книги из ГПНТБ / Митрохин В.Т. Выбор параметров и расчет центростремительной турбины на стационарных и переходных режимах

Уравнение энергии для сечений «О» и «1» запишется следую­ щим образом:

надо у параметров заменить индексы «О» на «2», a «Wi» на «w2». Если угол входа потока на невращающуюся решетку равен углу лопаток, то матрица [А"'] превращается в единичную.

При использовании динамических коэффициентов всех мат­ риц можно рассчитать одномерное нестационарное течение во вращающихся и неподвижных решетках турбомашин. Пусть на входе в решетку заданы пульсации скорости CQ и давления ро- Пульсации скорости с 2 а и давления р 2 на выходе из решетки оп-

120

ределяются следующим образом:

3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВРАЩАЮЩИХСЯ И НЕПОДВИЖНЫХ РЕШЕТОК

Итак, рассматривая одномерное нестационарное течение че­ рез основные элементы турбомашин — вращающиеся и непо­ движные решетки, удалось представить эти решетки в виде, опи­ сывающем линейный четырехполюсник и вычислить динамиче­ ские коэффициенты Ьц, полностью определяющие динамические характеристики решеток.

Из теории регулирования известно, что основными динамиче­ скими характеристиками любого линейного элемента являются передаточная функция и импульсная переходная функция или переходная функция.

Если в правой полуплоскости комплексного переменного s передаточная функция не имеет особенностей, то можно заме­ нить s= — гсо и перейти от передаточной функции к частотной характеристике (т. е. значению передаточной функции на мни­ мой оси).

Покажем, что, зная динамические коэффициенты матрицы проводимости 6ц, можно полностью определить динамические характеристики решеток турбомашины.

Отметим некоторые задачи, которые возникают при рас­ смотрении одномерных нестационарных течений через турбомашину.

1. Пусть на входе в решетку заданы возмущения скорости и давления. Используя преобразование Лапласа (3.8), можно оп­ ределить их изображения и составить безразмерное отноше­ ние, называемое операторным импедансом,

121

Разделив правые и левые части (3.45) и используя (3.46), по­ лучим

теристикой рассматриваемой задачи и позволяет при заданном входном импедансе £о с помощью динамических коэффициентов 6,j определить импеданс на выходе, т. е. знать безразмерное от­

по скорости является производной от указанных и определяется из очевидного соотношения

F = F .

с"к

Таким образом определяются не только отношения возмуще­ ний на выходе при заданных входных, но и абсолютные значения

Р2 И С 2 а -

Очевидно, что если заданы возмущения на выходе из решет­ ки р2 и с2 а , то возмущения ро и Со на входе определяются так:

2. Очень часто решетки турбин обтекаются при условии, что

122

Выберем положительное направление оси совпадающим с на­ правлением среднего потока. Тогда можно различать Д Е Э слу­ чая.

1.Источник возмущений расположен в трубе перед решеткой..

Втрубе за решеткой (за турбиной) при Мс -»-1 отсутствует отра­

женная волна, определяемая в данном случае экспоненциальным

В обоих рассмотренных случаях, независимо от значения им­ педанса, в сечении, расположенном ближе к источнику возмуще­ ния, конечный импеданс постоянен. Пользуясь терминологией линейных цепей, можно сказать, что решетку турбомашины в рассматриваемых случаях можно представить как двухполюсник, динамические характеристики которого определяются его вход­ ным импедансом.

Входной Импеданс £0 (в Случае (1)) или U (в случае (2) > позволяет определить, например, по возмущениям давления на

де или на выходе), но и передаточные функции между сечениями: иа входе и на выходе. Рассмотрим, например, случай, когда ис­ точник возмущения расположен на входе. На выходе отсутствует' отраженная волна, но колебания давления существуют и на вы­ ходе. Поэтому представляет интерес вычислить передаточную функцию по давлению между сечениями, определяя ее при £ г=1 -

течения с градиентом средней скорости из [26] получено граничное значение

123

ские коэффициенты 6,-j зависят от частоты со, координаты / и па­ раметров, характеризующих режим стационарной работы турбо­ машины: числа МС о абсолютного движения, М ш „ Мщ,2 отно­ сительного движения и углов потока в абсолютном а и

Очевидно, что в неподвижных решетках и решетках осевой тур­ бины (1=1 и

124

До сих пор рассматривались динамические характеристики решеток для изображений давления и скорости. Для изучения переходного процесса необходимо знать изменение давления и скорости по времени, т. е. нужно найденные значения динамиче­ ских характеристик подвергнуть обратному преобразованию Лапласа.

Такое преобразование, как известно (см., например, [14]), мо­ жет быть произведено следующим образом.

Передаточная функция решеток, как и любой линейной си­ стемы, связана преобразованием Лапласа с так называемой функцией веса, или, как ее называют в математике, функцией Грина k(t, I). Причем, если передаточная функция не имеет осо­ бенностей в правой полуплоскости s, то для связи между частот­ ной характеристикой (/(со, /) , передаточной функции или импе­ данса при s = — к о можно воспользоваться преобразованием Фурье

оо

2л j

о

Функция веса k(t, I) играет очень важную роль при изучении переходных процессов. Как известно, если возбуждение, посту­ пающее на решетку имеет вид F(t), то отклик на такое возбуж­ дение при известной весовой функции системы k(t, I) опреде­ ляется теоремой свертывания

т. е. определяется простым интегрированием. Вопрос заключает­ ся в определении функции веса k(t, I). В рассматриваемом слу­ чае, поскольку частотные характеристики ^(со, /) определяются через найденные нами динамические коэффициенты Ьц = Ь((и, / ) , то по выражению (3.56) функция веса может быть найдена как

ФУНКЦИЯ

Функция веса определяет реакцию системы на импульсное возбуждение. Как известно, наряду с функцией веса при рас­ смотрении переходных процессов употребляется еще одна дина­

<7К /) = Re[<7(w, /)] + П т [ ? К /)],

то переходная функция определяется через действительную или

125

мнимую части

» О

Очевидно, что в рассматриваемом случае нестационарного те­ чения в решетках турбомашины переходная функция h\t, I) яв­ ляется функцией найденных динамических коэффициентов 6t-j. С использованием переходной функции h(t, I) отклик на произ­ вольное возбуждение находится из интеграла Дюамеля

турбомашин, которые позволяют, в частности, рассчитать пере­ ходный процесс в турбомашине.

Если не интересоваться переходным процессом, а определять зависимости скоростей и давлений по времени на установившем­ ся режиме, то вычисления значительно упрощаются. Установив­ шийся режим может возникнуть в турбомашине, например, при

сти и давления в действительную плоскость. Это подтверждается следующим образом [14].

Рассмотрим возбуждение, подаваемое на решетку в виде e i m t . Согласно (3.56) отклик решетки на такое возбуждение опреде­ ляется так:

о

Поскольку частотная характеристика решетки о (со, I) сходится на мнимой оси, существует интеграл

00

О

126

перехода из пространства изображений зависимости пульсаций скорости и давления по времени.

Как известно, частотные и временные представления в пре­ деле связаны между собой следующими зависимостями:

Игл/?.(/•, s) = lim q{u>, /)

И

\\mh{t, /) = lim<7(u>, /) .

Поэтому при исследовании переходных процессов и определении времени выхода на заданный режим важно, в частности, знать предельные выражения частотной характеристики при ш->-0. Час­

тотные характеристики при со->-0 называются коэффициентами усиления q(0, I).

3.7. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ

И НЕПОДВИЖНЫХ РЕШЕТОК

При рассмотрении общего решения было установлено, что при io->-0 матрицы [А] вычисляются по (3.27), а для осевых турбомашин и неподвижных решеток превращаются в единичные матри­ цы, поэтому для вычисления 6tj по (3.45) это необходимо учиты­ вать. Перемножение матриц в этом случае легко произвести не используя ЭЦВМ.

Наиболее часто приходится рассматривать обтекание реше­ ток турбин при критических режимах стационарного потока. Рас­ смотрим поэтому более подробно коэффициенты усиления реше­ ток на этих режимах.

Как было установлено в разд. 3.4.3, решетка турбомашины представляет собой несимметричный четырехполюсник; это зна­ чит, что динамическая реакция будет различной в зависимости от того, где находится источник возмущения: на входе в решетку или на выходе из нее.

127

Для сопловых решеток турбин наиболее характерным режи­

ток соплового аппарата всегда сохраняет свой знак (в данном случае знак плюс).

Если МСо-»-0, то входной импеданс соплового аппарата Со^-со и сопловой аппарат представляет собой так называемый в акус­

При критическом отношении давлений в стационарном тече­ нии колебания давления на выходе из решетки примерно в 3 ра­ за меньше колебаний давления на входе.

128

Наконец, для коэффициента усиления по скорости из (3.49) получим

1 — Ml

(3.61)

Коэффициент усиления по скорости пропорционален отноше­

Рассмотрим некоторые режимы работы решеток рабочего ко­ леса турбины.

1. Источник возмущения расположен перед решеткой. На вхо­ де в решетку число M f o —> 1. В этом случае падающая волна возмущения проходит через решетку £о=1 и необходимо найти параметры за решеткой.

В связи с рассмотрением этого случая необходимо сделать следующее замечание. Параметры за решеткой, в частности, вы­ ходной импеданс, являются не только функцией £0 и коэффициен­ тов btj, но и импеданса нагрузки, т. е. сопротивления, располо­ женного вниз по потоку от выходного сеченич решетки. Поэтому

6,j не может быть осуществлено, то, очевидно, должен быть за­ дан либо другой режим на входе в решетку, либо другой режим работы решетки, от которого зависят коэффициенты.

Если на входе в решетку соблюдается звуковой режим тече­ ния и, следовательно, входной импеданс to задан, то единствен­ ной возможностью согласования значений £2 является изменение режима стационарной работы решетки (в частности, изменения окружной скорости вращения). При экспериментальных иссле­ дованиях рабочего колеса, когда на входе МС о = 1 и источник возбуждения находился со стороны входа в рабочее колесо при некоторых частотах, задаваемых источником, режим стационар­ ной работы колеса произвольно изменялся.