Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митрохин В.Т. Выбор параметров и расчет центростремительной турбины на стационарных и переходных режимах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Для рассматриваемого ниже потока несжимаемой жидкости

через решетку решение [48] сводится к следующему.
Рассмотрим контур abed (рис. 2.39). Примем, что в	сечении
с — d, выбранном на некотором расстоянии от входного	сечения

а — Ь, поток, возмущенный решеткой, полностью выравнялся, а его направление совпадает с направлением пластин. Уравнение неразрывности для выделенного контура abed

pwt sin	pwrj,	(2.86)
где w\ sin Pi — средняя величина	проекции	скорости на направ

ление пластин, равная для прямой решетки ско рости на бесконечном удалении от пластин;

р — плотность;

t — шаг решетки.

Если пренебречь трением жидкости о стенки, то уравнение импульсов в проекции на направление пластин примет вид

pw\ sin

1 1

pxt= pw\t-\- p2t.

(2.87)

Уравнения (2.86) и (2.87) достаточны для определения неизвестных парамет ров р2 и w2 несжимаемой жидкости по заданным параметрам на входе в ре шетку.

Рис. 2.39. Схема течения в плоской прямой ре шетке

Определим коэффициент потерь на входе

	* *
г	P l ~~ Р 2	(2.88)
	1	9

-7Г Р^Г

Здесь по уравнению Бернулли

P* = Pi + -

Р2 = Р2

Используя выражения (2.86) и (2.87), после несложных преоб разований получим

С з ^ с о з ^ .

(2.89)

На рис. 2.40 сопоставлены величины £В х, рассчитанные по формуле (2.89) и полученные экспериментально путем продувки решетки пластин при Mi = aJi/a«0,4. Экспериментальные значе ния £вх ниже, чем полученные по формуле (2.89), что объясняет-

ся, по-видимому, влиянием конечной толщины входных кромок, обтекаемых при малых скоростях потока, в то время как теоре тическая схема соответствует бесконечно тонким кромкам.

На рис. 2.40 приведена также расчетная	кривая £Вх при Mi =
= 1, соответствующая результатам работы	[49]. Как видно из

приведенных данных, сжимаемость мало влияет на величину £Вх- При распространении приведенного Еывода на вращающуюся

круговую		решетку	(рис. 2.41)		возникают	существенные	трудно
сти, связанные с появлением в
уравнении		импульсов		в относи
тельном	движении		сил	давления
лопаток и центробежных и корио-
лисовых сил инерции. Эти силы не
могут быть вычислены без допол-
				—
1,0
0,75		>
0,5		>	Г
0,25		/	^2
0,25
О			W 30 10 10 fi1
90 80 70 60 50			W 30 10 10 fi1
Рис. 2.40.	Сравнение		значений £Вх в		Рис. 2.41.	Схема течения	через вра
зависимости		от В] в плоской		прямой	щающуюся плоскую решетку ради
		решетке:			альных пластин
1 — расчетные; 2 — экспериментальные

нительных предположений и для их приближенной оценки долж

на	использоваться			подходящая	теоретическая модель		течения.
	Как и для прямой решетки,				выделим	в радиальной	решетке
контур AiB]B2A2;				радиус г2 пока	оставим	неопределенным. В се
чении		А \ — В х	полное давление		р * (в относительном		движении)
и	угол	потока	Pi	будем считать постоянными. Скорость W\ и

давление р\ при этом должны изменяться по дуге окружности между пластинами в соответствии с условиями равновесия в окружном направлении. Распределение скоростей по дуге 9 меж ду пластинами в этом случае должно быть линейным [47]:

w = wА + '2иЪ sinp,	(2.90)
а средняя скорость
и>ср = — ^ wdd~ wA —\|- «ср sin fi,	(2.91)
^ о

где

ср =	2я	;
ср =	z	;
z — число пластин радиальной	z
z — число пластин радиальной	решетки;
Ш А — скорость на стороне пластины		А\А2\
0 — текущее значение ф.
Для ориентировочного определения сил давления пластин ir
центробежных и кориолисовых	сил	инерции, а также радиуса-

выравнивания г2 рассмотрим следующую схему течения. Поток, входящий на решетку под углом Pi<90°, отрывается от поверх ности В \ , В 2 . Возникшая зона отрыва простирается вплоть до радиуса г 2 , на котором поток внезапно выравнивается. Давление в зоне отрыва определяется полем центробежных сил

где	р2	— статическое давление выравнившегося потока					в точ
		ке	В2;
и 2	и и — окружные скорости на радиусе г 2 и на текущем						ра
		диусе г соответственно.				А\А2 максимально, т.
Примем,		что	давление	на	стороне	А\А2 максимально, т.	е.
равно	полному давлению			р*,	которое	изменяется вдоль радиуса

в соответствии с уравнением Бернулли в относительном движе нии, т. е.

Р— i r - = P i

Впринятой схеме течения сила взаимодействия пластин и

жидкости получается максимальной и соответственно радиус г 2 — наибольшим.

Для определения г2 воспользуемся уравнением моментов ко

личества движения в абсолютном		движении
9	2	9	2
^ pel sin at	cos a^idd —	j" pet sin a2	cos a2r2dO —
о	6
	=](P*-P)rdr,		(2.92)

где p* — p— давление на пластину в принятой схеме течения. Используя очевидные соотношения

сх sin a1	=	wl sin Рр	с2 sin щ = чо2\'
с1 cosa1 =	w 1	cos pj-f-Ир	c2 cosa2 =w2 ,

получим

j" рда? sin ?j cos ^ri^e - j -

f р и ^ ! sin ^ г ^ б —

- j

m2w2r\d§

= j (/?* -

/7) rrfr.

(2.93)

r 2

Интегралы в левой части (2.93)

легко решаются, если

ввести

средние по Э величины

скоростей и учесть

соотношения

(2.90)

и (2.91). Связь между средними скоростями

wlcp

и ш 2 с р

опреде

ляется из уравнения

неразрывности

pw1

sin ^rdb == f pzw2r2J9

(2.94)

или

^ l c p

sin Pi

™2 c p =

(2.95)

где r = r2/ri

— относительный радиус

выравнивания.

получим

После вычисления интеграла в правой части

(2.93)

§(Р*—Р)

rdr =

^[p*~-

- ^ - + - ^

Р Y d r = =

2 \

r i

f / *

P"2

P"2 \

Г Рд а 2В

J ^ L

, ? ^ > ,

(2.96)

где ш2 в —скорость относительного движения в точке В 2 .

Исполь

зуя соотношения

(2.90), (2.91)

и уравнение неразрывности

(2.95),

найдем

Щ в = — (

s i n

$iJr!iw'2)>

(2.97)

где M = « i / « i C p —

безразмерная окружная скорость.

Если использовать выражения (2.95), (2.96) и (2.97), то

уравнение

(2.93) можно переписать так:

pwicp ^ 1 +

" 2 f 2

P l

j sin ?! cos ?!cpr? - f p«!Wic p

sin ?:cpri (1 — r2) =

- ^

L _ (sin ?! + Wr2 ) 2

г? (1

- 7

2 ) .

(2.98)

Разделив все члены уравнения (2.98) на pwicp и пренебрегая членами порядка выше ср2, получим окончательное уравнение для

определения радиуса			выравнивания
	sin j^cos pjcp =		(l	(sin Pi + ucpr2)2		(2.99)
				4л2	•11 S i n Pjcp

При Pi = 90° уравнение (2.99) имеет два					положительных	корня:
г = 1,0	и г=\/~\\щ	. Физическим условиям задачи соответствует
r ^ l .	При йср<1,0	имеет смысл первый			корень ( г = 1 ) , отвечаю

щий безотрывному обтеканию. При ыф=1 корни уравнения сов

падают, а при йф> 1 в соответствии со вторым				корнем		радиус
выравнивания оказывается меньше Г\. Условие шр=1						отвечает
наименьшему числу пластин гт\п=2ли,			при котором		возможна
безотрывное обтекание.
Таким образом, при числе пластин 2<2ям, даже при радиаль
ном	входе потока (Pi = 90°), радиус выравнивания г2				не совпа
дает	с г\ и возникают дополнительные		потери.	Эта	же	оценка
наименьшего числа пластин получается из условия					равенства
нулю	скорости (2.90) в точке Ai	[47], так как условие			wA	= 0 со
ответствует принятому условию р = р* на стороне				А\А2.
Наименьшее число лопаток зависит от угла си выхода потока
из соплового аппарата. Из треугольника скоростей на						входе в
решетку рабочего колеса можно получить
	и = — - — — sin	ctg а{ — cos J^.				(2.100)
При	Pi = 90° величина u = ctgcti,	и тогда	условие г ^ 2 я й			записы
вается так:
	Z > 2Л Ctg О;.

При расчете г по формуле (2.99) угол Pi изменяется от 0 до 90°. При Pi>90° следует принять, что давление р* получается на стороне В\, В2, а отрыв потока происходит со стороны А\, А2. Уравнение (2.99) для г принимает при этом вид

sin pi cosp\|cp=(l — г2		(sin	Pj — Ы«р/"2 ) 2		.	(2.101)
sin pi cosp\|cp=(l — г2			4/-2	—	\-ufsm	(2.101)
			4/-2
где pi =	180° —
При	й = 0 (неподвижная	решетка)		из уравнения		(2.99) полу
чается простое выражение для радиуса				выравнивания
	тв - о = \| /		, . . . . ! , . .		•	( 2 - 1 0 2 >
	- ° *	"	4 < f c t g p 1 + l
Очевидно, что при Pi = 90°		r-_0	— l.

* В первом издании в этой формуле, а также в последующих формулах (2.114) и (2.117) перед членом (ы(рг2) ошибочно стоял знак « + » , на что обра тил наше внимание Н. Б. Трейнер.

На рис. 2.42 приведена примерная зависимость г от Bi и и при Ф = 2п/16.

Перейдем к расчету потерь выравнивания потока. Составим уравнение импульсов в проекции на г

0,25

ЕО

100 110

120

130

ПО

fl.

Рис. 2.42. Зависимость

радиуса

выравнивания

от

и и

9/2

pwx

sin2

§хгх

cos

6^/6 -f-

pxrx

cos

SafS =

j" ptw|r2 cos SfifS - f

j "

-<Р/2

9/2

—«Р/2

-V/2

r 2

cos 0^0 + sin - | - j

(/,' + /,) </г

+ Р ц + Р к , (2.103)

—9/2

Г,

где Я ц

и Рк

— проекции

на направление г центробежной и ко-

риолисовой сил инерции

соответственно.

Если учесть, что

рш>?

ро>2

Pl=Pl

—

И р2 =

Р2

—

причем

рх

и р2

постоянны в соответствующих сечениях, то урав

нение (2.103) принимает вид:

?гх

(2sin2 ^—1) J TO?cos9flre +

^ r i 2 s i n - | - =

-9/2

9/2

_ £ ^ 2 _

wlcasddQ

+ plr22

sin

- | -

-9/2

+ sin - i - j ( / + r f r + Рц + Я к .

(2.104)

Вычислим отдельно интегралы, входящие в уравнение (2.104), а также проекции центробежной и кориолисовой сил инерции.

Если считать, что w = wcp	+ 2ud sin р, то	с точностью до малых
порядка ф3
9/2
w2 cos QdQ = wcv2		sin
-?.2
-f-4a2 sin2 p[4-J-cos-J- +	2sin у ( " f ~ 2	) ~Wcp2 s i n - \| - .
		(2.105)
Отметим, что в принятом	приближении скорость в сечении А \ —

В \ (см. рис. 2.41) можно принимать постоянной. Интеграл

Учитывая, что

	Pi ~				PW 24
	Pi ~		А и д		о
			P"l .			Р«2
	Р2М—Р1		— '	2	1	2
				2	1	2
и приняв во внимание выражение					(2.97), получим
г,			*	29и2		9w'f		-	-
(p* + p)dr = r l { \ - r )			2/?i			^ ( s	i n	^	+ мсрг2 )2
Га
	+	2	r i ^ f - ^ - ,						(2.106)
а радиальная проекция центробежной силы инерции будет
г,	9/2	pw*rWdr		= pulri		1 ~ / " 3	ср.		(2.107)
>ц = ^	j	pw*rWdr		= pulri		1 ~ / " 3	ср.		(2.107)

г2 -9/2

Вычисление радиальной проекции кориолисовой силы инер ции вызывает дополнительные затруднения в связи с тем, что не известна окружная проекция относительной скорости wu = ==o»cosp в функции г и 9. Вычислим проекцию кориолисовой силы приближенно, считая, что в пределах элемента abed (см. рис. 2.41) скорости и углы потока не зависят от ф

к _ j 2ротгур/ч/г.

(2.108)

Окружную проекцию скорости вычислим из уравнения мо

ментов количества движения для элемента abed

Gd(cur)=±(p*-p)rdr,

(2.109)

где G = pwlcvs'm

pVicp— расход жидкости.

зависимости

Знак в правой части уравнения определяется в

от угла

(плюс при Pi>90° и минус при Pi<90° в соответствии

с принятой схемой течения).

Интегрируя (2.109) в пределах

Г\,

г, получим

PW2B

r \ - r 2

(2.110)

Учитывая,

что wu

= cu

— юг, в

результате несложных преоб

разований

найдем

(cos pt

+ и) Г\

( s in

Pi +

uyr2)2

(or.

2r2

sin

pifA-!/"

(2.111)

Подставив

в выражение

(2.111)

r = r2

используя

уравнение

(2.97), получим wu = wu2 = 0. Окончательно

Рд а 12 ср

4«(соэр1 -|-и)(1 — г) +

и (sin Pi +

и<рл-2)2

- 4 и 2 -

(2.112)

/•2<f> sin

P J

Если определить коэффициент изменения полного давления в от носительном движении

Pi—Pi	(2.113)
	(2.113)
1	2

то, пренебрегая по-прежнему величинами порядка <р3, из выра жений (2.105), 2.106), (2.107) и (2.112) найдем

	Sin2p!	1—2	sin2 р!	1 — г •(sin pt — «cpr2 )2 -j-
				27з
	+ И 2 ( 1 _ Г 2 ) + .		4(cosp1 +		и)(1 —г) ±
^	(sin p i - д у г 2 ) 2	Л -	1 - / - 3	\	. -	1—/-з	(2.114)
~"	Г2? sin Р!	\		/	•4и		(2.114)
~"	Г2? sin Р!	\	3	/

Отметим,	что в относительном движении	p 2 * < P i *	не только
из-за потерь	смешения, но и за счет работы,	которая	учитывает

ся коэффициентом £'в х . Чтобы учесть только потери смешения,

воспользуемся выражением			работы в		относительном		движении
				Р4			(2.115)
	А	2	Р ^	Г ~			(2.115)
	А	2	Р ^	Г ~	й 0 1
С учетом равенств (2.113) и (2.115) получим
				С — и2 (1 — г2 )			(2.116)
		?wlcp
			Pi-Pi
	1
	V a = 7		7,5
	\		7,5
	\		1,0
	\		1,0
	\
	'—.		0,5
	'—.
	COS ,/3,
	30 kO 50	80 70	80 90	100 ПО ПО 130 ПО Щ
	Рис. 2.43. Зависимость £В х от Pi
или окончательно
	sin* 0!	1 - 2	s i n 2 ^		1 — г	• ( s i n ^ - « ? r 2 ) 2 +
		1 - 2	s i n 2 ^		2л*	• ( s i n ^ - « ? r 2 ) 2 +
					2л*
		4(cos31 +		«)(l- 7) +
(sin	P i - ц у г 2 ) 2	/ j		•/•3		. - 1 — r3	(2.117)
r2<p sin p1					— Ш		(2.117)
r2<p sin p1
(знак «—» берется при Pi<90°).
При f—\	формула	(2.117), очевидно, переходит в					формулу

(2.89), т. е. Sr -!=cos2 B,.

В качестве примера рассмотрим потери в решетке в зависи

мости от угла входа	при z ^ z m i n . Чтобы не усложнять расчета,
рассмотрим потери	при радиальном входе потока (£вх = 0 при
Pi = 90°) отдельно.

•88

Примерная зависимость £ В х от угла	потока на входе показа
на на рис. 2.43. При Pi = 90° коэффициент потерь		£ В х = 0. Там же-
приведены кривые £ - = 0 и t>-^. Кривая	£ ^ 0 т а к	же, как и t,-=1
симметрична относительно оси ординат.	В радиальной решетке

силы давления пластин направлены против течения, что не спо собствует быстрому выравниванию потока, и коэффициент по терь t,jf=0 Е невращающейся радиальной решетке больше, чем в прямой (^ T^J . Кривая 1>—=х несимметрична относительно оси ординат. При fSi<90° (положительном угле атаки) проекция кориолисовой силы инерции направлена против потока и величина

существенно больше t,~=0 и

При Pi>90°

проекция ко-

риолисовой

силы направлена

по потоку, в результате чего поток,,

возмущенный решеткой, быстро

выравнивается

и £—=i

меньше

Оценим

отдельно потери

при радиальном входе

потока (Pi =

= 90°), связанные с отрывом

потока

при числе

пластин

меньше

2min= : 2rtW.

В этом случае по уравнению

(2.99)

Fp=90» =

- .

(2.118)

С использованием

выражения

(2.118)

и при Pi =90°

формула

(2.117) принимает вид

^ - (

- 2 ) +

«2

1 _ А 3

4 ^

Г3

(i-7~- — /-з

(2.119)

В связи с тем, что отрыв

потока

при

z<zmln

происходит от

поверхности

А\—А2

(см. рис. 2.41),

формуле

(2.117)

следует

выбирать знак плюс. Тогда окончательно при z < 2 m

l n

8и2

—/-3

. - Г ) ( 2 - Г )

(2.120)

= 90°

— Г —-

7з

Если г ^ 2 т 1 л и соответственно г = 1 , то

Сз,=9о° =0.

Вернемся к расчету коэффициентов потерь, связанных с не

расчетным входом потока на колесо при

z>2nu.

На рис. 2.43 была приведена зависимость коэффициента по

терь £вх от

Pi при постоянном значении

ы = 1,0.

При изменении

режима работы турбины при постоянном угле величина ai в со ответствии с формулой (2.100) изменяется.

На рис. 2.44 приведены зависимости коэффициента потерь от рыва £вх при изменяющихся величинах и, но при постоянных

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ