книги из ГПНТБ / Электронно-зондовый микроанализ [сборник]

ной дозы. Предположим, что форма кривой глубинной дозы не из­

меняется с изменением Е в и что Re ~= k E lJB5. Для заданного зна­ чения Е в рассчитывают ух и у 2, а отношение І ок/Ев определяют экспериментально для некоторого постоянного значения Ів (обыч­

но ІО-12 А). Экспериментальное значение пропорционально величи­ не [ф (ух) — ф (у2)1 в уравнении (13). Описанная процедура пов­ торяется для различных значений Е в , и данные для серии измере­

ний обрабатывают для получения многочлена четвертой степени для ф (у) методом наименьших квадратов (см. приложение). Для определения X (у) многочлен надо дифференцировать и проверить, соответствует ли экстраполированное значение X (у) ранее принято­ му условию (пересечение оси абсцисс при у — 1). Если это условие не выполняется, вводится поправка для коэффициента k в выраже­

нии энергия — глубина проникновения и производится повторная обработка данных. Обычно достаточно двух итераций для получе­ ния хорошо согласующихся данных.

Приборы МОП подвергались бомбардировке при нормальном

чения равномерной плотности распределения электронов. Напря­ жение затвора Vgb во время бомбардировки было постоянным; ток зонда І в измеряли при помощи электрометра Китли-600А,

включенного между цилиндром Фарадея и землей. После установ­ ления постоянного значения Е в с помощью электрометра производят

измерение индуцированного тока /ок через окись в МОП-приборе в зависимости от І в при энергии пучка электронов Ед . Напряжение

измерялось нулевым методом путем использования калиброванного резистора и напряжения от стандартной ячейки с точностью до 0,5%. Измерения производились с подачей на затвор положитель­ ного или отрицательного смещения относительно подложки, и в большинстве случаев измеренные значения /ок для заданных Ів и Ев имели точность порядка + 5 % . В табл. 1 приведены типичные

данные, полученные на одном из приборов. Для удобства толщина слоя алюминия выражена через толщину S i0 2, так что можно ислользовать одно выражение для длины пробега электрона. Прини­ мая плотность алюминия равной 2,70 г/см3 и плотность S i0 2 (выра­ щенной в атмосфере влажного кислорода) равной 2,20 г/см3, полу­ чаем /эфф (А1) = 1,23 tpA и /эфф(ЗЮ2)= t0K. Границы области окиси

ей степени для X (у) методом итераций и двумя методами наимень­

ших квадратов (см. приложение). Коэффициенты многочлена треть­ ей степени

.для каждого метода даны в табл. 2. Наиболее точными являются значения коэффициентов последнего ряда, найденные путем ми­ нимизации среднеквадратичной относительной погрешности между экспериментальными данными и функцией X (у). Ранее указывалось

Ш ], что ряд в уравнении (14) не ортонормирован, поэтому незна-

Таблица 2

Коэффициенты многочлена функции глубинной дозы Х(у)

3 Минимизированная среднеквадратичная относительная погрешность. ® Повторное нормирование.

в Минимизированная среднеквадратичная абсолютная погрешность.

чительное изменение формы кривой может существенно изменить значения коэффициентов. Ортонормированный ряд имеет преиму­ щество в том отношении, что каждый последующий член является менее значимым, и обрыв ряда дает оптимально возможное реше­ ние для заданной степени точности. Следовательно, функция X (у)

может быть выражена в виде ряда смещенных полин омов Лежандра

Р П(1-2У)

а Минимизированная среднеквадратичная относительная погрешность.

бПовторное нормирование.

вМинимизированная среднеквадратичная абсолютная погрешность.

Значения Ьг приведены в табл. 3. На рис. 4 построена зависимость X (у) от у для двух методов обработки данных; для сравнения при­

ведены расчетные кривые для А1 по данным [5, 30]. Расчеты по ме­ тоду Монте-Карло [6] также дают хорошее согласие с эксперимен­ тальными кривыми, полученными авторами настоящей статьи.

Р и с . 4. Нормированная функция X (у), построенная в зависимости от нор­ мированной глубины проникновения, для двух методов обработки данных в сравнении с расчетами по Бишопу [5] и Спенсеру [30].

Функция X (у), найденная путем минимизации среднеквадратичной

относительной погрешности, здесь не представлена, так как она фактически совпадает с кривой Бишопа [51.

V. Обсуждение результатов

Для экспериментального определения функции глубинной дозы использованы вышерассмотренные измерения тока, индуцирован­ ного электронным пучком через изоляционный слой МОП-приборов. Полученная функция хорошо согласуется с результатами теории Спенсера [30] и расчетами по методу Монте-Карло [5, 6]. Измерения проводились в установившемся режиме, и они могут быть исполь­ зованы для того, чтобы получить независимое соотношение между экспериментальными величинами. Исходя из независимого соотно­ шения, можно затем проверить точность измерений, допущения, принятые при выводе уравнения (11), и методы обработки данных при помощи вычислительной техники. При бомбардировке элект­ ронами зонда плотность тока /ок в условиях установившегося ре­ жима может быть записана в виде

где зависимость от расстояния представлена в явной форме; диффу­ зионным током мы пренебрегаем (F > kT/t0K). Здесь р. — подвиж­

ность электронов в окиси, см2/(В-с); т — время жизни электронов в окиси, с; F — напряженность электрического поля, В/с. Приня­

то, что в окиси дырки неподвижны по сравнению с электронами,. Несмотря на то что электрическое поле в окиси F (х) неизвестно,, можно использовать зависимость между Vgb и электрическим по­

лем, которая в настоящей работе не применялась:

Если т принимается постоянной для электронов окиси, уравнения (9), (10), (15) и (16) могут быть использованы для получения прове­ рочного уравнения

где область падающего пучка электронов и область образования электронно-дырочных пар принимаются одинаковыми по размеру. В выражении (17) известны все величины, за исключением (рт)/Еа ь

поскольку интеграл может быть оценен численно. Следовательно* уравнение (17) можно решить относительно ( р т )/Еа и оценить для

каждой точки экспериментальные данные, используя в подынте­ гральном выражении экспериментальное значение X (у).

Аналогичный расчет (р.т)/Ел может быть выполнен путем ис­ пользования экспериментальных данных и уравнения (11) при усло­ вии, что усиление фотосопротивления записывается в виде [271

При подстановке этого выражения в уравнение (11) получаем

Уг

Уі

При помощи выражения (19) можно провести экспериментальную проверку линейной зависимости /ок от Vg b- Такая зависимость

наблюдалась авторами данной статьи при проведении эксперимен­ тов на описываемых приборах (рис. 5). Пропорциональность между индуцированным током и приложенным к затвору напряжением Ѵав непосредственно связана с ускоряющим напряжением; кос­

венно она определяется подынтегральным выражением. Уравнение

(19) также может быть решено относительно ([лт)/ЕА с использова­ нием значений %(у), найденных, как описано выше. В этом случае разброс значений (|хх)!ЕА характеризует точность эксперименталь­ ных данных для І ок, Ев и І Ві тогда как значение (р,т)/ЕА , получен­

ное из уравнения (17), дает оценку не только погрешности в опреде­ лении экспериментальных данных, но и погрешностей, обусловлен­ ных допущениями при обработке экспериментальных результатов. Значения (р/г)/ЕА , полученные

по уравнениям (19) и (17), сведе­ ны в табл. 1. Совпадение данных вполне удовлетворительно, за ис­ ключением величин в области низ­ ких напряжений, рассчитанных по уравнению (17), когда \хх/ЕА воз­

растает. Это свидетельствует, повидимому, об усилении эффекта рассеяния при низких напряжени­ ях. Принятая инвариантность функции глубинной дозы является в данном случае не совсем правиль­

деленное по данным табл. 1с использованием значения Е А m 25 эВ,

составляет 7,5 • ІО"12 см2/В; эта величина на два порядка меньше значения по Гудману [32].

Самосогласованная теория фотопроводимости, индуцированной электронным зондом, по-видимому, хорошо согласуется с экспери­ ментальными данными. В тоже время эта теория справедлива для омических контактов в фотопроводящей области, хотя последние, вероятно, отличаются от исследуемой здесь МОП-структуры. Со­ гласно ранее применяемой модели Макдональда и Эверхарта [23], электрическое поле, возможно, намного сильнее на границе раздела окись —- полупроводник (при подаче на затвор положительного смещения), и электроны инжектируются в окись в результате тун­ нельного эффекта [33]. Учитывая в этих условиях, что малое изме­ нение электрического поля вызывает большое изменение инжекти­

рованного тока, следовало бы ожидать, что линейное возрастание индуцированного тока с напряжением на затворе будет происхо­ дить, начиная с 3—4 В; однако это не наблюдалось. С другой сто­ роны, инжекция, возбуждаемая электронным зондом, может ока­ заться достаточно большой для того, чтобы преобладающим было сопротивление току электронов в установившемся режиме в окиси. Если падение напряжения на большей части окиси много меньше V g b , рассчитанное выше значение (хт оказывается заниженным, так как jxt обратно пропорционально Ѵав [уравнения (17) и (19)].

Физические представления, согласно которым падение напряжения на окиси имеет место в основном на поверхности раздела и лишь в незначительной степени в объеме окиси [23], совместимы с приве­ денными результатами. Несмотря на то что точный механизм ин­ жекции не установлен, совпадение двух независимых уравнений, основанных на принципе проводимости через окись, индуцирован­ ной электронным пучком, доказывает, что примененный для рас­ чета метод дает точную функцию глубины проникновения X (г/).

VI. Заключение

Разработан новый метод определения функции глубины проник­ новения, основанный на измерении индуцированного тока через тонкий слой изолятора. Метод хорошо согласуется с опубликован­ ными расчетами по методу Монте-Карло и может применяться для экспериментальной проверки таких расчетов. Приведено аналити­ ческое выражение для функции глубинной дозы киловольтных элект­ ронов в системе А1 — S i0 2 — Si, которое может быть использовано

рывного торможения); кривая показывает, почему разные материа­ лы могут иметь различные показатели степени а в выражениях, связывающих энергию электронов с глубиной проникновения вида R = k E a , для одинакового диапазона энергий. Глубина проникно­ вения электронов, определенная из кривой глубинной дозы R g , должна быть пропорциональна R b , хотя полученные значения

меньше соответствующих значений в случае строго пропорциональ­ ной зависимости (Ra = 0,62R B при Е 0 = 20 кВ). Чтобы выразить функцию глубинной дозы %(у) через действительное расстояние х, необходимо знать выражения для R a . В данной работе использова­

найденным Грюеном для воздуха, который на 14% больше. Аналитическая функция глубинной дозы может быть использо­

вана для расчета энергии, рассеиваемой электронным пучком, в материалах с низкими атомными номерами. В настоящее время

этот метод распространяется на элементы с более высокими атомны­ ми номерами, так что можно будет получить семейство подобных кривых для других элементов периодической системы.

Приложение

Расчет ф(у) с использованием экспериментальных данных

Основная задача, решаемая методом наименьших квадратов, состоит в следующем. Дана совокупность экспериментальных то­ чек Х( и у (хг). Требуется найти многочлен у {х) данной степени m

так, чтобы сумма квадратов разностей между экспериментальными точками у (х;) и аппроксимирующим многочленом у (x)x=xt была минимальной. Если измерено N экспериментальных точек, правильным будет такой выбор коэффициентов многочлена aj,

при котором выполняются следующие соотношения [34]:

Это дает (m - f 1) уравнений для (/п+1) коэффициентов аппрокси­ мирующего многочлена пг-го порядка.

Поскольку разность между двумя значениями ф (у) измерена

экспериментально [см. уравнение (13)], в рассматриваемом случае необходимо несколько иное выражение. Требуемое выражение для многочлена ф (у) имеет вид

Если измеряется N экспериментальных точек, необходимо миними­

зировать значение следующей величины для получения оптималь­ ного согласования с наименьшей абсолютной среднеквадратичной погрешностью:

N

Определим значения а ,, дающие оптимальное согласие с измерен­ ными данными. Обозначим коэффициент ah и продифференцируем уравнение (ПЗ) по ah\ производную полагаем равной нулю. Полу­ чим m уравнений, содержащих m неизвестных ах, ... , ат :