книги из ГПНТБ / Глушко В.В. Характеристики режимов работы горных машин и их автоматическое управление

Затем необходимо произвести усреднение по времени функций корреляции і?г (т, t) нестационарного случайного процесса. Средняя функция корреляции определяется уравнением

Обобщение теоремы Винера — Хингина для нестационарных про­ цессов устанавливает связь между этими величинами.

Средняя корреляционная функция

Аналогичным образом должны быть определены другие вероят­ ностные характеристики и взаимно корреляционные функции.

Взависимости, от условий работы горных машин конкретный процесс их работы может принимать вид процесса с периодической или квазипериодической нестационарностью или вид процесса, при­ водимого к стационарным процессам. В этих случаях для получения не связанных с текущим временем характеристик нестационарных процессов, кроме усреднения по совокупности, вводится усреднение по времени.

Вотдельных случаях реализации некоторых параметров процес­ сов работы горной машины составляют эргодические или почти эргодические совокупности определенных классов. Этот же процесс может быть неэргодическим по отношению к другим параметрам. Так, например, при работе горной машины с постоянной средней скоростью подачи случайный процесс по отношению к скорости по­

дачи ѵп (t) при значительной величине реализации будет эргодическим или почти эргодическим. Однако этот процесс неэргодический по отношению к нагрузке на машину г (t).

В качестве признаков эргодичности можно рассматривать Д [5ф (Т)] для разных видов функций <р [х (t) ], а в качестве выполнения

183

Для нестационарных процессов обобщенные характеристики мо­ гут быть получены с помощью одного временного усреднения.

Прежде всего определяются условия эргодичности для математи­ ческого ожидания и корреляционной функции. Критерием эргодич­

Для проверки условия эргодичности математического ожидания достаточно знать лишь тп0 и R0 (т). Для проверки условия эргодич­ ности для корреляционной функции Rv (х) требуется знание момента

184

четвертого порядка Rlv (т). Для эргодических процессов обобщенные характеристики могут быть получены по одной единственной реали­ зации v„ (t). Аналогично условия эргодичности могут быть провере­ ны по отношению к другим параметрам. Однако в практике другие эргодические случайные процессы встречаются редко.

Текущее значение числовых характеристик должно определяться в граничных условиях работы данной машины, для которой создается САУ. Эти граничные условия определяются исходя из технической характеристики машины — диапазона рабочих скоростей подачи, допустимых мощностей пласта, углов наклона и длины лавы, допус­ тимых включений колчедана и прослойков, допустимого затупления резцов и т. д., т. е. при граничных условиях тех параметров, которые делают процесс нестационарным.

Для уменьшения трудоемкости определения вероятностных ха­ рактеристик процессов работы горных машин, целесообразно про­ ведение исследования процессов работы горных машин, работающих в условиях с диапазоном изменений крепости угля, близким к вели­ чинам, указанным в технической характеристике. В этом случае вероятностные характеристики могут быть определены по ансамблю реализаций, полученных в одной лаве.

Изменения мгновенных величин скорости подачи ѵп (t) при по­ стоянной средней ее величине могут для многих забоев считаться стационарным процессом. В этих случаях математическое ожидание скорости подачи тѵ остается постоянным. При определенных усло­ виях неизменна и нормированная автокорреляционная функция рѵ (т).

В отличие от функций і (f), В (t) и A (t) чаще являются стацио­ нарными их производные

Поэтому целесообразно при исследовании процесса работы маши­ ны находить корреляционные функции для производных этих вели­ чин. При работе горных машин в условиях одной лавы эти нестацио­ нарные случайные процессы могут быть описаны как {у (t)}, каждая выборочная функция которых имеет вид

y{t) = A(t)x{t),

где X (t) —выборочная функция стационарного случайного процесса; A (t) — детерминированный множитель.

Например, для выемочных комбайнов детерминированный множи­ тель будет определяться характером изменения средних величин кре­ пости угля вдоль лавы. Выборочные функции этих процессов обла­ дают общим детерминированным трендом. Для конкретных случаев различные требуемые характеристики этих процессов можно оценить по одной выборке, как и для эргодических процессов. Усреднение по ансамблю производить необязательно. Однако принятая единственная реализация должна быть проверена на внуреннюю стационарность.

185

Вероятностные характеристики для различных отрезков этой реали­ зации не должны изменяться больше, чем за счет обычной выбороч­ ной статической изменчивости.

Известно, что для описания основных свойств случайных процес­ сов используются четыре статистические функции: среднее значение квадрата случайного процесса; плотность распределения;автокорре­ ляционная функция; спектральная плотность.

Первая дает элементарное представление об интенсивности про­ цессов. Вторая характеризует распределение значений процесса в фиксированных точках. Две последние дают аналогичную информа­ цию о процессе во временной и частотной областях соответственно.

Среднее значение квадрата усилия резания или мощности на валу привода для эргодических процессов, например при работе горной

виде суммы статической, т. е. не зависящей от времени, составляющей и динамической, или флуктационной, составляющей.

Первая составляющая представляет собой среднее значение уси­ лия или мощности Р:

С учетом того, что среднеквадратичное отклонение находится как положительное значение корня квадратного из дисперсии, дисперсию можно выразить как

Плотности распределения р (х) крепости массива, усилия реза­ ния или нагрузки на привод определяют вероятность того, что эти значения в произвольный момент времени будут заключены в опре­ деленном интервале:

р{х)= lim = lim 4 - ( - т г ) .

186

где

ft i=l

T — время наблюдения.

Вероятность того, что мгновенное значение х (t) не превышает некоторой величины х, характеризуется интегральной функцией распределения

Основная цель получения плотности распределения процесса со­ стоит в установлении вероятностных законов для его мгновенных значений. Через плотность распределения можно найти средние ве­

Среднее значение квадрата мощности

оо

ï « = J a*p(x)dx.

-со

Плотность распределения может быть использована для опреде ления по типичным графикам распределения вида исследуемого про­ цесса (детерминированного или случайного), а также для построения функции распределения.

Плотность распределения гармонических колебаний имеет чашеч­ ную форму и определяется формулой (например, для вынужденных колебаний тока двигателя при стабильной по длине лавы крепости массива)

(я 1 / Х 2 - ж 2 ) " г при [х]<Х,

Опри [х]^Х.

Узкополосный и широкополосный случайные шумы имеют колоколообразную форму плотности распределения. В идеальном случае они описываются формулой Гаусса. Такие плотности распределения имеет процесс изменения крепости массива и вызванные им процессы изменения тока, мощности и т. п.:

Плотность распределения суммы гармонических колебаний и слу­ чайного шума обладает характерными чертами плотности распреде­ ления обоих этих процессов. Это справедливо для большинства про­ цессов, характеризующих резание.

187

График плотности распределения может быть получен обработкой

.диаграмм и осциллограмм на специальном устройстве. Для рассмат­ риваемых процессов среднее значение функции х (t) не равно нулю, а график плотности распределения сдвинут вправо относительно на­ чала координат. Величина сдвига зависит от значения математическо­ го ожидания функции х (t). Так, коэффициент сопротивляемости угля разрушению, по данным ИГД им. А. А. Скочинского, для небольших участков по длине лавы колеблется в соответствии с нормальным за­ коном распределения.

При получении и анализе корреляционных функций для текущих значений необходимо достоверность полученных результатов про­ верять исходя из общих закономерностей изменения корреляционных функций параметров процесса работы горных машин. Эти закономер­ ности являются общими для различных классов машин: узкозахват­ ных комбайнов, струговых установок, проходческих комбайнов и др.

Для современных узкозахватных комбайнов общими являются закономерности, заключающиеся в том, что текущие значения про­ цесса, автокорреляционные функции нагрузки р, (т) и скорости по­ дачи рѵ (т) содержат гармонические составляющие. Это обусловлено действием на горную машину внешних возмущающих воздействий, которые описываются уравнением вида (2-65). В соответствии с этим автокорреляционная функция сил сопротивления горной машины в общем виде будет описываться уравнением

При увеличении шага квантования отдельные слагаемые этой автокорреляционной функции будут равны нулю.

Из приведенной формулы видно, что частота колебаний двух последних гармонических составляющих автокорреляционной функ­ ции нагрузки зависит только от конструктивных параметров машины и не зависит от параметров ее работы. Амплитуда гармонической со­ ставляющей автокорреляционной функции нагрузки равна половине квадрата амплитуды вынужденных колебаний нагрузки.

Автокорреляционная функция нагрузки может содержать одну, две или несколько гармонических составляющих, в зависимости от конструкции исполнительного органа, нагрузки на машину и условий ее работы, выбранного времени реализации исследуемого процесса и шага квантования. В определенных условиях при большом шаге квантования возможно появление колебательных составляющих в автокорреляционной функции нагрузки, обусловленных изменениями сопротивляемости угля разрушению [второе слагаемое в формуле (2-65)]. Их частота будет изменяться с изменением скорости подачи.

188

Автокорреляционная функция скорости подачи, если колебания ее неразрывные, при малых шагах квантования имеет вид

г Д е ѵп. а — амплитудное значение пульсаций скорости подачи;

к— коэффициент кратности частоты пульсаций угловой ча­ стоте вращения элементов исполнительного органа ма­ шины;

Я3 — амплитудное значение пульсаций скорости подачи с ча­

стотой соѵ ;

у— число конструктивных элементов исполнительного орга­ на, влияющих на пульсации нагрузки.

При работе горной машины с постоянной средней скоростью подачи и при шаге квантования, значительно превышающем период ее колебаний, автокорреляционная функция скорости подачи равна

В таком процессе отсутствуют постоянная и гармоническая состав­ ляющие (2-61). Частота колебаний гармонической составляющей авто­ корреляционной функции скорости подачи определяется частотой вынужденных колебаний исполнительного органа в целом и его от­ дельных элементов, а также длиной ведущей ветви тяговой цепи. Наличие гармонических составляющих разных частот и их амплиту­ да, как и для нагрузки, определяется степенью устойчивости машины в пространстве, конструкцией исполнительного органа и условиями работы машины. Кроме того, параметры гармонических составляю­ щих могут зависеть также от длины тягового органа, особенно если колебания скорости подачи обусловлены (при малых величинах на­ грузок на машину) нелинейностью сил трения. В этом случае авто­ корреляционная функция скорости подачи будет иметь следующий вид:

ные закономерности.

189

При работе комбайнов, имеющих плохую уравновешенность в пространстве, на участках забоя с относительно постоянной сопро­ тивляемостью массива разрушению и при отсутствии в пласте твердых включений pj (т) имеет колебательный характер с частотой, совпадаю­ щей с частотой вынужденных колебаний исполнительного органа. Причем спад кривой р, (т) происходит за время, равное полупериоду колебаний, а дальнейший спад огибающей колебаний р, (т) проис­ ходит незначительно; р„ (т) также имеет колебательный характер, однако частота ниже рі (т).

Чем меньше амплитуда вынужденных колебаний исполнитель­ ного органа при относительно равномерной крепости угля, тем больше период кривой р0 (т) и тем скорее происходит затухание корре­ ляционной функции.

Время затухания корреляционной функции нагрузки тем меньше, чем сильнее и на меньших участках забоя изменяются параметры про­ цесса работы горной машины (крепость угля, состояние резцов ис­ полнительного органа, длина цепи и т. д.).

Время спада корреляционной функции скорости подачи умень­

личению времени спада этой корреляционной функции ведет, при прочих равных условиях, также повышение коэффициента крепости угля, затупление резцов и ухудшение устойчивости машины в про­ странстве.

Чем выше была в период осциллографирования рабочего процесса средняя скорость подачи машины, тем, при прочих равных условиях, меньше время спада корреляционной функции нагрузки и скорости подачи при одинаковых периодах реализации.

Корреляционные функции скорости подачи р„ (т) после затуха­ ния могут иметь отдельные всплески с большой амплитудой, если исполнительный орган комбайна имеет вынужденные колебания.

Взаимно корреляционная функция выражает степень вероятност­ ной зависимости между нагрузкой и скоростью подачи. Ввиду того что эти две величины для горных машин имеют тесную причинную связь, спад огибающей взаимно корреляционной функции должен происхо­ дить очень медленно. Если автокорреляционные функции нагрузки и скорости подачи имеют колебательный характер, то и взаимно кор­ реляционная функция также имеет колебательный характер. Взаимно, корреляционная функция нагрузки и скорости подачи в условиях работы машины, когда эти периодические функции имеют одну и ту же основную частоту, сохраняет эту основную частоту и те же гармоники, которые принадлежат функциям нагрузки и скорости подачи. Если частоты их различны, то нормированные взаимно корреляционные функции р1в(т) имеют средние частоты между частотами гармониче­ ских колебаний р, (т) и р 0 (т).

190

Взаимно корреляционная функция нагрузки и скорости подачи шнековых, барабанных и буровых горных машин может быть в об­ щем виде описана уравнением

массива, значения средней скорости подачи, конструктивных пара­ метров машины и т. п. Спектральная плотность при малом шаге кван­ тования, когда автокорреляционная функция нагрузки имеет не­ сколько гармонических составляющих, описывается формулой

п

Sz (со) = т\Ь (со) + 2 ô (w — IЩ I),

где ß2 — коэффициент.

В наиболее общем случае спектральная плотность нагрузки или сил сопротивления состоит из непрерывной части и некоторого числа к пиков при отдельных частотах.

При прочих равных условиях, чем сильнее колеблется крепость угля; чем в большей степени изменяются состояние разцов исполни­ тельного органа, длина цепи; чем выше величина средней скорости подачи, тем шире график спектральной плотности S (со).

Взаимная спектральная плотность содержит гармоники, общие для процессов i (t) и v„ (t).

Так как, у узкозахватных комбайнов первоисточником, формирую­ щим характер пульсации скорости подачи, является работа испол­ нительного органа, то если процесс не имеет явно выраженных гар­ моник, по взаимной спектральной плотности можно определить, какой физический процесс или параметр исполнительного органа вы­ зывает пульсации скорости подачи. Если этого нет, то значит в дан­ ных условиях пульсации скорости подачи обусловлены другими фак­ торами.

Наличие периодической составляющей, количество периодиче­ ских функций, характер кривой р (т), время затухания корреляцион­ ной функции зависят не только от параметров процесса и степени их

число интервалов; длительность записи реализации случайного процесса.

191

Соответственно для взаимно корреляционной функции нагрузки и скорости подачи

N-m

v=l

m^sO, 1, 2, . . .

Спектральная плотность по реализации случайного процесса мо­ жет быть ориентировочно определена по формуле

т

5 г н И = 4- £ х г ( * ) е - / в ) | £ Й 2

Время реализации 71, шаг квантования т и интервал дискретности Д должны выбираться исходя из требуемой точности и достоверности характеристик случайного процесса и из того, какие физические за­ кономерности исследуемого процесса должны быть выявлены. Интер­ вал дискретности следует выбирать на основе теоремы Котельникова, чтобы функция к (t) мало изменялась на протяжении интервала At

я (t), можно иметь лишь при значениях т, отличающихся от интерва­ ла наблюдения Т не менее чем на порядок. Ориентировочно оценку т и Т можно производить исходя из диапазона частот, который пред­ ставляет интерес для работы системы или для исследований процесса:

Вычисление корреляционных функций, как правило, производит­ ся на ЭЦВМ или с помощью корреляторов.

Вследствие ограниченной памяти вычислительных машин умень­ шение шага квантования приведет к уменьшению времени реализа­ ции, в связи с чем процесс может быть исследован с недостаточной до­ стоверностью. По этой же причине необоснованное увеличение вре-

192