книги из ГПНТБ / Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие

конъюнкции, можно опускать. Сомножитель конъюнкции будет

111

Это выражение является СКНФ. Формула (5.12), как и (5.5), имеет практическое значение. Она позволяет строить СКНФ по таб­ личному заданию функции. Для этого необходимо отобрать все наборы аргументов, на которых табличная функция равна нулю, со­

ставить для этих наборов дизъюнкцию вида х ^ У лг2(2V •••

а затем соединить их знаком конъюнкции.

Проиллюстрируем это правило на примерах, рассмотренных выше.

1. / (Xi, х^} = хг — х2.

На наборах (0,1) и (1,0) функция равна нулю, поэтому

x i ~ Х 2 —(я?V-4) (*1V4) (-^lV-^2) (*tV*2) (^i V^) (-^i V ^)’

2. Согласно таблице истинности (стр. 107) функция равна нулю на наборах (000) (001) (010) (101), поэтому

f(xlt х2, х3) = {хгу х 2у х 3) {хгу х 2У х3) {хгу х 2У х 3) {х^Ух2У х 3)

= (*1 У х 2\/ х 3) (хгУ х 2у х 3) {х1 У х 2У х 3) (хгу х 2у х 3).

Дизъюнктивные и конъюнктивные НФ называются совершен­ ными потому, что каждое сложное высказывание с точностью до конъюнктивных или дизъюнктивных членов может быть представ­ лено единственным способом. СДНФ и СКНФ одинаково приме­ нимы при преобразовании

, Т а б л и ц а 5-4 сложных высказываний.

--------------------------Остановимся еще на пре-

*х'х образовании связи Шеффера

_________________ в СДНФ и в СКНФ: / (xlt

Здесь имеется три набора векторов Буля, в которых связь Шеф­

112

количеству нулевых значений функции и на каждом наборе значе­ ний аргументов, обращающем функцию в нуль, только один из чле­ нов СКНФ принимает нулевое значение.

Булева функция, заданная табл. 4-1, обращается в нуль на 4 из 16 наборов значений аргументов. Ее СКНФ имеет следующий вид:

На каждом из 4 наборов, на которых функция принимает значе­ ние 0, только один из членов формулы (5.13) обращается в нуль.

Сокращенная запись формулы (5.13) имеет вид:

f — f\df при /==8, 9, 11, 14.

Эта сокращенная запись СКНФ обозначает конъюнкцию (Д ) элементарных дизъюнкций (d) четвертого ранга (/ указывает номера наборов, на которых функция обращается в нуль).

СКНФ может быть получена и другим путем, для этого необхо­ димо взять дизъюнкцию элементарных конъюнкций максимальной длины, на которых функция обращается в нуль, и, применив к по­ лученному выражению правило де Моргана, получить СКНФ бу­ левой функции. Следуя выше изложенному правилу и используя табл. 4-1, будем иметь

f= ХЯХ2Х1Х0V Х-ЛХ2Х1Х(}V ХзХ^Х^У х3х2х1х0=

=(*sV*2 V*iV*o) {ХзМх2\/ хг\/ х0) {х3\ / X2\J хг\ / х 0) (x3\J X2\J x±\J хо)-

При таком способе нахождения СКНФ достигается взаимообразие нахождения как СДНФ, так и СКНФ булевых функций.

Для компактной записи совершенных форм возможно исполь­ зовать соответствующие числовые представления совершенных форм функции. Числовое представление СДНФ определяет номера всех наборов, на которых функция принимает значение 1.

Числовое представление СКНФ определяет номера всех набо­ ров, на которых функция принимает значение 0. Из табл. 5-2 чис­ ловое представление СКНФ имеет вид:

/4*1, *2 .*з)=Л(0, 1.2,5).

При минимизации булевых функций обычно используется СКНФ Поэтому, очевидно,необходимо уметь переходить от КНФ к СКНФ. Такой переход выполняется путем тождественных переобразований

Вводим в каждую элементарную дизъюнкцию отсутствующие ар­ гументы. Это делается следующим образом:

(■У! V* 2 V*зИ* 0 V* 2 V*з) (*0 V* 1 V* 2 V*з) =

=(Лу V* 2 V*3 V0 ) (*oV*2 V*8 VO) (Хо У X l M Х 2 \ ] Х 3) =

=(-«1 VХ 2 VХ з VХ0■Х 0) (х0V* 2 V*3 Vх1 ■Х х) (*0 V* 1 Vх2 V*з) =

=(*sV*2V *iV -^о)(^3V *2V *iV x0)(xs\Jx2\ j xt \Jx0) { Х з У х г У х ^ х ^ Х

{хзУ х2У хгу x0) = (хзу х2У xxy x0) (хзу х2У xxy x0) X

Полученное выражение есть СКНФ.

Пример 4. Разложим нуль на конституенты. Представим 0 как

Q = x-x = xi -x1\ l х2-х2(гак как Xi-Xi = G). Применив распредели­ тельный закон сложения относительно умножения,

x-y\Jz = (x\Jz)-(y\Jz),

где положим х = х, у = лу, z = х 2-х2, тогда

Q = (x1\J x2-x2)-(xx\J х2-х2).

Теперь к каждому члену полученной конъюнкции применим

Нуль можно представить как сумму не двух, а трех слагаемых, каждое из которых тождественно равно нулю:

О = лу■лу \Jх2 ■х2 У х3 ■х3.

Применив тот же распределительный закон сложения относи­ тельно умножения, получим:

0= ад Vх2■х2У х3х3 = (лу х2х2У х3■х3) (луу х2-х2у х3хй) =

= (ххУ х 2У х 3■х3) (луУх~Ух3х 3) ( £ V V*з ■* 7) (ххУ х 2у х 3х3) = = (Х1 УХ2 у Ха) (лу У х2 У лу) (лу Vх2у Ха) (луУ х 2У х3) X

X {хху х 2у х 3) {хгу х 2у х 3) {хху х 2у х 3) {хху х 2 Ух 3). (5.16)

114

В общем случае

0 = V XjXt ( i — 1 , 2 , . . . , п).

t=i

Тогда выражение для нуля через п переменных можно записать:

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

При нахождении более простых форм булевых функций удобно прибегнуть к геометрической интерпретации функции.

Рассмотрим дизъюнкцию двух переменных на плоскости. От­ кладывая по оси ординат переменную у в виде единичного отрезка,

/(* . y) = xy\Jxy\J ху.

Эта функция геометрически изобразится в виде трех вершин квадрата (2, 1, 3). Найдем минимальную форму данной функции. Согласно закону для ребра 2—3 простая импликанта будет равна х, а для ребра 3—1 — у. Дизъюнкция простых импликант образует ми­ нимальную форму, а именно x \ J у. Отсюда очевидно, что вместо конституент, обозначающих две соседние вершины, возможно записать элементарную конъюнкцию, обозначающую ребро между этими

115

Пусть функция f (х, у, z) задана таблицей соответствия 5-5. Для данной функции можно поставить в соответствие подмно­

жество Nf вершин трехмерного единичного куба. Отмечая точками

Данная функция геометрически представляется кубом с вер­ шинами 1, 4, 5, 6, 7 (рис. 24, б). Подмножество вершин, на которых функция f (х , у, z) = 1, можно записать в виде

Nf(x, у, z)= V (001) (100) (101) (110) (1 1 1)= V 0 . 4 . 5 , 6, 7).

Подмножество вершин единичного «-мерного куба называется интервалом r-го ранга, если он совпадает с подмножеством N А, соответствующим некоторой элементарной конъюнкции г ранга:

A (xv хг

где A (xlt х 2, ■■• , хп) — функция алгебры логики, которой по­ ставлено в соответствие подмножество N А, совпадающее с подмно­ жеством вершин единичного «-мерного куба (а1( а 2, . . . , а„). Каждая вершина единичного «-мерного куба является интервалом «-го ранга, поскольку каждой вершине куба (а1; а 2, . . . , ап) можно поставить в соответствие элементарную конъюнкцию

а множество всех' вершин единичного куба является интервалом нулевого ранга.

Проверим это для трехмерного куба. Множество его вершин суть:

М - = [(000), (001), (010), (011), (100), (101), (ПО), (111)].

116

Каждой вершине соответствуют элементарные конъюнкции

Множеству M можно поставить в соответствие дизъюнктивную нормальную форму:

В^ А ^ А ^ А ъ У А ь Ч А ь У А ь Ч А ч Ч А ^

—xyz V xyz V xyz Ч xyz V xyz 4 xyz V xyz 4 xyz =

Xy {z 4z )4 ~x y{ z4 z) 4xy {z4z )4xy{z 4z ) = x y 4 x y 4 x y 4 x y =

каждый интервал целиком содержится в Nj, что можно записать:

N Aid N f ( i = l , 2 . . . т).

117

Действительно,

Nf — Л ^ + Лг-Ь • • • + А т.

Логической сумме функций Лг соответствует подмножество Nf* Следовательно, каждой функции алгебры логики А с можно поста'

будет равна числу букв в исходной ДНФ.

Для нахождения более простой формы булевой функции необ­ ходимо найти такую ДНФ или такое покрытие подмножества Nf интервалами N A a Nf, чтобы (5.22) было минимальным. Для на­

хождения функции четырех и пяти переменных можно применять геометрическое представление четырехмерного и пятимерного ку­ бов.

§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА КОНСТИТУЕНТЫ (ЗАКОН РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ)

Пусть задана некоторая функция алгебры логики f (х), которую

118

х f (х) = ахх V Ьхх = Ьх,

или

xf(x) = f(l)x, x f { x ) ~ f (0) x.

Рассмотрим теперь разложение двух переменных / (х, у). Вна­ чале разложим функцию по л: при фиксированном значении у. Оче­ видно, можно записать:

fix, у) = ф(х).

На основании (5.24):

ср(х) = ф(1)х\/ф(0)х.

При этом Ф (1) = / (1, у); ф (0) = / (0, у).

Тогда

Разложив функции / (1, у) и f (0, у) как функции одной перемен­ ной, пользуясь (5.24), получим:

Подставив полученные разложения в (5.25), получим оконча­ тельно:

и поэтому не зависит от порядка, в котором выполняется разложе­ ние.

схему, где xt — контакты элементов схемы. Поступив с этой функ­ цией, как и ранее, получим разложение вначале относительно пере­ менной х х:

f ( x x, х2, х3, . . . , * „ ) = / ( 1, х2, х3, . . . , х„)ххV V / (0, х2, Х3, . . . , хп) хх.

119

Из этой формулы, в частности, следует, что при преобразовании релейно-контактной схемы число контактов одного из ее элементов может быть всегда сведено к одному переключающему контакту х х.

Выполнив разложение последовательно относительно каждой переменной, получим

Полученное разложение представляет собой сумму членов, каж­ дый из которых является конституентом единицы, умноженным на коэффициент, значение которого равно значению исходной функции, если в ней принять равными единице те переменные, которые вхо­ дят в конституент в виде простых сомножителей, и равными нулю те переменные, которые в конституент входят с отрицанием. Схема, эквивалентная разложению (5-27), приведена на рис. 25.

f(1,x2,...x„)\-xf

Ф и * г , * з )

~jW,x2t-Xn)\Xl

Рис. 25

В реальной релейно-контактной схеме разложение (5.27) озна­ чает следующее. Для каждого простого сомножителя конституента нужно соединить накоротко имеющиеся в схеме замыкающие кон­ такты соответствующего элемента и разомкнуть цепи, содержащие размыкающие контакты. Для каждого сомножителя, входящего

вконституент с отрицанием, нужно разомкнуть все замыкающие

изамкнуть все размыкающие контакты соответствующих элементов. При этом в схеме образуется либо замкнутая, либо разомкнутая цепь. В первом случае коэффициент при соответствующем конституенте будет равен 1, а во втором — 0. Практически это означает, что цепь, содержащая конституенты с коэффициентами, равными единице, нужна для реализации данной дизъюнкции, а цепи, со­ держащие конституенты с коэффициентами, равными 40, являются лишними при реализации заданной функции и могут быть исклю­ чены из схемы.

Полученный результат следует толковать так: любая функция алгебры логики может быть представлена в виде суммы некоторых конституентов единицы, а схема, реализующая эту функцию,—

120