книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

на подгруппу мультипликативной группы К*', его ядром служит группа On(K,Q). Очевидно, что Zn = Hn a czGOn(K,Q), причем множитель гомотетии *->л:у .ра­

следовательно, группа Оп изоморфна проективной груп­ пе РОп, являющейся ее образом в РГЬп.

Ортогональные группы, соответствующие двум

нием на Е При х ^ Е х положим и ( х ) = их(х)-\-и2(х), где П |(л:)еД ь u2(x)^È °. Ясно, что преобразование щ должно принадлежать симплектической группе Sp2p(K)\

дает этими двумя свойствами, то существует единствен­ ное отображение и2, для которого щ + и2^ Оп (К, Q)

(Дьёдонне [4], стр. 53—54). Группа On(K,Q) может рассматриваться, таким образом, как подгруппа группы

Sp2p(K), образованная такими преобразованиями ѵ, что Q (ѵ (х) ) Q {х) <= М при всех х<=Ех. Если форма Q

недефектна, то это последнее условие сводится, оче­ видно, к тому, что Q ( v ( x ) ) = Q(x).

нечетно. В последнем случае группа On(K,Q) совпа­ дает с симплектической группой Sp2p(K).

Для случая, когда форма Q недефектна, Арф [1] полу­ чил следующее обобщение теоремы Витта:

Для того чтобы существовало такое ортогональное

Глава II

СТРУКТУРА КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

§ 1. Центр и коммутант группы GLn(K)

Рассмотрим /г-мерное векторное пространство Е над К. Всякая коллинеация и пространства Е, пере­ становочная со всеми линейными преобразованиями, перестановочна, в частности (при /г > 1), со сдвигами (гл. I, § 2), и, следовательно, каждая прямая простран­ ства Е инвариантна относительно нее. Выбрав какойнибудь базис пространства Е, легко доказать, что и — гомотетия. Это показывает, что централизатор группы GLn(K) в ГЬп(К) совпадает с группой Нп гомотетий. При п = 1 это утверждение тривиально.

При п ^ 2 специальной линейной группой, или уни­ модулярной группой (от п переменных над телом К) называют подгруппу SL„(K) группы GLn(K), порож­ денную сдвигами. Очевидно, что это нормальный дели­ тель. Группа SLn(K) совпадает с коммутантом группы GLn(K), кроме случая, когда п = 2 и тело К есть поле

F2 из двух элементов (Дьёдонне [1]). Доказательство

этого факта проводится в несколько этапов.

а) Отождествляя группу GLn(K) с группой обрати­ мых матриц порядка п, начнем с того, что представим всякую матрицу А в виде произведения сдвигов и рас­ тяжения. Для этого обозначим через / единичную мат­ рицу и через E{j — матрицу, у которой все элементы,

рицей растяжения. Матрица ВІЗ(Х)А получается из А прибавлением к і-й строке /-й строки, умноженной слева на К. Если Рц = B,j(l)Bji(— 1)ВІЗ-(1), то матрица РІЗА

получается из А заменой і-й строки на j-ю и /-й строки на t-ю, умноженную на — 1. Используя эти замечания,

§ 1. Центр и коммуіант группы GLn (K) бЗ

легко представить всякую обратимую матрицу А в виде

разложение, конечно, неоднозначно; см. Диксон [1]). За­ метим мимоходом, что если тело К коммутативно, то минимальное число членов в разложении произвольного преобразования из SLn(K) в произведение сдвигов равно п, если данное преобразование не есть гомотетия, и n - f 1 в противном случае (Дьёдонне [19]).

b) Покажем, далее, что группа SLn(K) в любом слу­ чае содержит коммутант группы GLn(K), т. е. что груп­ па GLn/SLn абелева. Как легко видеть, для любой мат­ рицы В, являющейся произведением некоторого числа матриц Bij(X), имеет место равенство D(p)ß = 0'Д(р,), где В' е SLn. Поэтому из а) следует, что достаточно

что два растяжения, принадлежащие к одному классу со­ пряженности (гл. I, § 2), сопряжены в группе SLn(K).

Это легко выводится из следующих двух замечаний:

1°. Для любых двух ненулевых векторов а, b про­ странства Е существует линейное преобразование, яв­ ляющееся сдвигом или произведением двух сдвигов .и переводящее а в Ь.

2°. Для любых двух гиперплоскостей Ни Н2 и для любого вектора а, не принадлежащего ни Н\, ни # 2, су­ ществует сдвиг, оставляющий на месте а и переводя­ щий Н\ в Н2.

c) Поскольку любые два сдвига сопряжены в группе GLn(K), всякий гомоморфизм Ѳ этой группы на абелеву

§ 2) и, следовательно, содержащую более двух элемен­ тов. Рассматривая в этом случае образ при гомомор­ физме 0 произведения двух сдвигов из Т(Н), отличных от единицы, получаем опять-таки, что о2 = а. Случай,

но, GL2 (F2) = SL2 (F2) ; группа GL2 (F2) изоморфна сим­

метрической группе ©з и, будучи разрешимой, не сов­ падает со своим коммутантом.

Если тело К коммутативно и содержит по меньшей мере 4 элемента, то всякое преобразование u e SLn(K) является коммутатором vwv~'w~l двух элементов этой

изоморфна абелевой группе К*/С (Дьёдонне [1]). В слу­ чае когда К коммутативно, эта теорема немедленно сле­ дует из существования определителя, осуществляющего гомоморфизм группы GLn(K) на К*. В общем случае поступают так же, определяя для всякой обратимой матрицы А порядка п элемент det (Л) группы К*/С, на­ зываемый по-прежнему определителем матрицы А, та­ ким образом, что отображение А —>det(/4) является го­ моморфизмом группы GLn(K) на К*ІС с ядром SLn(K)-

получаемую из А вычитанием из строк с номерами j ф і подходящих кратных і-той строки таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме аг1, стали рав­

ными 0. Положим det (Л)=ф((— 1)І+І ап) det (Лл), где А'ц—

матрица, получаемая из А' вычеркиванием первого столбца и і-той строки. Индукцией по п доказывается, что это определение не зависит от выбора индекса і (такого, что а,і ф 0), что значение det (Л) не изменяется при переходе от Л к 0 ,ДА,)Л и, наконец, что det (Л)

умножается на ф(ц) при умножении какой-либо строки матрицы Л слева на р, (подробное доказательство см. у Артина [3]). Для матрицы А — BD{p), где В — произ­ ведение матриц Bij(X), из этих свойств определителя следует, что беі(Л) = ф(р). Отсюда в свою очередь не­ медленно следует, что отображение А —* det (А) является гомоморфизмом на К*/С с ядром SLn(K).

66 Гл. II. Структура классических групп

делителем в Sx и такую, что сопряоісенные к ней под­ группы sHxs~l (s е Г) порождают Г.

Тогда группа Г проста.

В самом деле, пусть N — нормальный делитель груп­

Так как N — нормальный делитель, а группа Нх абелева, то отсюда легко выводится, что коммутант группы Г со­ держится в N и, следовательно, N — Г, что и доказывает утверждение леммы.

Чтобы применить эти леммы, заметим, что группа

PSLn (К) по меньшей мере дважды транзитивна (в дей­ ствительности, в точности дважды транзитивна, если только п > 2 ) в проективном пространстве Рп-і(К) при п ^ 2 , поскольку две пары различных прямых в Кп все­

гда могут быть преобразованы одна в другую преобразо­ ванием из группы SLn(K). Согласно 1), отсюда следует, что группа PSLn(K) примитивна, и остается проверить условия а) и Ь) леммы 4). Займемся вначале условием Ь). Пусть г е Pn-i (^() и а е ^ " — вектор, канонический образ которого есть z. Возьмем в качестве Нг канониче­

дается сдвигами.) Остается доказать, что группа SLn(K) в рассматриваемых случаях совпадает со своим комму­ тантом. Для этого достаточно проверить, что всякий сдвиг является коммутатором в группе SLn(K). Более того, поскольку любые два сдвига сопряжены в группе GLn{K), а группа SLn(K) является нормальным делите­ лем в группе GLn(K), достаточно проверить, что ка­ кой-нибудь один сдвиг t является коммутатором в

іФ 3

а= е1 — в2, нормированный так, чтобы Де3) = е3 + а

сопряжены в группе SLn(K). В самом деле, они сопря­ жены в GLn(K), и легко видеть, что для любого сдвига и существует преобразование из GLn, перестановочное с и и имеющее произвольный определитель (см. гл. I, § 2). Напротив, при п — 2 не всякие два сдвига сопряжены в SL2(K). М о ж н о показать, что классы сопряженных сдви­ гов в SL2(K) взаимно однозначно соответствуют элемен­ там группы К*/К*2, где К*2 обозначает мультипликатив­

ную группу, порожденную квадратами элементов груп­ пы К*.

§3. Образующие и центр унитарной группы

Вдальнейшем, когда будет идти речь об унитарных группах Un(K,f), симплектические и ортогональные группы (последние — над полем характеристики ф 2 )

будут подразумеваться как частные случаи, если не ого­

ременная форма),то она порождается квазиотражениями

хотя бы один из векторов и(х) — х, и(х)-\-х (если харак­ теристика К не равна 2 ) неизотропен, и существует ква­

зиотражение относительно гиперплоскости, ортогональ­ ной этому вектору, преобразующее л: в и(х) или —и(х). Во втором случае другое квазиотражение преобразует

—и(х) в и(х). Таким образом, всегда существует такое произведение s квазиотражений, что преобразование s_I и оставляет на месте вектор х и поэтому может рассматри­ ваться как унитарное преобразование в гиперплоскости, ортогональной х. Применяя предположение индукции, по­ лучаем требуемое утверждение. Случай, когда характе­ ристика тела К равна 2 , требует более тонкого исследо­

вания. Можно, далее, показать, что всякий элемент орто­ гональной группы Оп{К, /) ость произведение не более