книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

дим к минимальным дизъюнктивным формам отрицания заданной функции.

3-й шаг. От минимальных ДНФ отрицания заданной функции с помощью правила де Моргана переходим к КНФ, которые и яв­ ляются минимальными КНФ заданной функции.

Пример 8. Найти минимальную КНФ функции

В соответствии с первым шагом имеем

Рис. 40

Второй шаг —-минимизация формулы (6.13). Проведем миними­ зацию методом «усовершенствованного алгоритма Куайна». После первого склеивания членов выражения (6.13) и устранения элемен­ тарных поглощений получаем члены

ksk2, kgkn, kek7, k7ki5, kukig,

после склеивания которых и устранения элементарных поглощений находим два члена:

и k6k7.

Дальнейшее склеивание и поглощение невозможны, поэтому вы­ ражение

(6.14)

является сокращенной ДНФ функции и имеет вид

В результате выполнения 3-го шага получаем

151

Пример 9. Найти минимальную КНФ функции при пом сщи карты Карно (рис. 40).

В данном случае необходимо накрыть совокупность всех нуле­ вых квадратов карты минимальным количеством правильных пря­ моугольников (рис. 40).

Из карты видно, что других равноценных накрытий нет. Следо­ вательно, отрицание функции имеет единственную минимальную

ДНФ

F = Х3ХхV * 1 * 0 V * 3 * 2 * 1 .

а функция — единственную минимальную КНФ

F = (* 8 V X l ) (х 1 V * о ) (* 8 V * 2 V * l ) •

Минимизирующие карты

Минимизирующие карты составляются по правилу, которое можно сформулировать, пользуясь функцией трех переменных

(табл. 6-7).

Т а б л и ц а 6-7

Составляем Таблицу конституентов нуля, причем каждый пе­ ременной ставим в соответствие разряд двоичного номера строки: нулевому значению цифры разряда соответствует переменная без отрицания, а единице — переменная с отрицанием.

Определяем значения функции Д при kx = 0. Строки таблицы

152

строк, в каждой из которых будет только одна незачеркнутая ком­ бинация (конституент), содержащая минимальное число перемен­

бинации обязательно должны входить в окончательное выражение. В некоторых строках, где /) — 0, могут оказаться комбинации переменных, которые не зачеркнуты и не обведены рамкой. Такие комбинации назовем с в о б о д н ы м и . Одна из свободных ком­ бинаций, содержащая наименьшее число переменных, должна, войти в окончательное выражение функции. Все сводные комбина­ ции обводим общей рамкой, внутри которой могут оказаться и за­

Во второй строке свободная комбинация х -В у + z обведена рамкой.

Комбинации в колонке х + у -f z, не отмеченные рамкой, яв­ ляются неопределенными, и их в расчет можно не принимать, так как в этих строках уже использовались конституенты, обращающие Д в нуль. Одинаковые комбинации переменных, обведенные рамкой, достаточно записать один раз.

Рассмотренные минимизирующие карты соответствуют разло­ жению функции на конституенты нуля. Пользуясь теми же прави­ лами, можно составить минимизирующую карту разложения функ­

Вминимизирующей карте разложения функции на конституенты

1вычеркиваются строчки, соответствующие значениям Д = 0, по­ скольку для этих строк произведения соответствующих конституентов на Д будут равны нулю. Остальные правила пользования кар­ той остаются теми же.

Покажем правила пользования картой на примере. Пусть за­ дана функция

f(x, у , z) = xyz-\-xyz-{-xyz-\-xyz.

Определим значения функции Д и составим минимизирующую карту (табл. 6-9):

Т а б л и ц а 6-9

(см. таблицу 6-10).

154

Вопросы и задачи для самопроверки

1.Возможно ли применение алгоритма Куайна к переключательной функции» заданной в ДНФ?

2.Какие трудности возникают при работе с диаграммами Вейча в случае большого числа переменных?

3.Что такое импликанта переключательной функции?

4.В чем состоит усовершенствование алгоритма Куайна, предложенное МакКласки?

5.Опишите процесс заполнения импликантной таблицы.

6. Является ли представление функции с СДНФ единственным?

7.В чем состоит трудность построения МДНФ функций большого числа пе­ ременных?

8. Каким образом заполняется диаграмма Вейча при задании исходной функ­

ции в ДНФ?

11*

Глава седьмая

ИСЧИСЛЕНИЕ П Р ЕД И КАТО В

§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия л о г и к и ПРЕДИКАТОВ

При рассмотрении булевых функций мы имели дело с однород­ ными логическими функциями. Помимо логических функций по­ добного типа рассматриваются также и такие, в которых сама функ­ ция, как и раньше, принимает значение «1» или «О», а независимые переменные принимают значения из множества самого общего вида. Такие логические функции называют предикатами.

Для обозначения таких функций обычно применяют латинские буквы, что позволяет по форме записи отличать предикат (неодно­ родную логическую функцию) от сложного высказывания (одно­ родной логической функции), n-местный предикат можно записать в следующем виде:

Подобный предикат представляет собой переменное высказыва­ ние, истинность или ложность которого определяется набором зна­ чений предметных переменных х х, х 2, хп. Если предикат р не яв­ ляется тождественно истинным или тождественно ложным, то на одних наборах значений предметных переменных он принимает значение «истина», а на других значение «ложно».

О п р е д е л е н и е , п-местным предикатом, определенным на множествах

М г, М 2, . . . , М п,

называется выражение, содержащее предметные переменные данных множеств и обращающееся в высказывание при замене последних лю­ быми элементами множеств М х, М 2, . . . , М п соответственно. Множества М х, М 2, . . . , М п называются базисными множествами предиката, их элементы — аргументами предиката соответст­ венно первыми, вторыми, . . . , п-ми. п-местный предикат [п>- 2], все базисные множества которого совпадают, называется однород­

156

(х1; х 2, , хп) есть «истина», то говорят, что аргументы Ху, х 2, . . .

хп удовлетворяют данному предикату, в противном случае говорят, что аргументы не удовлетворяют данному предикату.

Два «-местных предиката, определенные на одних и тех же мно­ жествах Му, М 2, . . . , М п, называются равносильными, если зна­ чения их для любых аргументов совпадают, иначе говоря, если они удовлетворяются одними и теми же аргументами. Например, если х переменное, принимающее значение в множестве действительных чисел, то одноместные предикаты х > 2 и х — 2>-0 равносильны.

Так как предикаты представляют собой переменные высказыва­ ния, с ними можно производить все операции, применявшиеся при построении исчисления высказываний. Это открывает большие воз­ можности при построении сложных логических функций.

Пример 1. Пусть мы имеем предикаты

(7.1)

Из этих предикатов, за счет применения какой-нибудь операции

Наличие предметных переменных в предикате позволяет ввести ряд новых операций, специфических для исчисления предикатов. Построение указанных операций осуществляется с помощью так называемых кванторов. Применяются кванторы двух видов: кван­ тор общности и квантор существования.

Квантор общности — это оператор, приводящий в соответствие любому заданному одноместному предикату у = Р (х) такую дву­ значную логическую переменную г, которая принимает значение

в которой ух является символом квантора общности. Запись эта читается так: при любом х имеет место Р (х). Здесь х указывает ту переменную, на которую действует квантор у .

Квантор существования — это оператор, приводящий в соот­ ветствие любому одноместному предикату у — Р (х) такую двузнач­ ную логическую переменную г, которая принимает значение «О»

157

Здесь подразумевается, что объекты, о которых идет речь, принадлежат той или иной фиксированной предметной области М.

Это обстоятельство позволяет считать кванторы общности и сущест­ вования обобщенной конъюнкцией и обобщенной дизъюнкцией.

Использование операций исчисления высказываний и операций

Кванторы у и з можно применять к многоместным предикатам. Однократное применение квантора к одной из п переменных «-мест­ ного предиката порождает (п— 1) местный предикат. Это позволяет рассмотреть операции кванторов у , g над многоместными преди­ катами. В этом случае с помощью кванторов для каждого предиката можно построить новые предикаты с меньшим числом свободных переменных.

§ 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ

Большое значение имеет тот факт, что над формулами исчисления предикатов можно осуществлять тождественные преобразования в соответствии с простыми и обозримыми правилами; в этом заклю­ чается оперативная функция, выполняемая исчислением.

х т\ в таком случае будем говорить, что их и и2 эквивалентны и обо­ значать это так: их экв и 2.

Это легко усматривается из эквивалентности формул алгебры логики:

A i f \ A 2f \ A z, А Х/\( А2У А 3), И 1Д Л 2)У(Т11Л^з)-

Переход от одной формулы исчисления предикатов к эквива­ лентной ей формуле мы будем называть тождественным преобразо­ ванием.

158

Преобразования, которые вытекают из свойств операций ал­ гебры логики и не затрагивают свойств кванторов, применимы и к формулам исчисления предикатов. Особого рассмотрения требуют те преобразования, которые основаны на специфических свойствах кванторов. Из самого смысла кванторов общности и существования вытекают следующие эквивалентности.

1. Эквивалентности с отрицанием:

дхА (х) экв у х А (х),

у А (х) экв дхА (х),

на основании которых можно заменять у квантором 3 и наоборот. Эти эквивалентности являются аналогами:

A \\J А% экв. ЛХД Л 2,

ЛХД Л 2 экв. л х\ / л 2.

Применяя 1-ю эквивалентность к 3 yF (х, у), получим

(ух) Н (2 ) Д (G (xlt х2) V yyF (х, у)).

число конъюнкций (дизъюнкций), а также они указывают на опре­ деленную перестановочность однотипных операций, т. е. на пере­ становочность у с Д . Пример формул, которые не являются экви­ валентными:

Отсюда, если Л , (х) есть предикат «х есть четное число», а Л 2 (а:) есть предикат «х есть нечетное число», то первая из формул истинна,

вто время как вторая ложна.

Впрактике иногда требуется вынести константу из под знака квантора и наоборот.

Рассмотрим более подробно данную операцию. Пусть имеем формулу

ух {F(x)\JX(t) ^ G(x)/\x(t)}.

159

Необходимо вынести из под знака квантора относительную кон­ станту х {t). Для этого мы сначала приводим подкванторное выра­ жение к конъюнктивной нормальной форме с тем, чтобы можно было воспользоваться эквивалентностями (7.7, 7.8). После замены им­ пликации дизъюнкцией и отрицанием и применения теоремы де Моргана мы имеем:

yxlF (x)/\x(t)]\J[G(x)/\X (0],

ут 1( Щ V G (т)] Л [T(F) V X (01 Д ;

тогда

Л Й о у с ( т ) ] Л и Г ) у х ( / ) ] ) .

Здесь конъюнктивный член X (/) V X (t) равен 1 и поэтому может быть вычеркнут. Применение (7.7) дает:

ут [F (т) V G (т)] Д ух l(F (т) V X (/)] Д ух [X (/) V G (т)].

Применяя (7.7) к каждому из последних двух конъюнктивных членов, имеем:

ух [F (т) V G (т)] Д [ут? (т) V* (01Л \х (0 V VxG (т)].

Аналогичным образом выносятся константы из области опреде­ ления квантора у , для этого подкванторное выражение представ­ ляют в виде дизъюнкции конъюнкций.

§ 3. ПРЕДИКАТЫ С ОГРАНИЧЕННЫМИ КВАНТОРАМИ

Наряду с обычными кванторами по предметам у и g пользуются и так называемыми ограниченными кванторами.

соответствует выражению «для всякого х, которое меньше t, спра­ ведливо х (т)».

Ограниченные кванторы выражаются обычными формулами исчисления предикатов с участием специального предиката «%<Ду». Подобные формулы имеют вид:

З т [ т < / Д Х ( т ) ] , у т [ т < / -> Х(т)].

При правилах вывода ограниченные кванторы могут обозна­

160