрерывные функции.

 

Пусть

Ù —: ограниченное замкнутое

множество. Допусти­

мые управления и (t), t0s^.t^Ct,— измеримые функции со значе­ ниями из U. Л. В. Нойштадтом доказано [3], что множество достижимости системы в этом случае—- выпуклое ограниченное

замкнутое множество. Отсюда следует, что задача терминально­ го управления с критерием (4), где ср (х) — непрерывная функ­ ция, имеет решение в классе измеримых управлений. Такой же вывод справедлив и для задачи быстродействия.

Можно учесть и подвижные граничные условия (5), если Х0, Х і —-замкнутые, ограниченные множества.

§ 5. Релейность оптимальных управлений

Релейные управления, принимающие лишь два значения и имеющие конечное число моментов переключения, легко реали­ зуемы на технических устройствах. Поэтому для приложений важно знать, когда оптимальные управления релейны. Дж. П. Ла

Салль

[4]

доказал

довольно

общий результат о принципе ре-

лейности

(bang — bang

principle). В данном параграфе

выяс­

няются условия, когда оптимальные управления релейны.

 

1. Теорема об п интервалах. Рассмотрим систему

 

 

 

*<п>-р а1х<п-1) - + . . . + апх — bu,

(1)

где X, и — одномерные

выходная

и входная переменные;

аи ...,

ап, Ьф0 — постоянные

числа

(параметры), характеризующие

объект управления и входные устройства.

управ­

Пусть

требуется с помощью

кусочно-непрерывных

лений

u(t), іф>0, ограниченных по модулю единицей

 

 

 

 

 

! u(t) 1<

1,

(2)

перевести

систему

из начального

состояния

 

 

 

х (0) х10, . . . ,

Фп~■1) (0) =

(3)

в конечное:

 

 

 

 

 

 

 

X (к) “=* іі,... , *<"-

 

(4)

Из

теории управляемости

(§ 1) следует, что если векторы

х0 — (х1о,..., хп0\ и Хі —

хп1 (достаточно близки по норме

( УХі — *0 II < е),

то

всегда

найдется допустимое управление,

решающее задачу. Для таких точек оптимальное по быстро­ действию управление в задаче (1) — (4), согласно § 4, всегда существует.

Теорема А. А. Фельдбаума [5] об n -интервалах состоит в следующем: если все корни характеристического уравнения си­ стемы (1)

X” -р а ф п 1 - Р ... -р а„_ іХ -р а „ = 0

(5)

действительны, то оптимальное по быстродействию управление релейно I u°(t) | = 1 и имеет не более п интервалов постоянства.

Для доказательства теоремы воспользуемся принципом мак-

симума п. 2.4.II. Оптимальное управление u°(t) удовлетворяет условию

и0(0 =

sign^0 (/) b = sign

(/) sign b,

 

(6)

где ф°(0 — нетривиальное решение сопряженного

уравнения

(— 1)"ф(п) +

( - I)"-1 аф

• • + а„ф =

0.

(7)

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид

( - 1)"Х* + ( - I)" -1ахХ"-> +

. . . - а„_,Х + ап = 0.

(8)

Если X= Х1 — некоторый корень

уравнения (5), то X= —

корень уравнения (8), и наоборот, что проверяется прямой под­ становкой. В силу предположения теоремы следует, что все кор­ ни уравнения (8) действительны.

Из теории дифференциальных уравнений [6] известно, что

если X= XÄ— корень уравнения (8), то

 

с\е lk *

(9)

решение уравнения (7), что легко проверяется подстановкой

(9)

в (7). Если lk — корень уравнения кратности тк, то наряду с

(9)

решениями уравнения (7)

будут функции:

 

 

 

 

 

c ite n t ,

cU2e Xki , . . . , c mk Г * " 1«"*',

 

 

(10)

где ск, с*,...,

скт — произвольные

числа.

В

силу

линейности

уравнения (7) решением будет и функция

 

 

 

 

 

 

Ф* (0 =

(сі + Сгі +

+

 

 

) е

k

 

 

(U)

щие

Пусть Х1

5

Xs — все различные корни уравнения (8), имею­

кратности

 

m i, ..., ms. Ясно,

что тх 4- ... -\-ms — п. По

до­

казанному для

 

каждого

корня

XÉ, k ~ 1,..., s,

функция (11)—

решение уравнения (7). Поэтому опять

же

в силу

линейности

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

тк

 

 

 

 

 

 

Ф(9 = Ф1 (0 +

■. •+

ф, (9 = 2

2

W

~

l е Ѵ

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

k—\ i=1

 

 

 

 

есть

решение уравнения

(7), зависящее

от п произвольных

по­

стоянных с*, г = 1..... mk\k = 1,...,

s. Решение (12)

называется

об­

щим решением уравнения

(7), поскольку любое решение уравне­

ния (7) представимо в виде (12) при некоторых

значениях по­

стоянных Сі . Это утверждение

является

следствием

линейной

независимости

функций ( 11) при k = \, ..., s и приводится в кур­

сах по дифференциальным уравнениям.

 

 

 

 

 

 

 

В силу (6) для доказательства теоремы достаточно показать,

что функция ф° (t), 1

0, не может

иметь более п—1

нуля.

Но

ф °(0 — нетривиальное решение уравнения

(7), и

поэтому оно

имеет вид (12), где не все постоянные с?

равны

нулю. Таким

образом, нужно показать, что выражение, стоящее справа в

(12),

не может иметь более п—1 нуля. Каждое слагаемое (0 в

(12)

в силу (И) имеет не более тк—1 нуля, ибо е'ъ* ф 0 и корни функции (11) совпадают с корнями многочлена степени тпк— 1, стоящего в скобках. Если в (Т2) взять любые два слагаемые tyk(t)

ито число нулей их суммы

 

 

Ь (О +

'МО

 

(13)

не превзойдет числа

(mh — 1) + (ml — 1) + 1 = mk ф mt — 1.

 

Допустим противное: число нулей функции (13) равно или

больше, чем шк ф тпѵ Умножим функцию (13) на с_хд.* ф 0:

 

С\фС2І

Cmk t *

-2

t -f-... -f- clm

e<xr-x*K

(H)

+ (ci 4~c

 

 

Ясно, что нули функций (13) и (14)

одни и те же и их не менее,

чем шк ф т 1.

Вычислим производную по t от функции (14):

С2 ф 2czt

Cmk (pik 1) t

k

ф (C2+ 2 с з t 4~ ■• • -f-

 

+ Стг (mt — 1) (tmi~2 ) e<xr xk>*ф (с[ф cl2t Ф ... Ф

 

 

+

clmitmi - v) ^ - h ) e ( h - 4 ) t .

 

(15)

Поскольку между любыми двумя нулями функции есть по крайней мере один нуль производной, то функция (15) имеет не менее. ч ем тй+/гег—1 нуля. Собирая в (15) подобные члены, получаем

с\ + Сз t ф . . . -|- Стк (тпк — 1) tmk~2 ф (d\ ф d2t ф .. . ф

 

 

 

ф dlmitmi-')e(Ki - h ) t ,

(16)

где

d\,

. ..,

сіщ — некоторые

постоянные,

выражающиеся че­

рез

с\,

.. .,

cmi,l причем dlmi =

Cm, ( \

— ф).

 

 

Так как по предположению

7, Ф

Хк ,

то степень полинома,

стоящего в

(16) перед е(Х/ ~ х*>* такая же,

как в (15), а степень

«свободного» полинома в (16) уменьшилась не менее чем на еди­ ницу. Функцию (16) продифференцируем еще раз, и опять сте­ пень полинома при е^і —xk)t сохранится, а степень «свободного» полинома уменьшится по меньшей мере на единицу. Число ну­ лей производной от (16) будет не меньше, чемm ^rtik —2. Повто­ ряя описанную процедуру тк раз, придем к тому, что в резуль­ тате «свободный» полином исчезает, тк-ая производная будет иметь вид

(ё\ + à t ф .. • 4 - £m, tmi~x ) eih-h)

(17)

 

183

Поскольку функция (17) получена последовательным диф­ ференцированием из функции (14), то в силу упомянутой связи между нулями функции и ее производной число нулей функции не меньше, чемm,kJr m l—m k=ml. Но, с другой стороны, посколь­

ку еРт - Ч>( 7^=0, то число нулей

функции

(17)

не

превосходит

степени полинома, стоящего в скобках в

(17),

т.

е. не

больше

m t —1. Противоречие доказывает

утверждение

о

числе

нулей

функции (13).

 

 

 

 

 

Проведя математическую индукцию по числу слагаемых, с помощью приведенных рассуждений легко показать, что число нулей функции ty(t) в (12), состоящей из s слагаемых, не более

чем

—1 = п—1. Таким образом,

теорема об

п интервалах доказана.

 

 

Примечание. В рассуждениях мы использовали веществен­

ность корней уравнения (8). Это предположение

существенно

для справедливости утверждения, а не вызвано методом дока­

зательства

(см. § 1 .VIII).

 

 

 

 

 

 

 

2. Принцип релейности. Рассмотрим задачу терминального

управления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ~ A(t)x -\- b(t)u,

а =

[^0,

,

 

 

 

x(t0) =

х0, I

u(t) I <

1,

 

(18)

 

 

I{ü) =

Hx(tx) Il

min,

 

 

Il X II — евклидова

норма.

 

 

 

 

 

 

 

Согласно результатам § 3. III, минимальное значение крите­

рия качества равно

 

 

 

 

 

 

 

6° = m a X(

 

 

inf

 

f

g'F {tx,i)b{t)u{t)dt

иe l = i

 

1“ (б I

 

?

 

 

 

 

V

 

 

 

 

*0

 

 

 

 

 

=g0, F (к, g *o - J

I г0' F (g оb(о I dt.

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

Оптимальное управление u°(t) определено на

множестве

 

° * = { t : g 0' F (іъ і) b (І)Ф О,

 

 

(19)

и равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«° (1) = — sign g0' F (tx, t) b (t),

 

- (20)

a правый конец

оптимальной

траектории x°(t)

удовлетворяет

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* °(g

=

5°g°.

 

 

(2i)

Если

<з0=о

(множество

а \ с 0

пустое или

имеет нулевую

меру), то построенное управление u°(t) почти всюду на а обла­ дает свойством

I и ° ( 91 = 1 .

Пустьа0^=а.Тогда на множествео\а0выполняется тождество g0' F{tl t î) b (t) = 0, t£<3\o0, т. e. функции [Д(^, 05(OÎi> • • [F(tx, t)b(t)]n линейно зависимы. Выберем среди них линейно независимые:

 

t)b{t))k,

t & \ a Q,

k < n .

(23)

В силу (21) на множестве с\<з0 можно

найти

допустимое

уп­

равление м1(0 такое, что траектория

системы, порожденная

управлениями

м1(Г), приходила в

точку

8°g0. Другими

словами, задача разрешима относительно u(i),

t Ç а \ а 0:

 

a°g° = F (tv t0) x0+ J F(tlt t) b (t) u° (t) d t+

J Fit,, t) b (t) и (t) dt. (24)

 

ao

°\a0

 

 

По предположению в (23) линейно независимы лишь первые k функций, поэтому п равенств (24) всегда будут выполняться, если выполнены первые k из них:

 

СІ -

J 1

 

=

\ , ... ,k,

(25)

 

 

CTXffo

 

 

 

 

где

с1= 8°g0 — F(tu

t0) x0J F(tu t)

b (t) u°(t) dt -- известный

я-вектор. К равенствам

 

a0

 

 

(25) добавим еще одно:

 

 

 

d1=

j a 1(t) и (t) dt,

 

(26)

 

 

 

а \а0

 

 

в котором dx — некоторое

число; ai(t) — функция, вполне ли­

нейно

независимая от функций (23) на о \о 0, т. е. для

любых

 

 

k

 

 

 

 

чисел

g,, ..

g* (2 g? > 0) не существует множества ш

нену-

левой

 

/= і

 

 

 

 

меры такого, что

 

 

 

 

 

=

 

 

t&.

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

По предположению система уравнений (25) разрешима от­

носительно u(t)

таких, что

 

 

 

 

 

I u(t)

! < U e > \* 0.

 

(27)

Поэтому найдется d l такое, что и система (25), (26) будет разрешима относительно функций и(і), удовлетворяющих усло­

вию (27) (достаточно взять d l равным значению правой части (26) на решении системы (25)).

Аналитически разрешимость системы (25), (26) записывает­

ся следующим образом:

 

 

k

 

 

шах

gic\ + fd1

I

(28)

Beü+lfM

 

®\Oo i=1

 

По доказанному

существует такое число d 1, когда

левая

часть этого неравенства неположительна. Далее, если <Д-*оо, то она стремится к + со (достаточно взять / = 1, g = 0). А поскольку левая часть непрерывна по d1, то найдется наи­

меньшее

dl ,

при

котором

(28) превращается

в равенство.

 

 

Пусть gl,

. ..,

g l , Z1— числа,

на которых при d1 = d1 до­

стигается максимум в (28). Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°і= Ь : 2 #

*

)

Ъ ^

+

flfll W ф °-

 

 

}•

 

 

Управление u\t),

/ f о \ а 0, разрешающее

задачу

(24),

(25),

однозначно определено на множестве аь где имеет вид

 

 

 

и1(0 =

— sign

 

IF (к, t) b (0]i + Pa1 (0

>

j.

(29)

 

Если

а0 [J at =

а,

то

управление

u(t),

 

составленное

из

условий

(20), (29), почти всюду на <з обладает свойством (22) и

решает

задачу (18).

Тогда на множестве

а \ {а0 (J

}

выпол-

 

Пусть а0 U Oj Ф а.

 

 

 

 

 

к

gl [F (tlt t) b (7)]г- -f- f^d1(t)

 

 

 

 

 

 

 

няется

тождество

V

= 0,

и

 

поэтому

среди

функций [F (flt t) b (f)]b . . . ,

[F (tu t) b{t)\k, o1 {t), t &

\ }o0 U сц},

есть

линейно

зависимые.

Такие

функции

 

находятся

среди

первых k функций в силу выбора. Выберем

из

них

 

линейно

независимые:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[F{ti,t)b{t)]1, . . . , \ F { t 1,t)b{t))kï

 

 

 

 

 

 

 

(30)

 

Выделяя в (24)

уже

известное

управление

d(t),

 

опять придем к равенствам вида

 

(25),

где

 

вместо

k

будет

стоять Іги вместо

а \ а

0 —

а \ { а 0 (J o t }.

Добавляя

к

получен­

ным

соотношениям

еще

одно

 

типа

(26)

с функцией

а2(і),

^ 6 °\

1°о U аі}!

вполне

линейно независимой

от

функций

(30),

построим по описанной для u\t) схеме управление

u\t),

ко­

торое

обладает свойством (22) на множестве

 

 

 

 

 

 

 

 

=

[t- J

g2 [F (h, t) b (t)]i +

f a 2 (t) ф 0, ^

\ {

eoU9l}

].

 

Если aol)ai U a2 = °>

то

совокупность из трех построенных

управлений решает

задачу

(18)

и

обладает

свойством

(22).

Если °0 у Oj (J а2 7^ о,

то

процесс

продолжаем.

Ясно,

что

он

окончится не более чем через

т , т < п —т\,

шагов.

В

ре-

зультате получатся

множества

а05

от,

и

= а» и управле-

 

 

 

 

 

 

і=0

ат соответствен­

ния u°(t), . . ., um(t), определенные на о0, . .

но, разрешающие в совокупности

задачу

(18)

и обладающие

свойством (22).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство (22) было положено в основу определения релей­ ного управления. Дополнительно предполагалось, что функция и(0> t имеет лишь конечное число моментов переключения. Построенная выше функция

и (і) =

К

(31)

 

\um(t), К°т

обладает свойством (22), но неизвестно, является ли она кусоч­ но-непрерывной. Решить этот вопрос в общем случае трудно. Поэтому ослабим требование кусочно-непрерывности и введем новое понятие: управление u(i), /Ça, называется обобщенно ре­

лейным, если оно измеримо и обладает

свойством (22).

Покажем, что управление (31) измеримо. Каждое из мно­

жеств о0, ..., от по построению

измеримо,

если

b(t),

ax(t), ...,

ат ( t ) ~ измеримые функции.

Каждая функция

и1 (t),

опреде­

ленная по правилу (29), измерима. Функция u(t), составленная из конечной совокупности измеримых функций, измерима. Та­ ким образом, нами доказан принцип обобщенной релейности: каждое оптимальное управление в задаче (18) можно взять обобщенно релейным.

Чтобы получить принцип релейности, предположим, что функции A(t), b(t), t Ça, - кусочно-аналитические, т. е. найдет­ ся конечное число непересекающихся отрезков, составляющих а, и таких, что на каждом из них эти функции аналитические. Из­ вестно [7]. что аналитическая функция отличная от тождествен­ ного нуля не имеет на конечном отрезке точек сгущения нулей.

Поэтому, выбирая функции

al(t),

a m(t)

кусочно-аналитиче­

скими, получаем, что каждое

управление

кусочно-непрерывно,

а, следовательно, управление

(31)

релейно.

 

Таким образом, оптимальное управление в задаче с кусоч­ но-аналитической системой может быть выбрано релейным (принцип релейности). Эти результаты верны и для случая не­ скольких входов.

§6. Единственность оптимальных управлений и траекторий .

1.Простейшие случаи. Начнем с задачи (1), рассмотренной

в§ 4. При сделанных предположениях оптимальное управление не только существует, но и единственно (с точностью до значе­

ний в точках разрыва). Это следует из того, что условие (4.2) од­ нозначно определяет оптимальное управление u° (t) . Чтобы по­ казать это, сначала докажем одно важное свойство множества достижимости

 

Q&) =

{х:х(^,х0, «(•)), 1«

| <

1}.

 

 

 

 

(1)

Оно строго выпукло, т. е. его граница не содержит

„плоских“

участков

(строго:

при

любых

х и х г £ Q,

х х ф х 2,

числа

к,

О < X< 1, точка (1 — X)х х + к х г является

внутренней

для

Q).

Другими словами, для каждой граничной точки х

множества

Q нельзя

найти точек хь х2 Ç Q, хх Ф х2

и

числа X, 0 <

к < 1,

таких, что

х =

(1 — к) Ху-\ -кх 2. Допустим,

что

множество

(1)

не является строго

выпуклым,

т. е.

существует

точка

х,

X Ç dQ, такая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

(1 — Х)хх +

Хх2, x lt x2£<?Q, 0 <

к <

1.

 

 

 

(2)

Точкам X ,

х и х2 соответствуют управления

u(t),

u{(t)

u2(t),

0 < f

Поскольку все три точки граничные, то

через

них

можно провести опорные плоскости. Пусть

g ,

g u ^

— норма­

ли соответствующих опорных плоскостей.

 

Согласно

опреде­

лению опорной плоскости

(п.4.2.11),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g'x = min g'y, y£Q.

 

 

 

 

 

 

 

(3)

Аналогичные

соотношения

выполняются для пар

{g1( Xj),

(gt,x2). После подстановки в (3) значений х и у по формуле Ко­ ши получаем и(і) = sign g' F ( t lt t) b.

Соответственно щ (t) = sign g\ F (tly t) b, ut(t) —— signg 2F{tx,t) b. В силу предположения управляемости каждая из этих формул

определяет непрерывное

справа

управление

однозначно

на

[О, t{\. Предположение

(2) в силу линейности и управляемости

системы (4.1) по управлению означает

 

 

 

 

и (0 =

(1 — к)щ (t) + ки2 (t).

 

 

(4)

Покажем, что при

к,

0 < к < |1, это равенство возможно лишь

тогда, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«1 (0 =

иг (0.

 

 

(5)

Предположим,

что это

не так и т — точка из отрезка,

на кото­

ром тождество

нарушается. Пусть для определенности их(т) =

1,

«2 (т)——1. Подставляя эти значения в правую

часть

формулы

(4), получим (1—к)-1 —Х= 1 —2Х.

Это число по

модулю меньше

единицы, еслиО<Х<1. Слева же в (4) всегда стоит число, по модулю равное единице. Противоречие показывает, что множе­ ство (1) строго выпукло.

Аналогично показывается, что строго выпукло множество достижимости Q (fx) *= {х : х = х (^, х0, «(•)), | и | -< 1, х0£А0),

где Хо— выпуклое множество. Последнее утверждение можно доказать непосредственно, используя строгую выпуклость мно­ жества (1). Если Q (ti)— строго выпуклое множество, то гео­ метрически (рис. 84) ясно, что оптимальное управление незави­ симо единственно от того, строго выпукло или нет множество R.

Г

Рис 84

Рис. 85

Приведем аналитическое доказательство единственности оптимального управления лишь для задачи (4.1), в которой вы­ полняется условие управляемости

( 1. 12) .

Если g0— вектор, вычисленный из (II.3.7), единственный (рис. 85), то и управление u°(t), 0 единственно из-за однозначности формулы (4.2). Допустим, что мак­ симум в (II.3.7) достигается на нескольких векторах,в частности

на

gj,

§2 (Рис-

86)-

В этом слу­

 

 

 

 

 

 

 

 

чае,

 

вообще

говоря,

 

появляется

 

 

 

 

 

 

 

 

возможность

двух

оптимальных

 

 

 

 

 

 

 

 

управлений, вычисленных

из (4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

для

 

разных

g'0! и g®.

Однако в

 

 

 

 

 

 

 

 

действительности

этого не может быть. Два разных управления

u°i(t) и ul(t), 0 -<

tu

дают две разные точки x {tx)

и

x%tx),

ле­

жащие на границе d Q(/,).

По определению точек

X\{tt ) и лД^і)

опорные плоскости

в них

к множеству

Q{tx)

имеют

 

нормали

g? и g°. По определению

же векторов g0, доставляющих

мак­

симум

в задаче,

каждый

из них разделяет множества

Q(tx)

и

R (§°). В силу

строгой

выпуклости

множеств

Q(^)

и R (8°)

у

них

может быть лишь

одна общая точка. Поэтому точки

x°\(tx)

и

x\{tx)

должны

совпадать,

что

возможно

в

 

силу

 

(5)

лишь

при ti[(f) ES ul(t) (за

исключением

точек

разрыва).

 

 

 

Таким образом, единственность оптимального управления для

задачи

(4.1)

при условии, что система

управляема,

доказана.

 

2.

Системы

с несколькими входами. Приведенные

рассуж­

дения полностью переносятся на системы х = Ах + Ви с несколь-

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ