книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

150 Гл. ІѴ. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

автоморфизм ф переводит сдвиги в сдвиги и тем самым определяет биективное преобразование проективной пря­ мой Р 1 (К) на себя. Можно предполагать, что это преоб­

разование оставляет на месте точку (которую можно счи­ тать «бесконечно удаленной») и, значит, индуцирует биективное преобразование t —*ta тела К. А'іожно, далее, добиться того, чтобы 0° = 0, 1а = 1. Используя тот факт, что если s и t — сдвиги, то sts~[ — также сдвиг, легко до­ казать соотношения (х + у )0 — ха -f- у° и (хух) а — хауаха (Шрейер и Ван-дер-Варден [1], стр. 317—318). Из тео­ ремы Хуа [7] следует тогда, что отображение t —*tü обя­ зательно является автоморфизмом или антиавтоморфиз­ мом тела К, откуда уже легко выводится, что ф задается формулой (1) или (2).

Тот же метод был применен Шрейером и Ван-дер- Варденом для коммутативного тела К характеристики ф 2. Однако их рассуждение содержит ошибку в доказа­ тельстве того, что автоморфизм ф преобразует сдвиги в сдвиги. Этот факт был доказан Хуа [5], стр. 756, который заметил, что сдвиги можно охарактеризовать следующим образом. Если характеристика поля К равна р ф 0, то сдвиги t характеризуются свойством Гр — 1. Если харак­ теристика поля К равна 0, то сдвиги являются единствен­ ными преобразованиями / е SL2{K), для которых суще­ ствует бесконечно много преобразований из SL2(K), со­ пряженных с і и коммутирующих с t. Представление ав­ томорфизма ф формулой (1) или (2) сохраняется и в этом случае.

Наконец, опираясь на этот последний результат, Хуа [9] смог доказать, что для произвольного (не обязательно коммутативного) тела К любой автоморфизм группы GL2{K) задается одной из формул (1) и (2). Таким об­ разом, проблема определения всех автоморфизмов груп­ пы GLn{K.) полностью решена.

Замечания. 1) Автоморфизмы группы ГЬп(К) коллинеаций пространства Е при п ^ 3 также задаются фор­ мулами (1) и (2), причем %в этом случае есть отображе­ ние группы ГЬп (К) в группу Z„, удовлетворяющее усло­

вию %{щи^ = X(wi)X(іі2)СТі, где оі — автоморфизм тела К, соответствующий коллинеации щ (Риккарт [3]). В самом деле, достаточно показать, что при любом автоморфизме

ложим вначале, что характеристика тела К отлична от 2. Используя описание инволюций в группе ГЬп(К), данное в § 3 гл. 1, легко убедиться, что для всякой инволюции и <= П п { К ) , не принадлежащей группе GLn (K), суще­ ствует система из 2” попарно коммутирующих инволю­ ций, сопряженных к и в Г І П{К) (Дьёдонне [7], стр. 9). Этого достаточно для отличения этих инволюций от экс­ тремальных. В случае когда характеристика тела К рав­ на 2, достаточно заметить, что если щ, и2— коммутирую­ щие сопряженные инволюции в группе ГЬП(К), не при­ надлежащие группе GLn(/С), то их произведение принад­ лежит группе GLn(K) и, значит, не может быть сопря­ жено инволюции Ui, в противоположность тому, что бы­ вает, когда ии и2— сдвиги (Дьёдонне [7], стр. 17). Это последнее рассуждение применимо также при п — 2 и дает описание автоморфизмов группы ГЬ2(К) для тела

Кхарактеристики 2.

2)Риккарт [1], [3] распространил эти методы на за­ дачу определения автоморфизмов группы GL(E) линей­ ных преобразований бесконечномерного векторного про­ странства Е над телом К характеристики Ф2. Впрочем, метод «минимальных пар» был изобретен Макки [1] имен­

но при решении подобной задачи (в случае когда К — поле действительных или комплексных чисел).

Укажем также на другое обобщение, принадлежащее Эрлиху [1], при котором группа GLn(K) заменяется груп­ пой обратимых элементов «регулярного» кольца, ассо­ циированного с «непрерывной геометрией» фон Неймана.

§ 2. Автоморфизмы групп SLn (К)

Очевидно, что автоморфизм ср группы GLn(K), зада­ ваемый формулой (1) или (2), индуцирует автоморфизм группы SLn(K), если только ограничение гомоморфизма X на SLn(K) является гомоморфизмом этой группы в ее

нием, быть может, этих двух случаев. Однако центр груп­ пы SL2(F2) равен единице, а центр группы SLZ(F3)

152 Гл ГѴ. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

состоит из двух элементов, в то зремя как ее коммутант является подгруппой индекса 3. Это показывает, что X == 1 во всех случаях.

Мы покажем теперь, что всякий автоморфизм группы SLn(K) индуцируется автоморфизмом группы GLn(K),

за исключением одного случая, для которого вопрос остается открытым.

Прежде всего, если характеристика тела К отлична от 2 и п нечетно, то группа SLn(K) содержит ( I, п. — ^-ин­ волюции, и рассуждения § 1 применимы при п ^ 3. Эти рассуждения применимы также, если К — некоммутатив­ ное тело характеристики ^ 2 и — 1 содержится в ком­ мутанте группы К* (например, это справедливо для тела кватернионов), поскольку в этом случае любая инволю­ ция из GLn(K) содержится в SLn{K). Наконец, если ха­ рактеристика тела К равна 2, то сдвиги принадлежат группе SLn(K), однако метод, описанный в § 1, исполь­

образует сдвиги в сдвиги, переносится без изменений на автоморфизмы группы SLn(K), кроме случая п = 4. В этом последнем случае нужно использовать другой ме­ тод доказательства этого утверждения. Метод, указан­ ный в работе Дьёдонне [7], стр. 19, содержит ошибку, ис­ правленную Хуа и Ванем [1]. Учитывая все эти резуль­ таты, получаем, что для тела К характеристики 2 авто­ морфизм группы SLn(K) индуцируется автоморфизмом группы GLn(K) при любом п ^ 2.

Остается рассмотреть случай, когда п четно, характе­ ристика тела К не равна 2 и — 1 не принадлежит комму­ танту С группы К*. В этом случае экстремальные инво­ люции не принадлежат группе SLn{K). При п ^ 6 ме­ тоды, аналогичные методам § 1, могут быть применены к (2,п — 2)-инволюциям (которые всегда принадлежат группе SLn (К)), и это позволяет доказать, что и в этом случае всякий автоморфизм группы SLn(K) индуцирует­ ся автоморфизмом группы GLn(K) (Дьёдонне [7], стр. 20—21). Тот же результат получен Хуа [9] для п — 4 совершенно другим методом: вначале он изучает авто­

морфизмы группы SLn (К), образованной линейными преобразованиями, определитель которых равен единице или образу — 1 в группе К*/С, и показывает, что эти авто­ морфизмы индуцируются автоморфизмами группы GLn(K)\ затем, опираясь на этот результат, с помощью довольно сложного рассуждения он определяет в рассма­ триваемом случае все автоморфизмы группы SL4(/C).

Что касается группы SL2(K), то она не содержит ин­ волюций, отличных от единицы1). Для определения ее автоморфизмов достаточно было бы охарактеризовать сдвиги свойствами, зависящими только от структуры группы. В конце § 1 мы видели, что это возможно, если

разом, проблема остается открытой только в том случае, когда К — некоммутативное тело характеристики 0 и — 1 не принадлежит коммутанту группы К*.

§ 3 . Автоморфизмы г р у п п Sp2m(K)

Снмплектическая группа Sp2(IС) тождественна унимо­ дулярной группе SL2(K) ( г л . II, § 4). Поскольку тело К

коммутативно, ее автоморфизмы известны, согласно § 2 2). Таким образом, можно ограничиться размерно­ стями 2m ^ 4. При этом справедливо следующее утверж­ дение:

Всякий автоморфизм ср симплектической группы Sp2m(K) может быть представлен в виде ц>{и) = gug~l, где g е rSp2m(K) (гл. I, § 9), за исключением случая, когда m = 2 и характеристика поля К равна 2 3) .

154 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

Способы доказательства зависят от того, равна или не равна 2 характеристика поля К.

I. Характеристика поля К не равна 2. Первый способ доказательства использует инволюции в группе Sp2m(K).

чаются тем, что максимальная система попарно коммути­ рующих инволюций такого типа (которые всегда сопря­

жены) содержит (р") элементов. Другой способ отличить экстремальные инволюции состоит в рассмотрении числа

ѵ(и) — 8 в противном случае (Риккарт [2]). (При 2 т = 4 и 2 т = б все инволюции экстремальны.)

Затем вводится понятие минимальной пары экстре­ мальных инволюций. При 2 т ^ 6 это пары (и,ѵ), обра­ зованные экстремальными инволюциями, двумерные соб­ ственные подпространства которых имеют одномерное пересечение. Доказывается, что критерий Макки (для минимальных пар в группе GLn (К) ) и в этом случае ха­ рактеризует минимальные пары, и, следовательно, вся­ кий автоморфизм группы Sp2m(K) переводит минималь­ ные пары в минимальные пары (Дьёдонне [7], стр. 26;

Риккарт [2], стр. 710). При 2 т = 4 минимальной парой

называется такая пара (и,ѵ) некоммутирующих инволю­ ций, что одно из собственных подпространств инволюции и имеет одномерное пересечение с одним из собственных подпространств инволюции ѵ. Характеризация минималь­ ных пар в этом случае состоит в том, что централизатор пары инволюций (и, ѵ) разрешим тогда и только тогда, когда эта пара минимальна (в случае К = F3 минималь­ ная пара отличается порядком централизатора).

Используя полученную характеризацию минимальных

пространства Р(Е), которое переводит любые две орто­ гональные прямые пространства Е в ортогональные пря­ мые и, следовательно, любые точки пространства Р{Е), лежащие в одной гиперплоскости, — в точки, лежащие в одной гиперплоскости. Применение основной теоремы проективной геометрии (гл. Ill, § 1) немедленно приво­ дит тогда к окончательному результату.

Хуа [5] получил этот же результат совершенно другим методом — индукцией по m с использованием описания автоморфизмов группы SL2{K), полученным в § 2. По­ скольку всякий автоморфизм ср группы Sp2m(K) перево­ дит экстремальные инволюции в экстремальные, доказа­ тельство можно свести к случаю, когда ср оставляет на месте одну экстремальную инволюцию и, следовательно, ее централизатор Г, который является прямым произве­ дением группы Sp2(K) = SL2(K) и группы Sp2m-i (К).

Далее доказательство сводится к случаю, когда ср оста­ вляет на месте все элементы группы Sp2m- 2(K) ■Оконча­ тельный результат получается с помощью исследования действия ср на некоторые подгруппы группы Г.

II. Характеристика поля К равна 2. В этом случае нужно выделить с помощью групповых свойств сдвиги среди всех инволюций в группе Sp2m(K). При 3 это достигается изучением централизатора инволюции в группе Sp2m(K) (гл. I, § 14) и доказательством (индук­ цией по /п) того, что группа Sp2m{K) не может быть изо­ морфна группе Sp2q(K) при q < n . Заканчивается дока­ зательство так же, как и в § I.

Если К — совершенное поле характеристики 2, то тео­ рема, вообще говоря, перестает быть справедливой при m = 2. Предположим, что существует такой автомор­ физм а поля К, что а2 совпадает с автоморфизмом х —*х2. Тогда можно показать (Тите [4]), что существуют авто­ морфизмы группы SptiK), переводящие сдвиги в (2,2)-инволюции. (Доказательство несуществования таких автоморфизмов, данное Дьёдонне [7], стр. 37—38, оши­ бочно.) В частности, поле К, состоящее из 2п элементов, обладает автоморфизмом о с указанным выше свойством тогда и только тогда, когда п нечетно. В этом случае можно доказать, что упомянутые выше особые

156 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

автоморфизмы вместе с автоморфизмами, описанными в начале этого параграфа, порождают группу всех авто­ морфизмов группы Spt(K) (Стейнберг [1]). Для других полей характеристики 2 полное описание автоморфизмов группы Sp4(/<), по всей видимости, получено только в случае, когда поле К алгебраически замкнуто (Стейнберг

[1]), стр. 614).

Учитывая, что симметрическая группа 06 изоморфна группе Sp4(F2), мы получаем известный факт, что груп­

= %(u)gug~\ где g <= Гип(К, f), а %— гомоморфизм груп­ пы Un(К, f) в ее центр.

Первый этап доказательства, как и в предыдущих параграфах, состоит в характеризации экстремальных инволюций группы Ѵп{К, f). Экстремальными инволюция­ ми в данном случае называются отражения относитель­ но неизотропных гиперплоскостей пространства Е. При п = 3 всякая инволюция экстремальна. При п ^ 4 ха­ рактеризация экстремальных инволюций получается ме­

разом, всякий автоморфизм ср группы Un(K,f) преобра­ зует отражения в отражения и тем самым определяет биективное преобразование ф множества непзотропных прямых пространства Е, которое переводит любые две ортогональные прямые в ортогональные прямые. Если индекс формы f равен 0, то можно применить к ф основ­ ную теорему проективной геометрии (гл. Ill, § 1) и по­ лучить отсюда окончательный результат так же, как в предыдущих параграфах (Риккарт [2]).

ким образом, чтобы любые две ортогональные прямые пространства Е по-прежнему переходили в ортогональ­ ные прямые. С этой целью заметим прежде всего, что множество неизотропиых прямых, принадлежащих од­ ной неизотропной плоскости Р, может быть охаракте­ ризовано как множество неизотропных прямых, ортого­ нальных к некоторой системе из л — 2 попарно ортого­ нальных неизотропных прямых пространства Е, и, следо­ вательно, переводится преобразованием ср в множество неизотропных прямых некоторой неизотропной плос­ кости, которую мы обозначим через ф(Я). Аналогичным

тропная прямая. Докажем, что если плоскость Р пробе­ гает множество 1(A) неизотропных плоскостей, содер­ жащих А, то плоскости ф(Р) содержат некоторую изо­ тропную прямую ф(Д). Это вытекает из следующего

При доказательстве этого предложения можно считать,

лее двух отличных от 0 значений в теле К. Рассуждение, аналогичное тому, которое проведено в работе Дьёдонне [13], стр. 374, показывает, что это последнее свойство всегда имеет место, если тело К бесконечно (если К не

коммутативно, то следует рассмотреть централизатор элемента а ) , а также если К конечно и подтело Ко сим­

метричных элементов содержит более 5 элементов. Слу­

15S Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп

■ф(Д). После того как существование этой прямой дока­ зано, окончательный результат, как и выше, получается применением основной теоремы проективной геометрии.

Пусть, наконец, д = 3. Если J Ф I, то геометриче­ ское рассуждение позволяет продолжить преобразова­ ние ф на всю плоскость Р(Е), если только К содержит более 25 элементов (Дьёдонне [7], стр. 77—78). Анало­ гичное рассуждение применимо и к ортогональным группам, если К содержит достаточно много элементов; однако проще воспользоваться тем, что группа 0 3 ( К , f)

изоморфна группе PGL2(K), и применить результаты § 6. Относительно автоморфизмов оставшихся групп

U3(F9) и U3(F23) см. § 7.

Автоморфизмы унитарных и ортогональных групп над бесконечным телом характеристики 2 не определены.

§ 5 . А в т о м о р ф и з м ы г р у п п Ut (К, f)

(К — поле характеристики Ф2.)

Если п нечетно, то инволюции типа (1, п — 1) принад­

лежат группе Ut ( К , f), и рассуждения § 4 применимы

без всяких изменений. Напротив, если п четно, то экс­

функцию ѵ(и), не отличает, вообще говоря, эти инволю­ ции от других, поскольку могут существовать инволю­ ции других типов, для которых ѵ ( ы)= 8. В общем слу­ чае не известно никакого критерия, отличающего эти инволюции от других. Однако, если индекс формы / по­ ложителен, можно охарактеризовать инволюции типа (2,п — 2) или (п — 2,2), у которых (д — 2)-мерное соб­ ственное подпространство содержит изотропные векто­

волюцию одного из этих типов (там же, стр. 53—54).

er U~. В первом случае говорят, что инволюции и и ѵ иррегулярно перестановочны, во втором — что они регу­ лярно перестановочны. Для различения этих двух сортов перестановочности при п > 6 заметим, что иѵ принадле­ жит S тогда и только тогда, когда и и и иррегулярно перестановочны; при п = 6 необходимо другое рассуж­ дение (Дьёдонне [7], стр. 54 и 80). Назовем теперь ми­ нимальной парой элементов множества 5 пару инволю­ ций, 2-мерные собственные подпространства которых имеют одномерное пересечение. Для любых двух инво­ люций и, V из 5 обозначим через с'(и, и) множество ин­ волюций из 5, регулярно перестановочных с и и ѵ, и че­ рез с'(с'(и,ѵ))— множество инволюций из 5, регулярно перестановочных со всеми инволюциями из с'(и,ѵ). При таких изменениях критерий Макки (§ 1) будет характе­ ризовать минимальные пары.

Далее, исходя из автоморфизма ср группы Ut (К, /), так же, как и для группы Sp2m{K) в § 3, определяется биективное преобразование пространства Р(Е), и легко показывается, что оно переводит любые две ортогональ­ ные прямые пространства Е в ортогональные прямые. Как и в предыдущих параграфах, отсюда получается окончательный результат:

При четном п ^ 6 всякий автоморфизм группы U t (К, f), где К — поле характеристики Ф2, а J— эрми­ това (или симметричная) форма индекса ^ 1 , индуци­ руется автоморфизмом группы Un(K,f).

§ 2, если воспользоваться тем, что эта группа изомор­ фна группе S L 2 ( K o), где Ко — поле инвариантов