книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

группы ГЬп(Кі), образованной коллинеациями относи­ тельно автоморфизмов т тела Кі, удовлетворяющих условиям (5) и (6) (для некоторого а, зависящего от т). Заметим, что полная линейная группа GLn(Ki) есть нормальный делитель группы Н0 (и группы Н).

ß) Пусть теперь К — тело характеристики 2. Выше было показано, что пространство Е, рассматриваемое как 2/г-мерное векторное пространство над Кі, есть пря­

22 Гл. 7. Коллинеации и корреляции

изоморфна подгруппе группы ГЬп(Кі), образованной коллинеациями относительно автоморфизмов т тела /Сі, удовлетворяющих условиям (7) и (8) (для некоторого Я, зависящего от т). Полная линейная группа GLn(Ki)

является нормальным делителем в группе Н.

Что касается изучения централизатора в группе GLn(K) произвольного линейного преобразования, мы ограничимся ссылкой на работы Шрейера и Ваи-дер- Вардена [1] и Дьёдонне [3], где это проделано при не­ которых ограничениях на тело К-

§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы

Известно, что сопряженное пространство Е* к пра­ вому векторному пространству Е над телом К есть ле­ вое векторное пространство над К той же размерности, что и Е. Как обычно, мы будем употреблять обозначе­ ние {x', х) вместо х'(х) при и х' е £*. Простран­ ство Е* можно рассматривать также как правое вектор­ ное пространство над телом К°, противоположным телу К■ Полулинейное отображение Е в Е* может существо­ вать только в том случае, когда тела К и К0 изоморфны, т. е. существует такое биективное отображение J тела К на себя, что (а + ß)J = aJ + ßJ и (aß)J = ßJaJ; такое отображение называется антиавтоморфизмом тела К- Заметим, что если К коммутативно, то антиавтомор­ физм — это то же самое, что автоморфизм. Отображе­ ние ф пространства Е в пространство Е* будет полули­

Корреляцией пространства Е на Е* называется би­ ективное полулинейное отображение Е на Е* или, что то же самое, полулинейное отображение, ранг которого равен размерности пространства Е. Полуторалинейная форма / на Е \ Е , соответствующая корреляции ср, на­ зывается невырожденной. Такая форма характеризуется следующим свойством: всякий вектор х; е £, для кото­ рого f(x, у) = 0 при всех у е Е, равен 0.

§6- Рефлексивные полуторалинейные формы

Вдальнейшем, если не будет оговорено противное, мы будем рассматривать только невырожденные полу­ торалинейные формы на Е X. Е (относительно антиавто­ морфизмов тела К). Два вектора х, у пространства Е,

Невырожденность формы / означает, что не существует

ношение ортогональности симметрично, т. е. f(x,y) = 0

(Биркгоф и фон Нейман [1]).

Прежде всего можно ограничиться рассмотрением только невырожденных рефлексивных форм. В самом деле, если f рефлексивна и вырожденна, то множество векторов X, ортогональных ко всем векторам из Е, яв­

следовательно, форма / определяет полуторалинейную форму на факторпространстве Е/N (называемую фор­ мой, ассоциированной с f). Эта форма рефлексивна и невырожденна, и она полностью определяет форму f.

Если J — антиавтоморфизм, соответствующий форме f, то предположение о рефлексивности означает, что для

где пг{х) — скаляр, зависящий только от х. Если Х\ и хг

линейно независимы, то из предыдущего соотношения

только если тело К коммутативно и J есть его тожде­ ственный автоморфизм. Таким образом, в этом случае

такая форма f называется кососимметричной билиней­ ной формой.

Антиавтоморфизм Т, удовлетворяющий условию (12), называется инволюцией тела К, а полуторалинейная форма g со свойством (13) называется эрмитовой от­ носительно инволюции Т. Если тело К коммутативно

иТ — его тождественный автоморфизм, то соотношение

(13)превращается в равенство

в этом случае форма g называется симметричной били­ нейной формой. Если Т — нетождественная инволюция, то элементы а е К*, для которых а т= а, называются симметричными относительно Т, а элементы, для которых

симметричный (соответственно кососимметричный) отно­ сительно Т элемент, то, полагая £s = аЛ^ат1 и Іг(х,у) = = ag(x, у), мы получаем инволюцию 5 тела К и полу­ торалинейную форму Іі относительно инволюции S, удо­

Во втором случае форма h называется косоэрмитовой относительно инволюции 5.

Для того чтобы полуторалинейная форма f была эр­ митовой (соответственно косоэрмитовой), необходимо и достаточно, чтобы ее матрица А в произвольном ба­

отображение векторного пространства Е в векторное

пространство F, то отображение х ->-({«/', м (х)))° бу­ дет линейной формой на Е для любого элемента у' про­ странства F*, сопряженного к F. Следовательно,

Ф пространства Е на пространство.Е* относительно ан­ тиавтоморфизма J отображение *ф будет корреляцией пространства Е на пространство Е* относительно анти­ автоморфизма / -1; при этом

Эрмитовость (соответственно косоэрмитовость) полу­ торалинейной формы f, соответствующей корреляции ф, означает, что (ф = ф (соответственно (ф = — ф).

Мы доказали, что, умножая произвольную рефлек­ сивную форму на скаляр, можно добиться того, чтобы

§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные подпространства 27

она стала эрмитовой или косоэрмитовой. Отныне мы будем рассматривать исключительно такие формы, и когда мы будем говорить о рефлексивной форме, это всегда будет означать, что она эрмитова или косоэрми­ това (и в обоих случаях, что / — инволюция).

§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные подпространства

Пусть / — (невырожденная) рефлексивная форма на д-мерном пространстве Е. Для всякого подпростран­ ства У пространства Е множество У0 всех векторов пространства Е, ортогональных ко всем векторам из У, является подпространством в Е\ оно называется ортого­ нальным дополнением к У. В свою очередь У есть орто­

лентно тому, что ограничение формы / на У X У вы­ рожденно. Говорят, что подпространство У вполне изо­ тропно, если У cz У0; это эквивалентно тому, что огра­ ничение формы / на У Х У тождественно равно 0 (или что любые два вектора из У ортогональны). В этом слу­ чае р п — р, т. е. 2р ^ п. Индексом формы / назы­ вается наибольшая размерность ѵ вполне изотропных подпространств пространства Е; из предыдущего ясно,

изотропное подпространство, содержащееся в У0, содер­ жится в У.

Неизотропное подпространство У пространства Е ха­ рактеризуется тем свойством, что У0 является дополни­ тельным подпространством к У. Форма / называется ани-.

зотропной, если ѵ = 0,

(иначе говоря, если он ортогонален самому себе). Оче­ видно, что все векторы вполне изотропного подпростран­ ства изотропны. Обратно, предположим, что f(x,x) = О для всякого вектора х, принадлежащего подпростран­

f (х, х) = 0 для всех векторов х е Е, то форма f называет­ ся знакопеременной. Всякая знакопеременная форма ко­ сосимметрична. Обратно, если К — поле характеристики, не равной 2, то всякая кососимметричная форма на Е X Е знакопеременна.

§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм

невырожденная или рефлексивная), то отображение

ла К)', говорят, что эта форма f\ получается перене­ сением формы / посредством изоморфизма и. Если А — матрица формы / в базисе (еі)і^г^„ пространства Е,

то А будет также матрицей формы /і в базисе простран­ ства F, образованном векторами я_1(ег) О ^ 1'^ ^ ) - В любом другом базисе пространства F матрица формы fi имеет, следовательно, вид 4JJAU, где U — обратимая ■квадратная матрица.

Говорят, что полуторалинейная форма f на Е~ХЕ и полуторалинейная форма /і на F X F эквивалентны, если fi получается из f перенесением посредством изо­ морфизма и пространства F на пространство Е\ тогда f получается из fі перенесением посредством изоморфиз­