книги из ГПНТБ / Митрохин В.Т. Выбор параметров и расчет центростремительной турбины на стационарных и переходных режимах

An = A22 = cos kl; \

Необходимо отметить одно важное обстоятельство. Если рас­ смотреть решение для вращающейся решетки в несжимаемой жидкости М->0, то из (3.21) и (3.24) видно, что в этом случае \Ч,2 = ± i k и коэффициенты Ац совпадают с (3.29).

Таким образом, на нестационарное одномерное течение через вращающуюся решетку, обтекаемую несжимаемой жидкостью (например, решетку профилей насоса), фактор вращения не ока­ зывает влияния *, и на отдельных участках такое течение описы­ вается акустическими зависимостями.

Выражения (3.29) с соответствующей заменой параметра ра на индуктивность и емкость описывают процесс в электротехнике так называемой длинной линии. Динамические коэффициенты в

2я

После краткого анализа решения на отдельном участке необ­ ходимо произвести стыковку решений на участках.

3.4.2. Стыковка решений на участках

Итак, необходимо связать параметры на выходе из i-ro участ­ ка (обозначим эти параметры индексом 1) с параметрами на входе в ( J +1) участок (индекс 2). Для связи этих параметров необходимо воспользоваться общими уравнениями сохранения в интегральной форме (см., например, [58]):

— неразрывности

V

В связи с тем, что между рассматриваемыми сечениями 1 и 2 объем 1>->0, можно пренебречь интегральными членами в (3.30) и (3.31), которые превращаются в обычные стационарные одно­ мерные уравнения. Отметим также, что в этих интегральных со-

* Точнее это влияние имеет порядок числа М.

Ш

Коэффициенты A-,j пригодны для стыковки решений на от­ дельных участках как во вращающихся, так и в неподвижных каналах. Из системы уравнений (3.35) можно видеть еще одно подтверждение ранее сделанному выводу о том, что решение можно построить только в области дозвуковых скоростей средне­ го течения МШ<С1-

Отметим особо важный частный случай несжимаемой жидко­

Из (3.36) видно, что отличие нестационарного течения через вращающуюся решетку в несжимаемой жидкости от акустиче­ ских зависимостей проявляется лишь в факторе изменения про­ ходного сечения

(А'К=^=-1А.

3.4.3. Общее решение

Итак, истинная зависимость параметров среднего стационар­ ного течения для получения решения заменена ступенчатой зави­ симостью (рис. 3.1). Необходимо связать между собой парамет­ ры во входном сечении канала (1) с параметрами в выходном сечении (2), при этом в разд. 3.4.1 мы получим решение на участ­

надо пергмножить матрицы [А] и [А'].

Такое соединение четырехполюсников между собой называет­ ся в теории линейных цепей каскадным [29]. Если мы длину

113

/ от входа в канал (1) до выхода из него (2) разбили на п уча­ стков, то для связи pi и w{ с р2 и ш)2 необходимо выполнить п перемножений

Обозначая результат перемножения матриц [б], окончатель­ но получим

Рис. 3.1. Зависимость числа М стационарного течения от коор­ динаты /:

—— истинная зависимость:

разбиение на 7 участков; разбиение на 4 участка; разбиение на 2 участка;

—— один участок с постоянным числом М

Выражение (3.38) дает решение задачи о нестационарном одномерном течении идеальной сжимаемой жидкости через ка­ налы решеток турбомашины (вращающиеся и неподвижные).

Рассмотрим некоторые свойства полученного решения. Преж­ де всего представляет интерес предельный случай <в-»-0. Как вид­

шин определяется единичными матрицами, поэтому связь между параметрами на входе и на выходе определяется квазистацио­ нарным решением перемножением матриц [А'], не зависящих от о. Матрицы [А'] определяются по скачкам параметров на от-

114

дельных участках. При го-»-0 произведение отдельных малых скачков соответствует одному общему скачку, определяемому по

Д л я подтверждения сказанного достаточно показать, что

А'и^АиА'п + АпАп;

115

Точно так же можно показать и равенство других коэффи­ циентов. Таким образом, в квазистационарном случае ы-*-0 мож­ но не перемножать матрицы [А'] между собой, а прямо опреде­ лять результат, подставляя значения параметров на входе в ре­ шетку и на выходе из нее в систему (3.35).

Итак, для получения общего решения необходимо выполнить п перемножений матриц отдельных участков. Хотя при исполь­

второго рода, можно ожидать, что число участков разбиения мо­ жет быть небольшим. Для того чтобы определить необходимое их количество, сравним результаты расчетов при разных числах участков. Рассмотрим неподвижную сопловую решетку турбины.

2. Зависимость МС = М(/) заменена двумя участками равной длины, числа М на которых равны соответственно входному М Г |

ивыходному числам МС з (две ступени).

3.Зависимость МС = М(/) заменена ступеньками с четырьмя участками.

4.Зависимость МС = М(/) заменена ступеньками с семью уча­ стками.

Дальнейшее увеличение числа участков давало результат, с достаточной точностью совпадающий с результатами расчета для семи участков разбиения.

Результаты расчета: зависимости действительной Re (йп) и мнимой Im(sji) частей коэффициента суммарной переда­ точной матрицы Sii от частоты v приведены на рис. 3.3. Для

116

разбиение на 2 участка; ••— один участок с постоянным числом М

ются в уравнения с постоянными коэффициентами и их решения достаточно просты. Приведенное сопоставление показывает, что

изменения средних параметров потока от координат.

Одним из преимуществ описания нестационарного течения в канале представлением его в качестве линейного четырехполюс­ ника является возможность использования для анализа хорошо разработанной теории линейных цепей. В частности, не проводя детального исследования решения, можно сразу указать ряд важных свойств.

Рассмотрим два случая.

1. На входе в канал подается возмущение и изучается реак­ ция на это возмущение на выходе.

2. Возмущение подается со стороны выхода из канала и изу­ чается реакция на входе.

Если при одинаковых возмущениях в рассмотренных случаях реакции также одинаковы, то такой четырехполюсник назы­ вается обратимым, если реакции различны — необратимым четы­ рехполюсником. Как указано в [29], критерием обратимости яв­ ляется величина определителя передаточной матрицы

Д § ' = 1 .

Вычислим определитель передаточной матрицы, описываю­ щий нестационарное течение в канале.

Как известно, определитель суммарной матрицы при каскад­ ном соединении равен произведению определителей матриц, вхо­

Очевидно, что Д6== 1 и канал турбомашины является необра­ тимым четырехполюсником. Поэтому при изучении динамических реакций важно различать с какой стороны подается возмущение: со стороны входа или со стороны выхода.

118

3.5. ОДНОМЕРНОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В РЕШЕТКАХ

Необходимо отыскать связь между нестационарными значе­ ниями параметров в абсолютном и относительном движениях и тем самым перейти от течения в канале к течению в решетке. Для неподвижных решеток, обтекаемых стационарным потоком без угла атаки, полученное в предыдущем параграфе решение формальной заменой М Ю | на Мс , « M.W2 на МС 2 при h(l) = 0 описы­ вает нестационарное течение в решетке. Перейдем к построению решения для вращающихся решеток.

В выходном сечении канала, поскольку лопатки принимаются

При этом можно принять, что пульсации статического давле­ ния в абсолютном и относительном движениях совпадают. Таким образом, связь между нестационарными параметрами в абсолют- v ном и относительном движениях в выходном сечении вращаю­

щейся решетки записывается так:

Эту матрицу можно использовать в расчетах в том случае, если числа М на выходе существенно меньше единицы. В общем случае для выходного сечения следует пользоваться таким же соотношением, какое мы сейчас получим для входного сечения.

Свяжем теперь параметры на входе в решетку, т. е. в зазоре между сопловым аппаратом и рабочим колесом (обозначим это сечение индексом «0») с параметрами во входном сечении вра­ щающегося канала (индекс «1»). В абсолютном движении пуль­ сации параметров в зазоре определяются значениями Ро и с0 - Скорость с0 в этом сечении связана со скоростью WQ очевидным соотношением

Поскольку лопатки соплового аппарата считаются жесткими,, при нестационарном течении принимается ao=const.

Так как расстояние между сечениями «0» и «1» невелико, для связи параметров в этих сечениях можно использовать урав­ нения сохранения массы и энергии в виде (3.32):

119