книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

40

Гл. I. Коллинеации и корреляции

V\ ZD V

таким

образом,

чтобы

f(v(x),

v ( y ) ) = f ( x , y )

при X ,

и чтобы в У] существовали векторы,

инвариантные относительно о и не лежащие в U.

Поскольку результат очевиден при

U =

V,

можно пред­

полагать,

что

V — U +

аК,

где

а ф U. Положим b —

— ѵ(а);

ясно,

что

Ьфі / .

Можно

также

считать,

что

V ф Е.

Попытаемся

продолжить

ѵ на

подпространство

размерности

m + 1.

Для

этого

нужно

найти векторы

z ф V, z' ф У /,

удовлетворяющие

следующим

условиям:

(А)

z' — z

ортогонален

к

U,

f ( z , a ) =f ( z ' , b )

и

f(z, z) =

f(z', z').

Тогда можно будет продолжить отображение ѵ на

подпространство V + zK,

положив

v(z) =

z'.

Заметим, что из-за максимальности подпространства

U невозможно,

чтобы условия (А) удовлетворялись при

z’ = z, т.

е.

чтобы вектор z' =

z,

не принадлежащий ни

V, ни W,

был ортогонален к b — а. Отсюда следует, что

гиперплоскость

Я, ортогональная к b — а,

содержится

в V или в W. Это означает, в частности, что пг =

п — 1.

Предположим

для

определенности,

что Н =

V.

Тогда

f(a,b — a ) =

0

и

f ( a , b ) = f ( a , a ) = f ( b , b ) ,

так

что

f {b,b — а) = 0

и, значит, b е Я и Н =

W.

Таким образом, доказательство свелось к случаю,

когда подпространства

V и

W совпадают

с

гиперпло­

скостью

Я,

ортогональной

к

b — а.

В

этом

случае

b — а — изотропный

вектор, ортогональный

к

векторам

чтобы выполнялись условия

(А), взяв в качестве z про­

извольный вектор, не лежащий в V. Будем искать век­

тор

z' в

виде г' = г -f с +

(6 — а)\, определяя с

и |

с помощью условия (А). Прежде

всего, вектор с дол­

жен

быть

ортогонален

к

U. Из

условия

f(z',b)

=

= f(z, а)

получаем f ( c , b ) = —f(z,b — a ) = $ = £ 0.

Так

как

b ф U,

то существует вектор

с е Я0,

для

которого

f(c,b) =

ß.

Этот вектор

не

может

быть

ортогонален к

перплоскости

H = Ü - \ - a K

и, следовательно,

к Ь\ зна­

чит, f(c, а) =

а ф

0. Итак, f(z', b — а) = f(z, b — а) +

+ /(с, b — а)

= —f{c,a) =

—а ф 0,

откуда

видно, что

z' ф Н при любом

Остается определить £ из условия

f(z',z') = f(z,z ).

Поскольку / есть

Г-форма,

получаем

§ 11. Свойства Т-форм

41

следующее

соотношение:

ag +

=

f {z -f c, z

-f c) —

— f(z,z)

так что

можно

взять £ = a-1

А.

Перед

тем как делать

выводы

из

теоремы

Витта,

формы /

на W X W было эквивалентно ее

ограничению

на У X

У, умноженному на элемент р, из

группы мно­

преобразование

и е Un(K,f), что

и(Ѵ) = W.

4) Всякое

вполне изотропное

подпространство V

ществует

такое

преобразование

« е Un(K,f),

что

«(У[)

'=

у.

Подпространство

u(W)

удовлетворяет

по­

ставленным условиям.

5)

Пусть

У,

W — вполне

изотропные

подпростран­

ства максимальной размерности ѵ,

причем

УГЛУ7 =

{0}.

Тогда

подпространство М =

У + W неизотропно

(раз­

мерности. 2ѵ), поскольку всякий изотропный вектор,

ортогональный к У, содержится в У (см. § 7). По той

же причине подпространство М° (размерности

п — 2ѵ)

не содержит никакого изотропного вектора.

Если те­

перь Уь

W1 — два других вполне изотропных подпро­

странства размерности ѵ, для

которых Уі Л Wt — {0},

то существует такое

унитарное

преобразование и,

что

и(У) =

У, и u(W) =

W\. Это следует из теоремы Вит­

та и из

существования базисов

подпространств У +

W

и Уі +

описанного в п. 1 типа. Так как и(М°) =

М°\>

левой характеристики)

и

f — симметричная форма, то

элементы

с{ = 1!і (<?і +

еі+ѵ) , сі+ѵ =

>/2 (е,- — еі+ѵ) (1

^ і

^ ѵ)

образуют ортогональный

базис

подпростран­

ства

М =

V + W,

причем

f(ch с,) =

Ѵг и f (с1+ѵ, сі+ѵ) =

= —1І2 при 1 ^ і

V.

Дополняя систему

(с;)|<і<2ѵ До

тогонального базиса

{Сі)2ѵ<і < пподпространства

М°, мы

видим,

что

ѵ ^ Min (р, п — р),

где

р — число

таких

индексов t,

что f(cit с,) > 0 .

Если, кроме

того,

поле К

евклидово, то можно

считать,

что f(cit с,)

=

1 при всех

і >

2ѵ

или

f(Ci, Cj)

=

— 1 при

всех і

>

2ѵ,

поскольку

М°

не

содержит изотропных

векторов.

В

таком

случае

V =

Min (р,п — р).

Эти результаты легко распростра­

няются

на

эрмитовы

формы

в случае,

когда

К — квад­

§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах

43

морфизмы тела

К и

множители, соответствующие ѵ и

w, одинаковы.

(Здесь

р =

dim V, /і и /2 — ограничения

формы / на V X V и

Ѵ° X

соответственно.)

Рассмотрим

теперь преобразования из r U n(K,f),

группе

GUn(K,f), а

если

V не вполне изотропно,

то

группе

Un(K,f)- Пусть

Xі = V П Ѵ° и

U — дополнитель­

ное подпространство

к

в

V. Тогда

преобразование

и

Если Рі =

{0}

(т. е. V неизотропно),

то такие

преобра­

зования

и

образуют

группу,

изоморфную

группе

Un- P{K, /г)

(в тех же

обозначениях,

что и выше). Дру­

гой

крайний

случай — это

когда

V вполне

изотропно.

Ограничимся

случаем,

когда

V — вполне

изотропное

подпространство

максимальной

размерности

ѵ, причем

2ѵ = п. Пусть

W — вполне

изотропное подпространство,

дополнительное

к

V,

и

(ег)1<і<9ѵ — базис

пространства

Е

описанного

в

п.

1

§

11

типа.

Положим и(х) =

= х-\-ѵ(х). Из соотношения f(u(x),

и(у))

— f(x,y) по­

лучаем

прежде

всего,

что

f(x,v(y)) = 0

при х ^ Ѵ ,

y ^ W .

Это

означает,

что

ѵ — линейное

отображение,

аннулирующее V и отображающее W в V. Далее, при

xs=

W, y ^ W

получаем

(для эрмитовой формы /) соот­

ношение / (х, V (у) ) + / (у, V (х))J =

0.

Матрица

преобра­

зования и в базисе

(е*)

имеет вид

чтобы соответствующие матрицы S] и S2

(или, что то

же самое, косоэрмитовы формы f(x,Vi(y))

и f{x,v2(y))

в

пространствах W\ и

W2 соответственно)

были экви­

валентны.

Рассмотрим унитарные преобразования, оставляю­

щие на месте все элементы еипврплоскости V, т. е. уни­

тарные

растяжения и сдвиги (см. §

2).

Если V неизо­

тропно

и а — вектор, ортогональный

к

V,

то и(а)—аа

и

aJf(a,a)a = f(a,a).

Такое преобразование и назы­

вается

квазиотражением относительно

гиперплоскости

взять

et = — 1

(тогда получается отрсюісвнив относи-

тельно

V). Если характеристика тела К равна 2, то при

f ( a , a ) = X + XJ

возьмем a = X~'XJ-, тогда aJXa = X и

ным к V. Такой

сдвиг представляется в

виде х —*

X+ aXf (а, х ),

где ^ — кососимметричный

элемент

Пусть

и — некоторая

полуинволюция

в группе

EUn(K,f)

относительно автоморфизма о тела

К. Пусть

и2(х) = ху и f(u(x),u(y))

= e { f ( x , y ) ) a. Перепишем в

этом случае соотношения

(I), (2), (21) и (22):

(24)

находим, что

(25)

у 1у = ееа.

Мы будем предполагать в этом параграфе, что у не

представляется в виде ХХа (случай А)

§ 3). Образуем

квадратичное расширение Ко — К(р)

тела К, в кото­

ром р2 = у и т]р = рт]° при г) е К, и превратим прост­

над

Ко,

полагая

= х\ + и (х) г; при £ = | + РЛ е Ко

и ^

е £ .

Полученное векторное пространство обозначим

значное соответствие

х' -*-*■ х'о между

пространством

Е*, двойственным к Е, и пространством

Ео, двойствен­

ным к Е0, при котором

(х'0, х) =

(x',

х) +

р (x',

и (х))ау 1

(26)

для всякого

х ^ Е .

Кроме

того,

при помощи

формул

(24) и (25)

можно показать, что инволюция /

может

быть распространена на

Ко таким образом, что pJ =

= реау~1. В

соответствии

с

формулой (26), корреляции

<Фо W, У) = <Ф W . У) +

Р <Ф(х)> « (У)У У~'-

(27)

Из

(24)

и (25)

выводится,

что фо(л'£) = (/фо (я)

при

любом I е

Ко] иначе говоря, фо есть корреляция. Далее,

если

*ф =

еф,

е =

± 1,

то и 'фо = Бфо* В самом

деле, из

формулы (27)

следует,

что

<ФоМ> УУ — е (фо('/). х)е=рК

при

любых х ,у ^ Е 0;

однако

это

выражение

является

линейной

функцией от

х (над Ко)

и не может прини­

сивной формы fo{x,y), ассоциированной с

корреля­

цией ф0:

fo(х>y) — f (х>У) + Р Q іх>и (у)))° V"1.

(28)

вию ѵи =

иѵ • а (а е К),

из которого вытекают соотно­

шения (3)

и (4); кроме

того, ф(о(л:)) — hv(q>(x)),

где

h — симметричный элемент тела К. Известно (см. §

4),

сделать,

то

из формулы (28)

будет

следовать, что

fo(v(x),

ѵ(у))

— h(fo(x, у)) х(^рК

при

любых x< = £ 0,

у е £о;

но так как это выражение при фиксированном х

храняет (в

целом) К и удовлетворяет условию

рх =

ра

(где а ^ К )

и если его множитель принадлежит

К.

За­

§ 14. Полуинволюции в унитарных группах. Второй случай

47

§ 14. П о л у и н в о л ю ц и и в у н и т а р н ы х г р у п п а х

и и х ц е н т р а л и з а т о р ы . В т о р о й с л у ч а й

В

обозначениях § 13 предположим теперь, что у =

=

Заменяя и на и ■Х~1 (что приводит к изменению

тождествен автоморфизм а или нет.

А)

а =

1 и, значит, е2 = 1. Есть три

возможности:

А1) Характеристика тела К не равна

2 и е =

1; то­

гда и — инволютивный элемент группы

Un{K,f).

Легко

видеть, что всякий вектор из U+ ортогонален ко вся­

кому вектору из и~. Отсюда вытекает,

что подпростран­

ства

U+,

U~ неизотропны; каждое из

них есть

ортого­

пары дополнительных

ортогональных неизотропных под­

пространств V, W линейное преобразование и, опреде­

ленное равенствами

и ( х ) = х

при х е

V

и

и(х) = —х

при X е

W,

является

инволютивным элементом

группы

и п(К, п.

V— полуподобие

с

множителем

h,

соответ­

Пусть

ствующее автоморфизму т тела К, и пусть

ѵи = иѵ ■а.

Из условия (4) находим,

что а2 =

1, т. е. а =

± 1 . Слу­

чай ѵи =

—иѵ возможен,

только

если

U+ и

U~ имеют

одинаковую

размерность.

Если

Я — группа

полуподо-

бий, проективно перестановочных с и,

и Я0 — централи­

затор элемента и в ГЯ„,

то

Я0 — подгруппа

индекса 1

произведения

ГИѴ{К, /і) X ГЯп_.р(Я, / 2)

(где р =

= dim U+, /]

и f2— ограничения f на Я+ХЯ+

и Я~><Я-

одинаковые автоморфизмы и множители.

А2) Характеристика тела К не равна

2 и

е = — 1.

Из соотношения Ңи(х),

и (у)) = —f(x, у)

немедленно

следует, что U+ и

Ѵ~ — дополнительные

вполне

48

Гл. 1. Коллинеации и корреляции

изотропные

подпространства и, значит,

n = 2m

и

dim U+ = dim U~ — m = v. Обратно, если

n — 2v и

V,

W— дополнительные вполне изотропные подпространства

ние и, определенное равенствами и(х) =

х при х е У и

и(х) =

—л: при x ^ W , удовлетворяет условию

f(u(x),

и (у)) =

—f (х, у)

при любых ^ е £ , у ^.Е.

Если

Vе Г ип и

ѵи = иѵ ■а, то,

как

и в предыду­

щем случае, а2 =

1.

Предполагая,

что

форма

f эрми­

деленное

равенствами o(e,) = ei+m и

ѵ(еі+т) = еі при

1 ^

і

т, принадлежит

подгруппе

Н,

причем ѵи —

=

—иѵ.

Следовательно,

централизатор

Н0 инволюции

и в группе Г ип в этом случае всегда

является подгруп­

ничиться рассмотрением

Н0. Пусть

и е Я 0 — полуподо-

бие, соответствующее

автоморфизму

т,

и

h — его мно­

житель. Соотношение

ѵи = иѵ показывает,

что v(U+) =

=

U+,v(U~) = U-,

а

соотношение

f(v(x),v(y)) —

=

h(f(x,y)Y при J te [/+

и у ^ U- показывает, что дей­

A3) Характеристика

тела К равна 2

и е — 1.

Тогда

(см. § 3)

и(х) =

X +

w(x),

где

w(E)

cz ш -’(0)

=

U.

Записывая

условие

унитарности

для и, находим,

что

хю(Е) ортогонально к U\

так как w(E) имеет ту же раз­

мерность,

что и LI0, то

w(E)

— U° с: U — вполне

изо­

тропное

подпространство.

Если

полуподобие

ѵ es

§

14. Полуинволюции в унитарных группах. Второй случай

49

е

r U n(K,f)

проективно

перестановочно

с

и,

то

оно

принадлежит централизатору Я

инволюции

и в группе

r U n(K,f),

поскольку

в

рассматриваемом

случае

из

а2 = 1

следует

а =

1.

Следовательно,

v(U)

=

U и

v(U°) — U°.

Обозначим через

V

(неизотропное)

под­

пространство,

дополнительное к U0 в U. Тогда

V0

будет

неизотропным

подпространством

размерности

2р,

где

р =

dim U°. Оно

содержит

Я0,

и

в

нем

можно

найти

р-мерное вполне изотропное подпространство W, допол­

нительное к Я0 в У° (см. § 11).

Пусть Я 1 — нормальный делитель группы Я,

образо­

ванный такими V,

что ѵ(х) == x(mod Я) при всех J t e £

и ѵ(у)

=

i/(mod

Я0) при

всех г / е Я .

Из

этих

условий

следует, что

ѵ — линейное

преобразование.

Если

V ф

ф {0},

то

его

множитель

равен

1;

иначе

говоря,

и <= Un(K,f).

Из

равенства

f(v(x),

v(y))

= f ( x , y )

при

х е

W и г /е Я0

получаем f(x, v(y)

— у) = 0 и,

так как

W0 =

V +

W и V (у) — у е

Я0, то ѵ(у) =

у

при у е

Я0.

Если

V =

{0}, то

таким

же

образом

получаем,

что

ѵ(у) =

yh

при і / е

Я0,

где h — множитель ѵ

(принадле­

жащий центру тела К).

Пусть

Я2— подгруппа

группы

Я ь оставляющая на

Группа Я[/Я2 изоморфна группе Н[

ограничений

преобразований о е Я |

на

Я. Если V ф {0},

положим

ѵ(у) = У + ѵ"(у), где

ѵ"(у)

e i ? 0, при г /е

Ѵ\

с

другой

стороны, положим ѵ(х)

— х + ѵ'(х), где

и'(х)

е

Я, при

х<=№. Соотношение f ( v ( x ) , v ( y ) ) = f ( x , y )

дает

тогда

f(v'(x),y) + f(x, v"(y))

=

0

при

х е = W,

і/ e l / .

Выби­

рая каким-либо образом

базисы

в У и

ь

Ѵа = IIй + W

(например, ортогональный

или

симплектический

базис