книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

130 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

Мы ограничимся тем, что наметим в общих чертах доказательство этой теоремы.

a) В Gr(E) рассматриваются максимальные подмно­ жества, состоящие из попарно соседних многообразий. Доказывается, что всякое такое множество состоит либо из всех /'-мерных линейных многообразий, содержащих некоторое (г — 1)-мерное линейное многообразие (мно­ жество первого типа), либо из всех /'-мерных линейных многообразий, содержащихся в некотором (г + ^-мер­ ном линейном многообразии (множество второго типа).

b) Образ при отображении ф максимального множе­ ства первого типа есть максимальное множество в Gr(E'), которое априори может быть первого или вто­ рого типа. Но если для какого-нибудь одного макси­ мального множества ЭЛ первого типа ф(9Л) есть множе­

ство первого типа, то образ при отображении ф любого другого максимального множества ЭЛі первого типа есть также множество первого типа. Доказательство этого утверждения сводится к случаю, когда ЭЛ и ЭЛі соответ­

ствуют соседним ( г — 1)-мерным линейным многообра­ зиям. В этом случае достаточно заметить, что пересече­ ние ЭЛ П 9Лі содержит только один элемент, в то время

как пересечение максимального множества первого типа и максимального множества второго типа, если оно не пусто, содержит не менее двух элементов.

c)Ввиду описания максимальных множеств, данного

вп. а), из п. Ь) получаем биективное отображение фі

ных) линейных многообразия являются соседними тог­ да и только тогда, когда соответствующие им макси­ мальные множества имеют общий элемент, то отображе­ ния ф, и ф]-1 преобразуют соседние многообразия в со­

ных линейных многообразий не превосходит г, в то время как два (г + 1)-мерных линейных многообразия могут иметь отклонение г + 1 . Аналогично, если

132 Гл. III. Геометрическая характеризация классических_ групп

тивное преобразование cp мнозісества Nr(E), обладающее тем свойством, что ср и ср-1 преобразуют любые два сосед­ них многообразия в соседние, имеет вид йт, где и — не­ которое полуподобие.

Свойства вполне изотропных подпространств (гл. I, §11) позволяют, прежде всего, доказать следующие две леммы.

a) Пусть Ѵі, Ѵ2— два вполне изотропных многообра­

зия одинаковой размерности s <1 г. Тогда существуют два вполне изотропных многообразия U?i, W2 макси­ мальной размерности г, такие, что VtciW7,, Ѵ2а W2 и

W, П W 2 = 1/, fl Ѵъ

b) Пусть Ѵі, Уг — Два вполне изотропных многообра­ зия одинаковой размерности s ^ г, и пусть s — і — раз­

мерность их пересечения. Тогда существует такая конеч­ ная последовательность (Wk)l<k<t+i вполне изотропных многообразий размерности s, что Wi = 1Л, Wt+l = Ѵ2 и

многообразия IT's, 1Т’А+( являются соседними при 1 г£С

<k ^ t.

Далее, как и в § 2 , рассматриваются максимальные

множества попарно соседних г-мерных вполне изотроп­ ных многообразий. Последовательно проверяются сле­ дующие свойства:

c) Всякое максимальное множество есть множество всех вполне изотропных многообразий, содержащих не­ которое вполне изотропное многообразие размерности

Г — 1 .

с1).Так как преобразование ср, а также <р-1 переводит всякое максимальное множество в максимальное мно­ жество, то, ввиду с),' возникает биективное преобразо­ вание фі множества ЛД-1 (£) вполне изотропных многооб­

разий размерности г — 1. Используя а), можно показать, что ф, и ф,~1 переводят любые два соседних многообра­

зия в соседние и что (г — 1)-мерные вполне изотроп­ ные многообразия, содержащиеся в г-мерном вполне изотропном многообразии V, при преобразовании фі переходят в (г — 1)-мерные, вполне изотропные много­ образия, содержащиеся в ф(У).

биективное преобразование g — ср7 множества Мо(Е)

изотропных точек пространства Р(Е). Это преобразова­

г ^ 2 позволяет тогда применить основную теорему проективной геометрии (§1) . Это дает следующее свой­ ство преобразования g: если V = P(W) есть г-мерное вполне изотропное многообразие и ср(К) = P(W'), то ограничение g на V имеет вид âw, где uw — биективное

полулинейное отображение пространства W на простран­ ство W. Кроме того, для всех V е NT{E) автоморфизм тела К, соответствующий отображению uw, один и тот же с точностью до внутреннего автоморфизма и, следо­

них многообразий ІЛ, Кг, а затем применяется Ь). Если п четно и форма f знакопеременная, то No{E) =

= Р{Е) и g есть тогда биективное преобразование пространства Р(Е), преобразующее любые две ортого­

разована точками, ортогональными к одной из ее точек, то преобразование g переводит гиперплоскости в гипер­ плоскости. Основная теорема проективной геометрии показывает тогда, что g = Гі, где и — полулинейное пре­ образование пространства Е. Выбрав в Е симплектический базис и записав условие того, что и преобразует ортогональные векторы в ортогональные, легко пока­

нейное многообразие, которое ими порождается. Можно показать, что существует такое биективное полулиней­ ное отображение ѵо пространства 1К0.на (2т -f 2) -мерное

134 Гл. Ul. Геометрическая характеризация классических групп

зуется тот факт, что изотропная, но не вполне изотроп­ ная прямая характеризуется тем, что она содержит только одну изотропную точку и, следовательно, перехо­ дит при преобразовании й в прямую того же типа.

же размерности, что и Е, и /' — эрмитова или косоэрми­ това невырожденная полуторалинейная форма на Е'У^Е', имеющая тот же индекс г + 1, что и /. Вместо сохраняющих соседство биективных отображений мно­

странств Е, Е' изоморфны и что ф = йт, где и — такое биективное полулинейное отображение пространства Е

2) Предыдущие рассуждения легко распространяют­ ся на случай, когда характеристика тела К равна 2, а в пространстве Е задана недефектная квадратичная фор­ ма Q индекса г + 1 ^ 1 . Будем называть особыми про­

Тогда теорема, сформулированная в начале этого па­ раграфа, остается справедливой, а ее доказательство — неизменным, с точностью до того, что нужно повсюду

жащие одному из них, никогда не являются соседними,

этой главы). Всякое преобразование ср, переставляющее произвольным образом элементы множества Nt , с од­

ной стороны, и элементы множества N7 — с другой, удовлетворяет условию теоремы. Неизвестно, справед­ лива ли теорема в других случаях, когда г = 1.

4) Из результатов Чоу вытекают как частные случаи многочисленные теоремы, доказанные ранее Хуа [1], [2], [4], [6] и выраженные на языке теории матриц. Рассмот­ рим, например, случай, когда пространство Е имеет чет­ ную размерность 2т, а форма f знакопеременна (и, зна­ чит, тело К коммутативно).- Пусть (ег)1<г<2т— симп-

лектический базис пространства Е относительно формы /. Используя обозначения Хуа, сопоставим каждому век­ тору пространства Е строку из его 2т координат в ба­ зисе (ер). Для т векторов Zi, . . . , zm матрицу, составлен­

136 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

странство W, порожденное векторами Zu имело размер­ ность пг, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы (X, К) равнялся /п. Пару (X, Y) квадратных матриц по­ рядка пг, удовлетворяющую этим условиям, Хуа назы­ вает симметричной парой. Это название объясняется тем, что если, например, матрица У обратима, то усло­

чтобы существовала такая обратимая квадратная мат­

образом, отождествлено с множеством классов симмет­ ричных пар относительно указанного выше отношения эквивалентности или с множеством симметричных мат­ риц порядка пг, пополненным «бесконечно удаленными» элементами (соответствующими симметричным парам, в которых матрица У необратима). Далее, показывает­

метричных матриц). В этих терминах легко интерпрети­ ровать теорему Чоу. Интересно отметить, что преобразо­

где а е /(, а квадратные матрицы А, В, С, D удовлетво­ ряют условиям

А - ‘В = В - ‘А, С •'£> = £>-'C, A ' D — B ■ІС = І.

§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство»

II. Преобразования пространств изотропных многообразий (продолжение)

В обозначениях § 3 предположим, что К — поле ха­

значению (л — 2)/2. В § 6 гл. II было указано, что мно­ жество Nr(E) распадается тогда на два класса тран­

тогда и только тогда, когда dim(Kt П Ѵ2) = г — 2k (k целое). В этом случае будем говорить, что многооб­

нейных многообразий в N t (Е). Последовательно уста­ навливаются следующие свойства:

а) Всякое максимальное множество образовано либо многообразиями из Nt (Е), имеющими ( г — 1)-мерное

пересечение с некоторым многообразием из N7 {Е) (множество первого типа), либо многообразиями из

Nt (Е), содержащими некоторое (г — 3)-мерное вполне изотропное многообразие (множество второго типа).

138 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп

b) Максимальное множество первого типа при пре­ образовании ер переходит в максимальное множество, которое априори может быть либо первого, либо вто­ рого типа. Однако если для какого-нибудь одного мак­ симального множества Ші первого типа ф(9Л) есть мно­

жество первого типа, то это верно и для любого дру­ гого максимального множества первого типа.

c) Если г ^ 4, то образ максимального множества первого типа не может быть множеством второго типа. Отсюда выводится, что преобразование ф может быть

продолжено до преобразования всего множества Nr(E), удовлетворяющего условиям теоремы § 3. Применение этой теоремы завершает доказательство.

Следующие соображения позволяют описать полуподобия и, для которых йг сохраняет множество Nt (Е). Легко видеть, что если V е N t (Е), то существует полуподобие V с тем же множителем и автоморфизмом, что и и, относительного которого V инвариантно. Тогда ѵ~1и есть ортогональное преобразование, переводящее V в

другое многообразие из N t (Е) и, значит, являющееся

вращением.

Замечания. 1) Предыдущий результат можно распро­ странить на случай, когда рассматриваются два различ­

иая квадратичная форма максимального индекса на Е,

вращений Ot (К, Q) (гл. II, § 10). Предыдущие резуль­ таты переносятся без изменений на преобразования мно­

Случай г — 3 также исключительный. В этом случае из теории «тройственности» (Шевалле [1], гл. IV) вытекает

точки. При помощи этого отображения определяется би­ ективное преобразование фо множества N3 (Е), перево­

дящее всякое максимальное множество первого типа в максимальное множество второго типа. Отсюда немед­ ленно вытекает, что всякое преобразование ф, удовлет­ воряющее условиям теоремы, есть либо преобразование вида «г, либо преобразование вида ф0«г.

4) Переводя теорему этого параграфа на язык мат­ риц, получаем на этот раз теорему о множестве косо­ симметричных матриц, пополненном подходящим обра­ зом бесконечно удаленными элементами.

5) Если К — поле характеристики ф2, то грассманианы Gr(E), пространства Nt (Е) при п — 2г + 2 в

случае симметричной формы f и пространства Nr(E) во всех остальных случаях являются неособыми неприво­ димыми алгебраическими многообразиями, которые мо­ гут быть погружены в проективное пространство S. Чоу

[1] доказал, что все бирегулярные бирациональные пре­ образования этих многообразий индуцируются преобра­

зованиями из GL(E), за исключением Nt (Е). Идея до­ казательства состоит в том, чтобы перевести понятия «соседства», введенные в § 2—4, на язык геометрии пространства S. А именно, две точки из Gr(E) или Nr{E) будут соседними тогда и только тогда, когда пря­ мая, соединяющая их в пространстве S, целиком лежит в Gr(E) (соответственно в Nr(E))\ две точки из N' (Е) будут соседними тогда и только тогда, когда они лежат на плоской кривой 2-го порядка, содержащейся в Nt (Е). После этого все сводится к доказательству

того, что всякое бирегулярное бирациональное преобра­ зование рассматриваемого многообразия переводит прямую в прямую (соответственно плоскую кривую 2-го порядка — в плоскую кривую 2-го порядка). По­ следнее проводится при помощи изучения полных ли­ нейных систем без базисной точки на этих многообра­ зиях и, в частности, системы, порожденной гиперплос­ кими сечениями.

В случае когда К — поле комплексных чисел, можно вместо бирегулярных бирациональных преобразований