книги из ГПНТБ / Митрохин В.Т. Выбор параметров и расчет центростремительной турбины на стационарных и переходных режимах

тотных характеристик ее основных элементов — неподвижных и вращающихся решеток.

Другой важной проблемой, разработка которой основывается на частотной характеристике, является проблема устойчивости. Турбомашины, как правило, работают в составе сложных уста­ новок, включающих камеры сгорания. Последние при достаточ­ ной теплонапряженности часто являются источниками автоколе­ баний (см., например, [26, 40]). При изготовлении сложных уста­ новок очень важно на стадии проектирования оценить области устойчивой работы. Задача определения границ устойчивой ра­ боты таких установок разрешима, если известны частотные ха­ рактеристики всех элементов, входящих в установку, в том чис­ ле и турбомашин.

Известно много работ по нестационарному обтеканию реше­ ток. В работах Г. С. Самойловича, Л. Е. Ольштейна и др. (под­ робная библиография содержится в [43]) одной из главных счи­ тается проблема прочности и надежности. В этой связи рассчи­ тывались нестационарные силы, действующие на решетку пластин, обтекаемую несжимаемой невязкой жидкостью. При решет­ ке изогнутых профилей, обтекаемой сжимаемой жидкостью, за­ дача определения нестационарных моментов и сил в общей по­ становке очень сложна. Излагаемые ниже упрощенные одномер­ ные представления позволяют сделать оценку нестационарных моментов и сил, действующих на лопатку, применительно к об­ теканию решетки профилей невязкой сжимаемой жидкостью.

Задаче расчета устойчивости систем, включающих турбома­ шины, посвящены работы В. В. Казакевича [23] и В. А. Боднера [7]. В этих работах благодаря использованию нелинейной ква­ зистационарной характеристики турбомашины удалось рассчи­ тать амплитуды и частоты автоколебаний. Эти частоты были достаточно малы, поэтому вполне оправдано то, что волновые свойства турбомашины . не учитывались (учитывались только волновые свойства трубопроводов, т. е. турбомашина рассмат­ ривалась, как система с сосредоточенными параметрами). При больших частотах колебаний необходимо рассматривать турбомашину как систему с распределенными параметрами, т. е. си­ стему, в которой параметры зависят от времени и от координат.

В настоящей главе рассматривается задача одномерного не­ стационарного обтекания основных элементов турбомашины. На основе решения этой задачи определяются динамические характеристики решеток (частотная характеристика, переходная функция), необходимые для определения границ устойчивости относительно продольных колебаний, расчета переходных про­ цессов и анализа закономерностей прохождения случайных сиг­ налов через турбомашину. Разработанные методы не ограничи­ ваются решетками радиальных турбомашин, а могут быть использованы для расчета переходных режимов и границ устой­ чивости осевых турбин, ступеней компрессоров и насосов.

1О0

Широко известны работы по расчету распределенных акусти­

Трудности, возникающие при изучении нестационарного тече­ ния в решетках турбомашины по сравнению с отмеченными ис­ следованиями связаны с двумя обстоятельствами.

1. Скорость среднего потока в решетке существенно изменяет­ ся по ее длине.

2. Подводится (в решетках компрессоров и насосов) или от­ водится (в решетках турбин) механическая энергия.

Поскольку учет этих обстоятельств необходим, но представ­ ляет значительные трудности, автору пришлось ограничиться рассмотрением линейной теории, т. е. решать линеаризованные •основные уравнения [33, 34].

Предлагаемый подход несколько отличается от изложенного ранее в [33] и [34]: рассматриваются уравнения относительного, а не абсолютного движения. Это позволило существенно расши­ рить области режимов работы турбин, для которых подобное рассмотрение справедливо.

Использование линейной теории ограничивает, но не лишает возможности решать проблемы, указанные выше. Действитель­ но: линейная теория не позволяет определить амплитуды и час­ тоты автоколебаний, но позволяет рассчитать границы устойчи­ вости.

К моменту подготовки рукописи к печати были проведены только первые экспериментальные проверки разработанной тео­ рии (результаты изложены в гл. IV), указывающие, по крайней мере, на качественное совпадение. Учитывая сложность экспери­ ментальных исследований подобного рода, пока неясно, являют­ ся ли некоторые количественные расхождения результатами экс­ периментальных погрешностей, или потребуется дальнейшее со­ вершенствование теории (например, учет нелинейных эффектов или учет изменения гидравлических потерь при нестационарном течении).

3.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим вращающуюся решетку турбомашины с беско­ нечным числом бесконечно тонких лопаток.

Уравнение относительного движения, как известно, записы­ вается следующим образом (см., например, [25]):

101

где We— переносное ускорение

В рассматриваемом случае вектор скорости начала подвиж­ ной системы координат Со = 0.

Будем рассматривать нестационарное движение при постоян­ ной угловой скорости вращения Q = const. Выберем так называе­ мую естественную систему координат, когда в направлении е, совпадающем с направлением о», уравнение движения (3.1) мож­ но записать так:

dr

где — = c o s , v ;

dl

у — угол между направлением центробежной силы и выбран­ ным направлением /. *•' В уравнение (3.2) не входит проекция массовой силы взаимо­ действия лопаток, поскольку рассматривается модель с беско­ нечно большим числом лопаток. Отметим еще, что в уравнении

рости и давления, поскольку эти переменные зависят еще и от

времени.

Уравнение неразрывности в рассматриваемой системе естест­ венных координат запишется так [48]:

102

ограниченных частотах возмущения будет малой величиной вто­ рого порядка.

Следует подчеркнуть, что рассматриваются такие изменения скорости w, при которых изменяется только модуль вектора и не изменяется его направление. В связи с этим в уравнения, описы­ вающие нестационарный процесс, не входит проекция массовых сил взаимодействия потока и лопаток. Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо знать связь между давлением р' и плотностью р'. Поскольку в рассматриваемом процессе не происходит притока тепла, эта связь выражается изоэнтропическим соотношением

Соотношения (3.5), (3.6) и (3.7) описывают одномерное не­ стационарное течение во вращающемся канале. Если в уравне­ нии (3.5) положить й = 0, то приведенные уравнения пригодны для описания одномерного нестационарного течения во вращаю­ щихся каналах осевой турбомашины и в неподвижных решетках.

Если дополнительно предположить, что скорость среднего те­ чения w не меняется по длине канала, то система уравнений сво­ дится к известной (см., например, [6]). Перейдем к отысканию решения полученной системы уравнений. Это удобнее сделать, если заменять систему (3.5) — (3.7) эквивалентным интеграль­ ным уравнением.

3.3. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

где s = e —г'со— комплексный параметр.

103

Умножая каждый член (3.5) и (3.6) на e-s< и интегрируя, с учетом (3.8) получим для скоростей, давлений и плотностей, ко­ торые будем для облегчения записи обозначать буквами без ин­ декса, следующую систему:

Как известно, если все полюсы функций, входящих в (3.9) и (3.10), расположены в левой полуплоскости, то, полагая s=—/о)„ получим

Теперь необходимо получить уравнение только для одной не­ известной функции. Выберем в качестве такой функции изобра­ жение для давления р. Умножим (3.9) на р, (3.10) — на (—w) и складывая их, с учетом (3.7) получим:

104

Если положить Q = 0 при и>->0, из (3.12) получим известную

из акустики зависимость

1 dp s? dl

Продифференцируем (3.12) по координате /. Если результат дифференцирования и соотношение (3.12) подставить в (3.9), то переменная w исключается. Переменная р исключается с помо­ щью (3.7). Таким образом, будем иметь обыкновенное диффе­ ренциальное уравнение второго порядка для переменной р. Если ввести в рассмотрение для стационарных значений параметров

105

Остается определить граничные условия для рассматривае­ мой задачи. В качестве граничных условий выберем значения пульсаций скорости и давления в сечениях на входе в канал и на выходе из него. Если заданы величины wt и р\ на входе в канал,, то в результате решения определяются пульсации давления и скорости в проточной части, в том числе на выходе из канала.

При заданных пульсациях скорости и давления на выходе изканала р 2 , ш2 в результате решения должны быть определены входные параметры (р\ и W\). Поскольку пульсации скорости со­ гласно (3.12) зависят от производной давления, граничные ус­ ловия могут быть сформулированы в виде

Тогда однородное дифференциальное уравнение (3.13) при гра­

Как известно (см., например, [38]), задача интеграции диф­ ференциального уравнения (3.15) сводится к разрешению инте­ грального уравнения Вольтерра второго рода с неизвестной функцией cp(s, / ) :

3.4. ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНЫХ РЕШЕНИЙ И СХЕМЫ РАСЧЕТА

Как отмечалось в разд. 3.2, основная трудность решения з поставленной задаче заключается в том, что исходная система уравнений представляет собой систему с переменными коэффи-

106

циентами. После того, как эта система сведена к разрешению интегрального уравнения, задача может быть решена известными методами. При этом определяется область возможных решений. Как известно [38], решение интегрального уравнения (3.17) мож­ но представить в виде

Решение (3.18) можно найти всегда при условии, что ядро ин­ тегрального уравнения k(l, х) ограничено по модулю

\k(l, х)|<Р.

Из (3.13) можно видеть, что это условие разрешения инте­ грального уравнения сводится к требованию

Таким образом, приведение задачи к интегральному уравне­ нию позволило принципиально показать возможность решения и указать области этих решений.

Непринципиальный недостаток решения посредством ряда Неймана заключается в быстром усложнении квадратур при вы­ числении итерированных ядер. Поэтому воспользуемся извест­ ным приближенным методом решения [38], заключающимся в том, что интервал по / разбивается на малые участки, в каждом из которых значения w, р, / постоянны. На границах этих уча­ стков эти параметры претерпевают скачок. В пределах каждого

dr

участка примем, что г и равны средним на участке значе­ ниям. При такой схеме решения необходимо определить решения на отдельных участках, а затем произвести стыковку решений.

107

где

Yl,2 _ (?*У(?г —4g

dPo Я1\ + РоЯ2 dl

72 VQ2 + Ц

Если подставить вместо Q и q их развернутые выражения, то для величины у после несложных преобразований получим сле­ дующее выражение:

определяет косинус угла в первой четверти. При течении к цент­ ру (центростремительная турбомашина) величина h(l) отрица­ тельна. В осевой турбомашине величина h{l) =0.

Для определения изображения давления необходимо в соот­ ветствии с (3.17) интегрировать соотношения (3.20).

В рассматриваемом случае, когда Q и q не зависят от коорди­ наты, можно не прибегать к интегрированию по (3.17), так как исходная система дифференциальных уравнений для изображе­ ний давлений и скорости при м;—const, r = const и =const

превращается в систему однородных уравнений с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения (3.22) определяются,, естественно, соотношениями (3.21). Решения для изображений

108

давления и скорости на участке при постоянных и>, г и—— будут

dl

/? = с 1 р у 1 е т , ' + с 2 р у 2 е

(3.23)

Исключая из (3.23) константы ci и с2 , окончательно получим

^ 2 = ^21^1 + ^22^1-

Л2 2 —" 72 (^-7 i )e T l '-4i£-7 2 )e

ik

( 7 2 — 7 i )

где я = — и принято s = -to.

Полученные соотношения характеризуют участки как линейный четырехполюсник. В матричной форме решение (3.24) записы­ вается так:

100