книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

180 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп.

[1], — это когда п —2, m = 3. После того как установ­ лено равенство m = п, методы § 6 позволяют при пг —

рассуждения. Наиболее трудные случаи, соответствую­ щие парам (2, 3) и (4, 5), разобраны Хуа и Ванем (см. там ж е).

Что касается симплектических групп, можно дока­ зать, что группы PSp2m(K) и PSp2n(K') могут быть изо­

(Дьёдонпе [7], стр. 39—41). Для доказательства так же, как и выше, изучаются централизаторы инволюций в рассматриваемых группах.

Возможные изоморфизмы между классической груп­

найдены. Однако это может быть сделано полностью в случае конечного поля /(. При помощи арифметического изучения формул для порядков классических групп над конечными полями Артин [!, 2] показал, что конечные

различные порядки, за исключением пар, для которых

порядков заметил Диксон [1], который доказал, что две такие группы не изоморфны (см. там же); другое дока­ зательство см. у Дьёдонпе [7], стр. 73—-74. Таким обра­ зом, между рассматриваемыми простыми конечными

группами нет никаких изоморфизмов, кроме изоморфиз­ мов (типовых и особых), указанных в § 8 . Можно так­

же заключить, что для групп вида PQn(K,f), где f —

форма индекса > [(« — 2 )/2], и PUt (К, f), где f — фор­ ма индекса [п/2], нет других типовых изоморфизмов, кроме указанных в § 8 , поскольку такой изоморфизм

должен был бы тогда существовать и для конечных групп этих типов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методы, использовавшиеся в § 1—7 гл. IV, основы­ ваются главным образом на изучении инволюций в рас­ сматриваемых группах; это предполагает, с одной сторо­ ны, что в группе имеется «достаточно много» инволюций и, с другой стороны, что известно их явное описание. В 1967 г. О’Мира [4] придумал совершенно новый метод, не использующий инволюций и позволяющий разрешать многочисленные вопросы, не поддававшиеся решению прежними методами. А именно, в работе [4] О’Мира на­

для некоторых полей может случиться, что в группе Q„ нет ни одной инволюции, отличной от 1 , так что его

результат не может быть получен прежними мето­ дами.

Основная идея этой работы состоит в рассмотрении

образование из группы Д, подпространство Р неподвиж­ ных точек которого имеет размерность п — 2 , причем мо­

жет быть изотропным; вращение называется регуляр­ ным, если это подпространство не изотропно; в любом случае плоскость R, ортогональная к Р, называется ба­ зисной плоскостью вращения. Цель состоит в том, что­ бы доказать, что автоморфизм а группы Д индуцирует перестановку плоскостей пространства Кп с обычными свойствами инцидентности, позволяющими применить, как в § 1—7, основную теорему проективной геометрии. Для этого доказывается, что всякая плоскость R яв­ ляется базисной плоскостью некоторого плоского враще­ ния, принадлежащего группе А и преобразуемого авто­ морфизмом о в плоское вращение. Доказательство очень

технично, причем наиболее труден случай, когда плос­ кость Р не изотропна. Свойство, на которое в конечном счете опирается автор, состоит в том, что регулярные плоские вращения с данной базисной плоскостью обра­ зуют коммутативную группу. Если для всякого подмно­ жества X с= А обозначить через С(Х) его централизатор в А, а через DH обозначить коммутант группы Н, то можно доказать, что для любого плоского вращения и при А ^ 2 группа DCDhC{u) коммутативна. Так как это

множества плоскостей пространства Кп обладает обыч­ ными свойствами инцидентности.

Этот метод интересен тем, что он применим во мно­ гих других случаях. Например, в ранней работе [2] О’Мира, используя сдвиги, определил при п ^ 3 авто­ морфизмы групп GLn(A) и SL,i(/l) для произвольного целостного кольца А. Данное в этой работе доказатель­ ство того, что всякий автоморфизм переводит сдвиги в сдвиги, было длинным и трудным. В работе [6] О’Мира

значительно упростил это доказательство, рассмотрев

(в том смысле, что для всякой гиперплоскости Н и для

физмы ортогональных групп над локальными или дедекиндовыми кольцами, а также их «конгруэнц-подгрупп» (О’Мира [5], О’Мира и Цассенхауз [1]) и автоморфизмы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1

Эта библиография совершенно не претендует на полноту в от­ ношении работ, появившихся до 1935 г. Список этих работ читатель может найти в книге Ваи-дер-Вардеиа [1].

Абе (Abe М.)

1. Projective transformation groups over non-commutative fields, Sijo-Sugaku-Danwakai, 240 (1942).

Алберт (Albert A. A.)

1. Symmetric and alternate malrices in an arbitrary field, I, Trans. Amer. Math. Soc., 43 (1938), 386—436.

Артин (Artin E.)

1.The orders of the linear groups, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 355—366;

2.The orders of the classical simple groups, Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 455—472.

') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.-?

Прим, перев.

Бахман (Bachmann F.)

1.Eine Kennzeichnung der Gruppe der gebrochen-linearen Trans­ formationen, Math. Ann., 126 (1953), 79—92.

Беге. (Böge S.)

1.Schiefhermitesche Formen über Zahlkörpern und Quaternionenschierkörpern, I. reine angew. Math., 221 (1966), 85— 112.

Биркгоф, фон Нейман (Birkhof! G., von Neumann J.)

1. The logic of quantum mechanics, Ann. of Math., 37 (1936), 823—843.

Болт, Рум, Уолл (Bolt В., Room T. G., Wall G. E.)

Борель (Borel A.)

1. On the automorphisms of certain subgroups оГ semi-simple Lie groups. Algebraic geometry (Papers presented at the Bombay Colloquium, 1968), Tata Institute оГ fundamental research, 43—73.

Бреннер (Brenner J.)

1. The linear homogeneous group, Ann. of Math., 39 (1938), 472—493.

2. The linear homogeneous group, II, Ann. of Math., 45 (1944), 100— 109.

Бурбаки (Bourbaki N.)

иполилинейная алгебра. Фнзматгиз. М., 1962.]

2.Algèbre, chap. VII: Modules sur les anneaux principaux. Ac­ tual. Scient. et Ind., n° 1179, Paris: Herman 1952. [Русский

3.Algèbre, chap. IX, Actual. Scient. et Ind., n° 1272, Paris : Her­ mann, 1959. [Русский перевод там же.]

Бэр (Baer R.)

1.Free mobility and Orthogonality, Trans. Amer. Math. Soc., 68 (1951), 439—460

2.The group of motions of a two-dimensional elliptic geometry, Comp. Math., 9 (1951), 271—288.

3.Linear algebra and projective geometry, New York: Acad. Press, 19—52. [Русский перевод: Бэр P„ Линейная алгебра и про­ ективная геометрия, ИЛ, М„ 1955.]

Ван-дер-Варден (Van der Waerden В. L.)

1. Gruppen von linearen Transformationen, Berlin: Julius Sprin­ ger 1935.

Вань (Wan Z.-X., иное написание Wan C.-H.)

1. On the automorphisms of linear groups over a non-commutative

Вань, Ban (Wan Z.-X., Wang Y.-X.)

1. On the automorphisms of symplectic groups over a field of characteristic 2, Sei. Sinica 12 (1963), 289—315.

Веблен, Яиг (Veblen О., Young J. W.)

1. Projective geometry. 2 vol., 2nd ed., Boston, 1918— 1938.

Вейль (Weil A.)

1. Algebras with involutions and the classical groups, I. Ind. Math. Soc., 24 (1961), 589—623. [Русский перевод: Вейль A.,

Алгебры с инволюциями и классические группы, в сб. «Мате­ матика», 7 : 4 (1963), 31—55.]

Витт (Witt Е.)

1.Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, I. reine angew. Math., 176 (1937), 31—44.

2.Uber eine Invariante quadratischer Formen mod. 2, J. reine

d’Alg. sup. Bruxelles (1957), 245—250.

Витт, Клингенберг (Witt E., Klingenberg W.)

1. Uber die Arfsche Invariante quadratischer Formen mod. 2.

J. reine angew. Math., 193 (1954), 121— 122.

Вольфхардт (Wolffhardt K.)

1.Uber eine Charakterisierung der Determinante, Math. Z., 103 (1968), 259—267.

4.The automorphisms of the group of simiitudes and some related groups, Amer. J. Math., 84 (1963), 600—614.

5. The automorphisms of P O £ (Q) and P S £ (Q), Amer. J. Math.,

84 (1963), 635—641.

6. The automorphisms of the group of rotations and its projective group corresponding to quadratic forms of any index, Canad. 1. Math., 15 (1963), 302—303.

Гётцки (üötzky М.)

1.Über die Erzeugenden der engeren unitären Gruppen, Arch, d. Math., 19 (1968), 383—389.

2.Unverkürztere Produkte und Relationen in unitären Gruppen, Math. 1., 104 (1968), 1— 15.

Джекобсон (Jacobson N.)

1. Pseudo-linear transformations, Ann. of Math., 38 (1937), 484— 507.

2.Normal semi-linear transformations, Amer. J. Math., 61 (1939), 45—58.

3.Theory of rings, Math. Surveys, n°2, New York, 1943. [Русский

J.reine angew. Math., 229 (1968), 57—80.

3.The automorphisms of unitary groups over a field of characte­ ristic 2, Amer. J. Math., 93 (1971), 367—384.

2.Compléments â trois articles antcrieurs, Bull. Soc. Math. Fran­ ce, 74 (1946), 59—68.

3.Sur la réduction canonique des couples de matrices, Bull. Soc.

10. Orthogonal and unitary groups over the rational field, Amer.

J.Math., 73 (1951), 940—948.

11.Sur les groupes orthogonaux rationnels â trois et quatre vari­ ables, C. r. Âcad. Sei. (Paris), 233 (1951), 541—543.

72(1952), 367-385.

14.Les extensions quadratiques des corps non commutatiFs et leurs applications, Acta Math., 87 (1952), 175—242.

15.A problem of Hurwitz and Newman, Duke Math. J., 20 (1953), 381—390.

20.Pseudodiscriminant and Dickson invariant, Pacif. J. Math., 5 (1955), 907—910.

21.Sur les multiplicateurs des similitudes, Rend. Circ. Math. Pa­

lermo (2), 3 (1954), 398—408.

22. Sur la representation paramétrique de Cayley, Arch. d. Math., 9 (1958), 39—41.

Жордан (Jordan C.)

1.Trailé des substitutions et des equations algébriques, Paris: Gauthier-Villars, 1870.

2. Sur les groupes linéaires (mod. p) â invariant quadratique,

J.de Math. (7), 2 (1916), 253—280.

3.Mémoire sur les formes bilinéaires, J. de Math. (2), 19 (1874), 35—54 ( = Oeuvres, vol. Ill, Paris, Gauthier — Villars, 1962).

Ивасава (Iwasawa K.)

Каплаиский (Kaplansky I.)

1.Forms in infinite-dimensional spaces, Anais Acad. Bras. Ci., 22 (1950), 1 -17 .

2.Orthogonal similarity in infivite-dimensional spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 16—25.

3.Quadratic forms, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 200—207 (cf. Math. Rev., 15 (1954), 500).