книги из ГПНТБ / Детали из стеклопластика в судовом машиностроении

Экспериментальные данные по анизотропии прочности при на­ пряженных состояниях— одноосных и чистого сдвига — хорошо ап­ проксимируются формулами преобразования компонент тензора чет­ вертого ранга при повороте осей координат. Эти формулы, назы­ ваемые тензориальными, отвечают экспериментальным 'данным для широкого класса материалов. Тензориальные формулы для плос­ кой задачи имеют вид (см. формулы (47)):

Благодаря своей относительной простоте формулы (57) и (58) нашли широкое практическое применение. Формула (57) была получена А. Л. Рабиновичем в 1946 г. исходя из деформационных допущений.

Для изотропных тел условие прочности при сложных напряжен­ ных состояниях обычно выражается уравнением, связывающим ве­ личину трех главных напряжений с одной характеристикой проч­ ности материала. Для анизотропных тел такое уравнение не решает задачи, так как опасное состояние зависит не только от величины главных напряжений, но и от их ориентировки по отношению к осям симметрии материала. Поэтому уравнение равноопасных напряжен­ ных состояний для ортотропных тел должно содержать не три, а шесть величин, например три главных напряжения и три направ­ ляющих косинуса, фиксирующих их ориентировку по отношению к трем осям симметрии материала.

Условие прочности при сложных напряженных состояниях для ортотропных тел получает более простой и более симметричный вид, если в него входят не главные напряжения, а напряжения, дей­ ствующие по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии материала х, у uz. Характеристики прочности при этом определяются в осях симметрии материала. Экспериментальному определению подлежит весь тот комплекс характеристик прочности, который входит в уравнение равноопасных состояний.

Если три главных напряжения произвольно ориентированы по отношению к трем осям симметрии ортотропного материала х, у и z, то по известным формулам сопротивления материалов можно легко вычислить величину напряжений, действующих по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии, так же как и в случае произ-

70

вольной ориентировки этих площадок. Обозначения таких напря­ жений с буквенными и цифровыми индексами приведены в табл. 10. Обозначения с цифровыми индексами более удобны для сокращения записи формул. Под цифрой 1 здесь, как и ранее, подразумевается ось X , под цифрой 2 — ось у и под цифрой 3 — ось г. Например, напряжения, обозначенные буквой ах или а и ,— это нормальные напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной первой оси симметрии материала х. При сокращенной записи касательные напряжения обозначаются буквой аік, у которой индексы і и k принимают последовательно значения 1, 2, 3.

Напряжения, обозначение которых приведено в табл. 10, обра­ зуют следующие суммы, не изменяющие своей величины при пово­ роте осей координат и поэтому называемые инвариантами:

В этих формулах сначала дана сокращенная запись инвариантных

сумм У{а) и Л а), а затем — подробная. В сокращенной записи сле­ дует придать индексам г и k последовательно значения 1, 2 и 3 и просуммировать по этим индексам. Величины 8ік следует принять равными единице, если і = k, и равными нулю, если і ф k.

На рис. 28 показано, как действуют напряжения ах, оу и тху при одноосном напряженном состоянии растяжения под углом а к оси X в плоскости симметрии материала ху, заданном главными напряжениями ог (ось х совмещена с направлением преимуществен­ ного армирования).

Функция равноопасных напряженных состояний должна быть инвариантной в том же смысле, что и выражения (59) и (60). При повороте осей координат изменяются величины компонент напря­ жений и величины констант материала, но величина функции изме­ няться не должна.

Все известные предложения по условиям равноопасных предель­

71

матизации экспериментальных данных с последующим представле­ нием их в виде аппроксимирующих функций. Единой, физически строго обоснованной критериальной теории прочности пока не существует даже для гомогенных изотропных металлов. Системати­ зация экспериментальных данных, впервые, в сущности, предло­ женная для этой цели Мором, возможна без изучения физических обстоятельств, порождающих переход материала из одного механи­

рассматриваются только однородные напряженные состояния. В слу­ чае неоднородных напряженных состояний с небольшим градиентом напряжений условие прочности относится к опасной точке тела.

Влияние концентрации напряжений в первом приближении может быть учтено соответствующим коэффициентом запаса. При этом следует помнить, что для анизотропных тел коэффициенты концен­

трации зависят от ориентации напряжений в материале и от соотно­ шения между упругими постоянными.

Графическое представление уравнения предельных состояний называется в дальнейшем поверхностью прочности или поверх­ ностью равноопасных (предельных) напряженных состояний. Урав­ нение поверхности прочности анизотропных тел при сложных на­ пряженных состояниях [5] содержит напряжения во второй и в чет­ вертой степенях. Четвертый порядок полинома не только позволяет

72

лучше аппроксимировать экспериментальные данные, чем второй,* но и отвечает природе явления для сильно анизотропных тел: по­ верхность прочности для сильно анизотропных материалов может содержать как выпуклые, так и вогнутые участки в связи с разным характером опасного состояния на этих участках. Наиболее простые для инженерных расчетов формулы получаются при использовании уравнения четвертого порядка, вытекающего из тензориальных формул.

Многочисленными исследованиями установлено, что величина гидростатического давления мало влияет на сопротивляемость ме­ таллов при статических нагрузках, поэтому классические теории прочности, пластичности и ползучести основываются обычно на допущении об отсутствии влияния шарового тензора напряжений на прочность изотропных материалов.

Для гомогенных полимеров зависимость прочности от шарового тензора напряжений (гидростатического давления) установлена в [1 ]. Причиной существенного влияния гидростатического давления на механические свойства полимеров является относительно низкое значение модуля объемной упругой деформации этих материалов.

Вторым обстоятельством, обусловливающим значительное влия­ ние гидростатического давления на прочность материалов, может явиться их деформационная анизотропия. Форма анизотропных тел изменяется под действием гидростатического давления. Если эти изменения достигают таких величин, что не исчезают при раз­ грузке, то наступает предельное (пластическое) состояние.

Таким образом, известный постулат некоторых классических теорий прочности, в соответствии с которым гидростатическое давле­ ние не может перевести металл в опасное состояние, не подтвер­ ждается для анизотропных неметаллических материалов. Написан­ ное для анизотропных материалов условие равноопасных состояний при предельном переходе к изотропным телам не может и не должно поэтому переходить в известные формулы тех теорий прочности изо­ тропных тел, согласно которым гидростатическое давление не может влиять на их прочность. Предельный переход к изотропным телам может приводить к закономерностям теории прочности Мора, к раз­ личным ее обобщениям или к другим теориям прочности, учитыва­ ющим влияние гидростатического давления (шарового тензора напряжений) на прочность изотропных тел. Инвариантное уравне­ ние прочности при сложных напряженных состояниях, удовлетво­ ряющее всем изложенным выше требованиям и вытекающее из тен­ зориальных формул, имеет в сокращенной тензорной записи сле­ дующий вид [5]:

В развернутом виде критерий (61) представляет полином четвер­ той степени относительно напряжений. Инвариантное уравнение

В работе [39] обсуждается «парадокс» критериев прочности второго порядка.

73

равноопасных состояний (61) является обобщением «пластического потенциала» Мизеса для анизотропных тел на тот случай, когда имеется явная зависимость предельного состояния от первого инва­ рианта тензора напряжений (от гидростатического давления). Первое слагаемое уравнения (61) представляет «пластический потенциал» или второй совместный инвариант тензора напряжений и тензора констант прочности материала aik[m, а второе слагаемое выражает зависимость прочности анизотропных тел от первого инварианта тензора напряжений. В развернутом виде после определения зна­ чений констант аіЫт для плоского напряженного состояния урав­ нение (61) примет следующий вид:

или иначе:

Здесь обозначения те же, что в формулах (57) и (58).

Для практических расчетов прочности при плоских напряженных состояниях из полинома четвертой степени получена формула,

К о — коэффициент запаса, принятый одинаковым для эксперимен­ тально определяемых характеристик прочности материала сг0, <т80, 0*45» Т0.

74

В случае двухосного напряженного состояния, при котором направления действия главных напряжений совпадают с направле­ ниями осей симметрии материала (хху = 0), формула (64) упростится:

Y + а1 + а^ у

При трехосном равном сжатии или растяжении получится сле^ дующая величина разрушающего гидростатического давления Р :

где обозначения остались те же, что в формулах (55) и (56). Точность результата, получаемого расчетным путем с помощью приведенного условия прочности, определяется в первую очередь точностью опре­ деления исходных параметров. Поэтому все вопросы, связанные с методами их экспериментального определения, требуют вниматель­ ного отношения. Здесь будут иметь значение размеры и форма образ­ цов, степень однородности и одноосности напряженного состояния, создаваемого в образцах при экспериментальном определении исход­ ных характеристик прочности, входящих в уравнение равноопасных напряженных состояний, и другие обстоятельства опыта.

В общем случае трехосного напряженного состояния условие прочности (приняв приближенно одинаковый коэффициент запаса К 0

где буквой а с нижним индексом «в» обозначена величина опасного напряжения (предела прочности) при растяжении или сжатии в направлении оси, соответствующей второму нижнему индексу; буквой т — то же при чистом сдвиге. Верхний индекс «45» у буквы о означает предел прочности в диагональном направлении (под углом 45° к осям симметрии), лежащем в плоскости, соответствующей нижним индексам. Буквами х, у и г обозначены, как и ранее, оси

75

Таблица ii

Характеристики прочности стеклопластика как ортотропного материала при действии нормальных и касательных напряжений

симметрии ортотропного материала. Действующие напряжения ах, ау, °г> тху, хУг и Хгх подставляются в уравнение без учета знака, т. е. по абсолютной величине. Практическое применение этих формул для некоторых частных случаев показано ниже. В табл. 11 приведено обозначение величин, входящих в полный комплекс характеристик прочности стеклопластика, рассматриваемого как ортотропный ма­ териал. Знание всех 15 величин необходимо для проверки прочности материала при трехосных напряженных состояниях, при которых главные напряжения могут быть либо сжимающими, либо растя­ гивающими. Для материалов, различно сопротивляющихся растя­ жению и сжатию, тензор прочности, представленный в табл. 9, должен составляться дважды, причем характеристики прочности материала при действии касательных напряжений сохраняются одни и те же.

76

экспериментально определяемую величину модуля упругости и пре­ дела прочности, то для анизотропных композитных материалов не менее важен вопрос о том, как именно эти величины изменяются в зависимости от изменения направления усилий. Этот же вопрос должен интересовать и технологов, поскольку современные стекло­ пластики создаются в процессе изготовления конструкций. Погреш­ ности в геометрии расположения армирующих элементов, обуслов­ ленные технологией, могут сильно влиять на жесткость и прочность деталей, изготовленных из стекло­ пластиков.

Графическое представление ани­ зотропии какого-либо механического свойства позволяет систематизиро­ вать экспериментальные данные в наиболее обозримом для конструк­ тора и технолога виде. Получаемые при этом пространственные фигуры называются д и а г р а м м а м и или п о в е р х н о с т я м и анизотропии. Различие между диаграммами и по­ верхностями заключается в том, что

для построения диаграмм применяет­ главных осей анизотропии (х, у, г). ся д е к а р т о в а (прямоугольная)

система координат, а для построения поверхностей — п о л я р н а я . В главе III приведены диаграммы и поверхности анизотропии для некоторых конструкционных стеклопластиков. В тех случаях, когда не оказалось достаточного числа исходных характеристик для построения поверхностей, приведены кривые, построенные в декартовых координатах. Диаграммы, поверхности и кривые строятся для характеристик упругости и для характеристик прочно­ сти материалов по одной и той же методике. При этом исполь­ зуются экспериментально определенные характеристики материала в главных и диагональных направлениях и аналитически подсчи­

танные их величины для промежуточных направлений.

При проведении аналитических расчетов удобно допущение о том, что ось сравнения у' при повороте осей сравнения (рис. 29) не выходит из плоскости ху. В этом случае один из направляющих косинусов обращается в нуль: т 2 = 0, что несколько упрощает расчеты и в то же время дает возможность построить в трехмерном пространстве графики изменения таких величин, как модули сдвига и коэффициенты Пуассона.

Если угол между осью сравнения х' и плоскостью ху обозначим Ѳ (рис. 29), а угол между осью х и проекцией оси х' на плоскость ху

77

обозначим ф, то направляющие косинусы п, I и т можно Выразить через эти углы [5].

Для построения диаграммы анизотропии, например модуля упругости стеклопластика в декартовых координатах, вначале строится пространственная координатная сетка. По оси абсцисс откладываются значения угла ф от 0 до 90°, т. е. угла между направ­ лением проекции оси сравнения х' на плоскость ху и осью х. По оси ординат откладываются значения угла Ѳ, т. е. угла между направле­ нием оси сравнения х' и плоскостью ху. По оси аппликат отклады­ ваются абсолютные значения величины модуля упругости.

Данные для построения берутся из расчета, выполненного на

строены, они в комплексе образуют диаграмму анизотропии модуля упругости стеклопластика в декартовых координатах для первого октанта пространства (подробнее см. [5]).

Такая диаграмма удобна для использования в практике, так как значения модуля упругости откладываются здесь без искажения в вертикальном направлении и всегда могут быть легко определены по графику для любого сочетания углов Ѳ и ф.

Однако физически более правильно было бы изображать величины углов не в линейных единицах, а именно в угловых, а величину той или иной механической характеристики изображать в виде вектора, отложенного из начала координат в нужном направлении. Этот век­

координатах. Если изобразить такую поверхность в аксонометри­ ческой проекции, то, очевидно, величины углов Ѳи ф и длина радиуса вектора будут в разной мере искажаться в разных направлениях.

Построение поверхности начинают с плоскости симметрии ма­ териала ху, затем строятся промежуточные значения. Концы век­ торов, соответствующих одинаковым Ѳ или одинаковым ф (с шагом

состояниях в отличие от поверхностей анизотропии имеют свои особенности. Процесс механического нагружения в конечном итоге всегда может быть доведен до опасного состояния материала. Под опасным состоянием понимается прекращение сопротивления зада­ ваемому процессу нагружения, которое может быть обусловлено различными причинами: 1) хрупкое макроразрушение, т. е. образо­ вание трещин и разделение материала на части, при этом хрупким может быть не только отрыв, но и скалывание по слою; 2) микрораз­ рушение структуры, т. е. появление множества мелких трещин, преобразующих структуру материала в менее прочную; 3) появление заметных пластических деформаций или деформаций высокоэластич­ ности. Под поверхностью прочности понимается геометрическое место точек, отвечающих опасным состояниям материала при раз­

78