книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

буквой ѵ3 продолжение о3 до преобразования простран­ ства /(”, видим, что преобразование и — o3t/2t>i удовле­ творяет требованиям леммы 6.

Рассмотрим теперь подпространство Р°, ортогональ­ ное к Р, и пусть Pt (1 ^ I sg m)— нормирования (архи­ медовы или неархимедовы), для которых ограничение формы fp на Р° <8 > ка ни з о т ро п но (таких нормирова­ ний имеется конечное число, поскольку d im P ° ^ 3 ). Так как п ^ 5, то группы РЙ„(/(^, )>.), как известно, просты.

Если w — элемент из N, не содержащийся в центре груп­ пы Оп, то при каждом і имеем

и = S/iaysn'/naT'^T1 ••• sikwsTktikW~ltTk,

где Sa и tu лежат в Q,, (Др., fp;). Применяя к вц и t\j лем­

му 2), можно сделать вывод о существовании элемента u<=N, сколь угодно близкого к V в каждой из групп On [/(іу, />,)• Теперь можно применить следующую лемму непрерывности-.

7) Пусть L — не дискретное полное нормированное

поле характеристики ф 2 и g(x, х ) = 2 atih%i — невы- і.і

рожденная квадратичная форма в пространстве Ьп. То­

ме g(x,x).

Этот результат легко получается из возможности из­ влечь квадратный корень в L из всякого элемента, доста­ точно близкого к 1.

Пусть теперь g(x,x) — квадратичная форма в про­ странстве К3, определяемая для векторов канонического

вается, что если взять преобразование и достаточно близ­ ким к о в каждой из групп йп{К\к, />.), то форма g^.npu

любом і будет эквивалентна ограничению формы fp( на

ный индекс и, значит, существует такой вектор d$ е е Р° <S>/< -АГр, что /> (df, d$) — g$(d', d'). Согласно принципу перехода от локального к глобальному, существует такой вектор d е Р°, что f (d, d) = g(d', d'). В силу определения формы g отсюда немедленно следует, что существует вектор с, удовлетворяющий требованиям леммы 5. Этим завершается доказательство теоремы С).

Таким образом, для поля алгебраических чисел К остается только выяснить структуру группы 0 3(K,f) при V = 0 (поскольку структура группы Oi(K,f) будет тогда ясна ввиду результатов § 9). На этот счет имеются ре­ зультаты только для случая, когда К есть поле Q рацио­ нальных чисел или, более общо, поле, имеющее только одно вещественное нормирование. А именно, тогда можно доказать, используя структуру ортогональной группы от

тельность нормальных делителей Gk, что группы Gk/Gk+i абелевы и пересечение всех Gh есть единица (Дьёдонне

[П]).

Укажем, что Кнезер [1] получил аналогичные резуль­ таты для унитарных групп над полями алгебраических чисел.

§ 13. Группы подобий GUn(K,f)

Мы ограничимся случаем, когда тело К коммутатив­ но. Пусть Л и г — определитель и множитель подобия « е GUn{K,f). Из соотношения (23) § 9 гл. I получаем

ДAJ= rn.

Если п — 2т + 1 нечетно, то, полагая Д = rmp, из предыдущего соотношения находим, что г — рр/ и,

элемента в виде произведения векторов пространства Е и что определенное таким образом преобразование й ал­ гебры C+(f) является ее автоморфизмом. Для того что­ бы и было прямым подобием (в случае, когда п = 2т), необходимо и достаточно, чтобы й было тождественно на элементах центра Т алгебры C+(f). В этом случае й

до множителя из Т. Кроме того, susJ содержится в Г, и

даже в К, если пг нечетно. Более детальное изучение подобий с этой точки зрения см. в работе Воненбурге-

ра [2].

Глава III

геометрическая характеризация

КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

§ 1. Основная теорема проективной геометрии

Пусть Е, Е' — правые векторные пространства одина­ ковой размерности п над телами /(, К' соответственно. Если К и К' изоморфны, то всякое биективное полу­ линейное отображение и пространства Е на простран­ ство Е' определяет посредством факторизации биектив­ ное отображение й проективного пространства Р(Е) на проективное пространство Р(Е'), преобразующее каж­ дое проективное линейное многообразие в проективное линейное многообразие той же размерности. «Основная теорема проективной геометрии» является обращением этого утверждения. Более точно, ее формулировка та­ кова:

1) Пусть ф — биективное отобраокение пространства Р(Е) на пространство Р{Е'), преобразующие любые три коллинеарные точки пространства Р(Е) в три коллинеарные точки пространства Р(Е'). Тогда, если п ^ 3, тела К и К' изоморфны и ф = г7, где и — биективное полулинейное отображение пространства Е на простран­ ство Е'.

Заметим вначале, что из предположения, сделанного относительно ф, следует, что для всякого проективного

проективным линейным многообразием. В самом деле,

== Р[Е') содержится в проективном динейном многооО-

разии, порожденном п точками <р(щК) (1 ^ і ^ п), эти точки проективно независимы. Тем более проективно не­ зависимы р + 1 точек ер (а.іК), 1 ^ і ^ р -+- 1. Если бы множество ф( I/) было отлично от V', то нашлась бы та­ кая точка аК пространства Р(Е), не принадлежащая

Рис. 1.

многообразию У, что q ( a K ) ^ Ѵ\ и тогда (p -f-1 )-мер­ ное многообразие Ѵі, порожденное V и аК, при отобра­ жении ф переходило бы в множество, лежащее в р-мер­

пространством L — etK + е2К. Всякой прямой плоскости F, отличной от D, соответствует прямая пространства L, причем любым двум прямым плоскости F, точка пере­ сечения которых принадлежит D, соответствуют парал­ лельные прямые пространства L (т. е. прямые, получаю­ щиеся одна из другой параллельным переносом). Отож­

нейное (относительно изоморфизма о) отображение

полулинейное относительно изоморфизма а отображение пространства Е на пространство Е', определяемое равен­

Р(Е), переводящим прямые в прямые и оставляющим на месте все точки каждой из прямых, соединяющих две точки віК, ejK. Индукцией по р отсюда легко выво­ дится, что это преобразование оставляет на месте все точки р-мерного линейного многообразия, определяемого любыми р -J- 1 точками из числа віК. При р — п — 1 по­ лучаем ф = й.

Имеется следующий вариант основной теоремы:

2)Пусть ф — биективное отображение пространства Р(Е).на пространство Р(Е'), при котором образ любого

мы 1). Доказательство теоремы 2) можно свести к этому

Многообразие V есть пересечение содержащих его р-мерных многообразий. Их образы при отображении ф не могут содержаться в одном и том же р-мерном много­ образии, так как тогда ф{Р(Е)) не совпадало бы с Р{Е'). Пусть Wi и W2— два таких р-мерных многообра­