книги из ГПНТБ / Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп

которая с точностью до множителя эквивалентна форме

Так же исследуется алгебра А2. Таким образом, если обозначить через ІѴі (соответственно N2) группу элемен­ тов алгебры А\ (соответственно А2) с нормой 1, то группа Н4(К, Q) изоморфна прямому произведению N\ X N2.

b) А не представляется в виде f (р). Тогда Т есть се­ парабельное квадратичное расширение поля К, и алгебра C+(Q) является алгеброй кватернионов над Т, имеющей в качестве базиса элементы 1, ще2, е3е4 и еіе2е3е4. Таб­

лица умножения этой алгебры такая же, как у А\, с за­ меной р на 1 + £, а норма с точностью до множителя эк­

вивалентна форме Q(z), рассматриваемой как квадра­

Доказательство Тамагавы для поля характеристики Ф 2 проходит здесь без изменений (если повсюду вместо изотропных векторов рассматривать особые), исключая доказательство леммы 13 § 9 в случае К = F2, когда тре­ буется небольшое специальное рассуждение, использую­ щее предположение п ^ 6 .

Это доказательство позволяет, кроме того, утверж­

дать, что всякий нормальный делитель группы 0,t (К, Q) {n ^ 6 , 1 )содержит ее коммутант Qn(K, Q).

Заметим, наконец, что число элементов группы вра­ щений Ö2m(Fq, Q) = &2m(Fq, Q), ГДв <7= 2 \ рЭВНО

если V = m и

(qm+ 1 ) (q2 f"1-» — 1 ) q2f"1-» . . . (q2— 1 ) q2,

если V = m — 1 (Диксон [1], стр. 206).

§ 11. Группа 0 „ ( K , Q)

{К — поле характеристики 2 , форма Q дефектна.)

Напомним (гл. I, § 16), что дефект d формы Q обла­ дает тем свойством, что п — d = 2р — четное число и что всегда можно рассматривать группу On(K,Q) как под­ группу симплектической группы Sp2p(K), образованную

такими преобразованиями и, что <3(«(л:))-}- Q( x) ^M, где М — подпространство поля К, рассматриваемого как векторное пространство над Д2; при этом можно предпо­ лагать, что М содержит единицу. Поэтому единственный случай, который нуждается в рассмотрении, — это когда

М Ф К , т.е. поле К несовершенно (и, значит, бесконеч­ но). Кроме того, ограничение Qi формы Q на 2р-мерном

On(K,Q), то центр группы Оч (Д, Q) состоит лишь из единицы (§ 1 0 ).

112 Гл. II. Структура классических групп

Вектор а ^ Е і называется полуособым, если Q (a)eM . Преобразования из группы On(K,Q) переводят полуосо­ бые векторы в полуособые. Ортогональный сдвиг (гл. I, § 16) в направлении полуособого вектора называется полуособым. Такой сдвиг х -* х + Xf (х, а) а характери­ зуется условием І е М (автоматически выполняющимся

при X = 1).

1 ) Всякое ортогональное преобразование является

произведением ортогональных сдвигов. Доказательство проводится так же, как в случае недефектных форм, при­ чем предположение о бесконечности К исключает все особые случаи (Дьёдонне [4], стр. 55).

2) При 2р 2 и V ^ 1 группа Qп{К, Q), порожденная полуособыми сдвигами, проста. Доказательство совер­ шенно аналогично доказательству простоты группы Tn (K,f), порожденной унитарными сдвигами (Дьёдонне

[4], стр. 55—58).

3) Группа ün{K,Q) (при 2р ^ 2, ѵ ^ І ) является коммутантом группы On(K,Q). Доказательство, имею­ щееся у Дьёдонне [4], стр. 59—60, не применимо в случае 2/7 = 4, V = 2. Чтобы исследовать и этот случай, доста­

точно (см. там же) доказать, что если Р, Р' — две гипер­ болические плоскости в подпространстве Еі, то сущест­

это утверждение, следуя, с небольшой модификацией, методу, примененному в работе Дьёдонне [13], стр. 380— 382, для унитарной группы. Модификация состоит в сле­ дующем. Пусть (ег )к і< 4 — симплектический базис про­

странства Еи образованный особыми векторами, удовле­

§ 1 2 . У н и т а р н ы е и о р т о г о н а л ь н ы е г р у п п ы ,

с о о т в е т с т в у ю щ и е а н и з о т р о п н ы м ф о р м а м

Большая часть полученных в § 4— 11 результатов о строении ортогональных и унитарных групп перестает быть справедливой, когда рассматриваемые квадратич­ ные или полулинейные формы анизотропны.

Рассмотрим, например, рациональное р-адическое поле Qр. Пусть f — невырожденная симметричная били­ нейная форма индекса 0 от п = 3 или 4 переменных над Qр. Тогда можно найти такой ортогональный базис про­ странства Е, что всякое преобразование из On(Qp, f) за­ писывается в этом базисе матрицей, все элементы кото­ рой— целые р-адические числа (Эйхлер [2], стр. 57).

Пусть Gk — множество преобразований і / е О л, матрица которых имеет вид 1 -\-phV, где V — матрица с целыми р-адическими элементами. Предыдущее замечание пока­ зывает, что Gk — нормальный делитель группы Оп. Легко доказывается, что GiJGk+i — абелева /7-группа, не рав­

ная единице, и что пересечение подгрупп Gh содержит только единичный элемент группы 0„ (Дьёдонне [11]). Сравнение с § 9 показывает, что этот случай в некотором

нальных групп Оп (/(,/) от произвольного числа перемен­ ных, так же как и для ортогональных групп On(K,Q) над полем характеристики 2 и для унитарных групп

Un{K,f) (Дьёдонне [4]). Результаты § 8 о группах 0 £/й „

и Q-г П Zn также перестают быть справедливыми для ани­ зотропных форм. Например, при К = R (поле действи­

тельных чисел) для положительно определенной формы f имеем Q,n — 0 ^", хотя группа R7R*2 состоит из 2 элемен­

тов. Можно привести пример анизотропной симметричной билинейной формы / от 4 переменных над полем Q ра­ циональных чисел, дискриминант которой есть квадрат, но для которой симметрия х- * — х не принадлежит ком­ мутанту Qn (Дьёдонне [9], стр. 93). Можно также приве­ сти пример унитарной группы Un(K,f) от 2 переменных

над полем Q (]/2), д л я которой группа Ut не совпа­

дает со своим коммутантом, в противоположность ре­ зультатам § 5 (Дьёдонне [10], стр. 948).

гда при / г ^ З спинорная норма определяет изоморфизм группы Оп/о'п на подгруппу группы К*/К*2, образован­ ную классами чисел поля К, положительных в каждом из полей Kh.

неархимедовых нормирований q;., для которых форма f

имеет индекс 0. Для каждого } образ пространства K«j

классу уб/ по модулю /<"Ч/. Элементы а и ß = a_Iy

представляются тогда формой fp при любом р и, значит,

формой / в силу принципа перехода от локального

кглобальному. Отсюда следует, что класс у по

ляется тогда в виде произведения двух отражений sa и Sb относительно гиперплоскостей, ортогональных к век­

ищется плоскость Р cz Кп, содержащая такие векторы Ьі,

что f(bi,bi) = f(ai,cii) при любом і. Отражения sö( и sbl

будут тогда сопряжены в группе Оп. Поэтому если обо­ значить через t' произведение отражений sb , то H ''e Q n,

к первому случаю. Таким образом, остается доказать существование плоскости Р. С этой целью строится ква­

^ m), для чего достаточно взять в качестве б норму эле­ мента X расширения L поля К, порожденного квадрат­

принципа перехода от локального к глобальному это достаточно проверить над каждым из полей /<У Для не­ архимедовых нормирований ь это вытекает из предполо­ жения п ^ 5. Небольшое дополнительное рассуждение показывает, что это верно также и для архимедовых нормирований.

Доказательство теоремы С) намного сложнее. Оно со­ стоит из двух частей. Сначала для произвольного нор­ мального делителя N группы fin, не содержащегося в ее центре, доказывается, что

I) N содержит нормальный делитель группы Оп, не содержащийся в ее центре.

Сэтой целью доказывается, прежде всего, что

1)N содержит плоское вращение, отличное or 1. В са­ мом деле, пусть u ^ N — элемент, не лежащий в центре

Пусть х е V, у ортогонален к V и s — вращение плоско­ сти S = Кх -j- Ку, принадлежащее группе fin и такое, что s2^ 1. Тогда ш — s-'uso'1 будет искомым плоским вра­ щением.

Пусть W — плоскость вращения w. Предположим сна­ чала, что для всякого вещественного нормирования р

Отсюда следует, что нормальный делитель группы Оп, порожденный w, удовлетворяет требованиям предложе­ ния I.

Если вращение w не удовлетворяет предыдущему условию, то можно построить другое плоское вращение и е N, которое ему удовлетворяет. Для этого рассмотрим 3-мерное подпространство V, содержащее W. Пусть /г — ограничение формы f на V. Рассмотрим вещественные нормирования р, для которых форма fp имеет положи­ тельный индекс. Легко видеть, что для каждого такого нормирования в пространстве V <8 кКр, существует плос­

кость Up, ортогональное дополнение U°p к которой в про­

странстве Кр содержит изотропные векторы. Пусть Up — вращение плоскости Up, отличное от 1. Из простоты

группы Оз" (R, /гр) = йз(Я, hp) вытекает, что Up разла­ гается в произведение элементов вида sws~4w~lt~l, где s и t принадлежат Пз(Я,hp), поскольку эти произведения образуют нормальный делитель группы Q3(R, hp), не рав­ ный единице. Пусть р, ( 1 < л - < т ) — рассматриваемые вещественные нормирования. Тогда при любом і элемент Up. может быть представлен в виде

Up. = Si\WSTl'tnW~ltTll . . . SikWS~ktikW~'tTk,

с одним и тем оке k (поскольку всегда можно взять не­ сколько из элементов s^, іц равными 1), причем Sij и f,-j

O t (К, f) (соответственно Q„ (/<, f)), которая при каждом і сходится к Ѵі в группе

Эта лемма легко выводится из обычной аппроксима­ ционной теоремы для поля К с помощью представления преобразований щ в виде произведения отражений.

Возвращаясь к доказательству утверждения I, приме­

ш. Легко видеть, что при этом можно добиться того, чтобы элемент и удовлетворял нашим требованиям.

Таким образом, можно предполагать, что N — нор­ мальный делитель в группе Оп. Точнее, нужно доказать следующее утверждение.

II) Всякий нормальный делитель N группы Оп, не со­ держащийся в ее центре, но содержащийся в группе совпадает с Qn.

Говорят, что гиперплоскость Я пространства Кп уни­ версальна, если образы Я и Кп при отображении х —>■

—*f(x,x) одинаковы. В силу принципа перехода от ло­ кального к глобальному это условие при п ^ 5 равно­

3)Группа Qn порождается произведениями отраже­

верждения. Преобразование и является плоским враще­ нием. В его плоскости имеется вектор х, ортогональный к некоторой универсальной гиперплоскости. Это следует из предыдущей характеризации таких векторов и из ап­ проксимационной теоремы для поля К■ Тогда и = sxsz, причем можно считать, что f(x,x) — f(z,z), поскольку спинорная норма и равна 1. Пусть sv ~ отражение, пере­

ставляющее х и z. Тогда и — s~[s sxs~ \ что и требова­

лось доказать.

Таким образом, достаточно доказать, что образующие группы Йп, рассмотренные в лемме 3, принадлежат N. Это вытекает из следующей леммы:

4) Если а и b — два таких вектора пространства Кп, что a=/=±b, f(a,a) = f(b,b), и если гиперплоскость Н отражения, переставляющего а и Ь, универсальна, то су­ ществует такой элемент t е N, что t (a) — b.

Действительно, предположим, что эта лемма дока­ зана. В обозначениях леммы 3 ограничимся случаем,

Лемма 4) будет вытекать из следующей леммы:

5) В предположениях леммы 4 существуют такие эле­ менты u ^ N и с ^ К п, что f(c,c) = f{a,a), f(a,c) = = f (b, с) = f (а, и (а)).

—(ошиН)-1 (vuv-]) удовлетворяет требованиям леммы 4). Доказательство самой леммы 5) разбивается на не­

В силу предположения относительно Н существует

жение относительно Н, можно считать, что щ е Ot - Обо­ значим через g ограничение формы f на Я. Из предполо­ жения об универсальности Я вытекает, что группы спи­ норных норм для f и для g одинаковы. Следовательно, существует такое преобразование v2^ On-i(K,g), что ѵ2ѵ, е О ' ( Я , f) = Qn(K, f) (в силу теоремы В)), если рас­

сматривать ѵ2 как элемент группы On(K,f), считая, что оно тождественно на векторах, ортогональных к Ң,