книги из ГПНТБ / Тригг Дж. Решающие эксперименты в современной физике

тела привлекла Планка тем, что соответствующий закон распределения носит «абсолютный» характер, т. е. не за­ висит от материала стенок полости. Планк использовал это обстоятельство в своей работе, представив стенки в виде ан­ самбля гармонических осцилляторов. Его подход к пробле­ ме черного тела всегда основывался на термодинамике ан­ самбля, причем особое внимание уделялось термодинами­ ческой величине, называемой энтропией0. Здесь нет нужды давать точное определение этой величины. Для нас сущест­ венно лишь то, что она является мерой беспорядка в системе н что, согласно второму закону термодинамики, с которым Планк был основательно знаком, изменения во всякой изо­ лированной системе происходят таким образом, что ее энт­ ропия возрастает. Из этого вытекает, что равновесным со­ стоянием системы является состояние, для которого энтро­ пия максимальна. Как уже упоминалось, состоянием равно­ весия для полости является состояние, в котором полость наполнена излучением черного тела. Следовательно, зада­ ча, стоявшая перед Планком, заключалась в том, чтобы вы­ числить энтропию введенного им ансамбля гармонических осцилляторов.

Первая работа Планка была опубликована в 1899 г. (когда он еще не был знаком с интерпретацией энтропии как меры «беспорядка»), В ней Планк рассматривал энтропию отдельного осциллятора и пытался найти ее связь с энергией осциллятора U. Он нашел, что основной величиной является кривизна R кривой*2’ зависимости энтропии от энергии, и, исходя из ошибочного предположения, сделал вывод, что

где а — положительная величина, которая в общем случае может зависеть от частоты. Закон излучения, к которому приводит это равенство, совпадает с выражением (2.4) при

а=\/с.

11 Подробнее о понятии энтропии см. книгу: М . W. Zemansky, Tem­ peratures Very Low and Very High, Momentum Book, № 6, Amsterdam, 1964, Ch. 2. (На русском языке см. Ф. Кемпфер, Путь в современную физику, изд-во «Мир», М., 1972, гл. 12 и 13.— Прим, ред.)

2> Кривизна в любой точке гладкой кривой определяется как обрат­ ная величина радиуса окружности, которой можно наиболее точно ап­ проксимировать кривую в этой точке.

Заслуживает упоминания еще одна теоретическая работа, хотя в действительности она была опубликована позднее соответствующей экспериментальной работы. В 1900 г. лорд Рэлей предположил, что при колебаниях полости ча­ стота колебаний, обусловливающих возникновение стоячих волн внутри нее, не может быть произвольной — она опре­ деляется геометрией полости, подобно тому как частота ко­ лебаний струны определяется ее длиной. Если это так, то излучение в полости должно представлять собой суперпо­ зицию стоячих волн с частотами, возможными для данной полости. Можно вычислить число различных типов колеба­ ний с длиной волны от к до k-\-dk, приходящееся на единицу объема полости. (Символ dk здесь не означает бесконечно малую величину в математическом смысле, а используется лишь для того, чтобы подчеркнуть, что рассматриваемый интервал длин волн мал по сравнению с полной ширимой спектра). Согласно известному принципу классической ста­ тистической механики — закону равномерного распределе­ ния энергии по степеням свободы — на каждый из этих ти­ пов колебаний приходится одна и та же средняя энергия, равная kT, где Т — абсолютная температура полости, а k — универсальная постоянная. На основе этого рассмот­ рения можно получить выражение для энергии, приходя­ щейся на единицу объема полости и на единичный интервал длин волн, т. е. для спектральной плотности; оно имеет вид

Это выражение согласуется с общей формулой (2.3). Однако оно имеет один существенный недостаток: полная энергия излучения в полости, вычисленная по этой формуле, ока­ зывается равной бесконечности11. Причина этого заключа­ ется в том, что вклад коротковолнового излучения в спек­ тральную плотность очень быстро возрастает с уменьшени­ ем длины волны. Поскольку малые длины волн тогда ассо­ циировались с ультрафиолетовым излучением, эта расходи­ мость получила название «ультрафиолетовой катастрофы».

11 Интересно отметить, что это было не первым указанием на на­ рушение закона равномерного распределения энергии. Еще в 1859 г. Максвелл отмечал, что на основе этого закона нельзя дать адекватного объяснения отношения удельных теплоемкостей газа.

(С точки зрения современных представлений более подхо­ дящим было бы название «гамма-лучевая катастрофа».)

Таким образом, ситуацию на рубеже двух столетий мо­ жно охарактеризовать следующим образом: классическая теория давала для ех выражение (2.3), которое было, по всей видимости, правильным, но недостаточно конкретным. Опираясь на ряд дополнительных гипотез, законность ко­ торых была не совсем ясной, но в пользу которых свидетель­ ствовали термодинамические соображения, можно было по­ лучить более конкретное выражение для ех. И наконец, для этой величины существовало несколько приближенных эм­ пирических выражений. Естественно, что надо было пытать­ ся улучшить ситуацию.

Решающий эксперимент был выполнен Люммером и Прингсгеймом в Шарлоттенбурге (Германия). Для обосно­ вания своей методики они слегка модифицировали рассуж­ дение, с помощью которого была установлена эквивалент­ ность между излучением полости и излучением черного тела. Предположим, что в одной из стенок полости, фигурировав­ шей в этом рассуждении, имеется отверстие, площадь ко­ торого мала по сравнению с площадью поверхности стенок. Тогда всякое излучение, падающее на это отверстие извне, почти наверняка проникнет в полость, где окажется запер­ тым благодаря процессу многократного отражения от сте­ нок во всех направлениях (причем в каждом акте отраже­ ния происходит частичное поглощение). Таким образом, подобное отверстие в этом отношении оказывается хорошим приближением к черному телу11, свойства которого были описаны выше. Более того, излучение, вышедшее из отвер­ стия наружу, будет идентично излучению внутри полости,

о Справедливость приближения в этом случае определяется тем обстоятельством, что падающее излучение, попавшее через отверстие в полость, не будет поглощено ею лишь в том случае, если в результате одного из нескольких первых столкновений со стенками полости оно отразится в направлении отверстия и выйдет из полости. Вероятность такого события определяется микроскопической геометрией поверхности стенок и не зависит от длины волны излучения. В противоположность этому в случае аппроксимации абсолютно черного тела реальными чер­ ными объектами, такими, как, например, кусок угля, вероятность того, что при первом и единственном столкновении с поверхностью объекта падающее излучение скорее поглотится, нежели отразится, зависит от длины волны излучения.

Фиг. 2.1. Схема печи с двоимыми стенками, использовавшейся для нагрева полости из железа.

которое, как уже было установлено, эквивалентно излу­ чению черного тела. Следовательно, исследование свойств излучения, вышедшего из отверстия, дает информацию о свойствах излучения черного тела. Процедура эта выгля­ дит в принципе простой, но требует большой тщательности для своего осуществления.

Первый этап исследования, о котором было сообщено в 1897 г., заключался в проверке закона Стефана — Больц­ мана. Для этого использовались две полости: одна — со стенками из меди для температур вплоть до 877 К и другая — со стенками из железа для температур от 799 до 1561 К. Медная полость была погружена в расплавленную смесь нитрата натрия и нитрата калия. Температура этой ванны поддерживалась постоянной с точностью до одного-двух градусов в течение получаса путем регулирования скорости подачи газа к нагревающему пламени. Железная полость нагревалась с помощью изображенной на фиг. 2.1 специаль­ ной печи с двойными стенками. Нагретые пламенем газы про­ текали между стенками полости и внутренними стенками печи, затем попадали в пространство между двойными

755 К температура измерялась ртутными термометрами, а выше этого значения — термопарой.

Мощность излучения измерялась с помощью болометра. В этом приборе излучение, мощность которого необходимо определить, падает на одну из двух зачерненных платино­ вых проволочек и поглощается ею, повышая ее температуру и, следовательно, увеличивая ее электрическое сопротив­ ление. Изменение сопротивления определяется сравнением с сопротивлением другой проволочки.

Были приняты все меры предосторожности, чтобы мож­ но было с уверенностью считать, что регистрируемая мощ­ ность излучается именно полостью, и в результаты изме­ рений вносились поправки на возможные ошибки, связан­ ные с изменением доли излучения, поглощаемой воздухом по пути от полости до чувствительного элемента. В этих экспе­ риментах не удалось полностью преодолеть лишь одну труд­ ность, а именно добиться полной однородности температу­ ры внутри полости со стенками из железа. На основании измерений при разной температуре (отношение наибольшего значения температуры к наименьшему было равно четырем) авторы пришли к выводу, что закон Стефана — Больцмана справедлив.

Далее Люммер и Прингсгейм приступили к изучению более сложного вопроса об изменении спектральной излу­ чательной способности с длиной волны при заданной тем­ пературе. Результаты этих исследований были приведены в серии из трех работ, опубликованных в 1899—1900 гг. Как и в предыдущей работе, основная идея экспериментов была достаточно простой, а процедура измерений — пря­ мой. Задача состояла в том, чтобы сначала с помощью приз­ менного спектрометра разложить излучение, а потом изме­ рить мощность. Сложности были связаны лишь с соблюде­ нием некоторых предосторожностей и введением необходи­ мых поправок. Были использованы различные полости при температурах от 85 до 1800 К. Для получения низких тем­ ператур полость погружалась в жидкий воздух (85 К), в кипящую воду (373 К) и в расплавленную селитру (около 600 К в зависимости от состава). Высокие температуры ^вплоть до 1800 К достигались с помощью электрического подогрева.

от 1 до 18 мкм (видимый свет перекрывает интервал от 0,4 до 0,7 мкм,меньшее значение соответствует фиолетовой, боль­ шее — красной области). При работе в таком интервале длин волн возникали серьезные трудности, связанные с тем, что пары воды и двуокись углерода, обычно содержащиеся в атмосферном воздухе, сильно поглощают излучение с дли­ нами волн вблизи 1,8, 2,7 и 4,5 мкм. В самой первой работе Люммер и Прингсгейм просто пытались вводить в резуль­ таты поправки на этот эффект. Позже они поместили спе­ ктрометр и болометр в контейнер, воздух в котором был вы­ сушен и химически очищен от двуокиси углерода, благода­ ря чему поправки существенно уменьшились. Как и в эк­ сперименте по проверке закона Стефана — Больцмана, бы­ ли приняты специальные меры предосторожности, чтобы избежать попадания на болометр постороннего излучения.

Один из способов представления результатов измерения в данном случае состоит просто в построении кривых зависи­ мости ех от X при различных температурах, как показано на фиг. 2.2 (взятой из второй работы упомянутой серии из трех статей). По этим графикам Люммер и Прингсгейм оп­ ределили длину волны Хт, при которой спектральная плотность ех максимальна, а также значение ех в максимуме,

ех,мркс. т - е- величины, необходимые для проверки выраже­ ний (2.1а) и (2.2а). Было совсем нетрудно увидеть, действи­ тельно ли соответствующие комбинации величин постоян­ ны. Уже в своем первом сообщении они почувствовали себя вправе сделать следующее утверждение:

Следовательно, можно считать доказанным этой серией наблюде­ ний, что для использованного излучающего тела максимальная энергия возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры. Также можно считать доказанным равенство ХтТ = А , поскольку от­ клонения А от среднего значения лежат в пределах ошибок наблюде­ ния, возможно связанных с определением Х,п.

В действительности, однако, не вполне ясно, стремились ли Люммер и Прингсгейм доказать или опровергнуть законы смещения. Так, впоследствии они утверждали: «Выполне­ ние этих трех законов» (третий закон — закон Стефана —

прЬведенные через них). В заштрихованных участках происходит пог­

28 ГЛАВА 2

Больцмана) «является непременным условием, для того, что­ бы по измерениям излучения можно было сделать какое-либо заключение о форме спектрального уравнения (графика энер­ гии)». Другими словами, по крайней мере в то время они считали эти законы более достоверными, чем результаты своих собственных измерений. Действительно, они отбро­ сили одну серию измерений, так как из нее следовало Д что максимальное значение ех изменяется с температурой скорее как Г5Д чем как Т5.

Формула Вина для ех [выражение (2.4)], хотя она и не была достаточно обоснована, фактически представляла собой единственную явную формулу, имевшуюся в то вре­ мя, поэтому Люммер и Прингсгейм сравнивали с ней свои результаты. На фиг. 2.2, кроме ряда экспериментальных графиков, приведены также кривые, рассчитанные по фор­ муле Вина для различных значений абсолютной температу­ ры Т. Согласие между теорией и экспериментом выглядит прекрасным, но Люммер и Прингсгейм не были удовлетворе­ ны этим и предложили следующий более чувствительный способ проверки: если прологарифмировать 2)* обе части выражения (2.4), то в результате получим

lg^x= lg (С^~5)—^ Ige, что можно переписать в виде

lge>. = lg (C ^ 6) - ( f l g e j i r .

Это выражение имеет форму у=а-\-Ьх, где у = lg ех, а= = lg (СХ~6), Ь=—(c/X)lg е и х= 1/7\ Таким образом, формула Вина означает, что если построить график зависимости величины lgex от 1/Т при фиксированном значении X, то

1> Люммер и Прингсгейм утверждали, что это могло быть резуль­ татом гілчхой юстировки аппаратуры, вследствие чего спектрометр мог «видеть» не только внутреннюю, но и часть внешней, более холодной поверхности полости.

2) Как, вероятно, помнит читатель, логарифм числа у есть такое число а, что 10°=г/; следовательно, 10Ы>/ = у, и если два числа равны, то равны и их логарифмы;далее, lg(xi/)= lgx+ lgy и lg (лД= lg[(1 0 lgx)^]=; = lg (lO slg-^s lg*.

Фиг. 2.3. Семейство изохромат, полученное в первой работе Люммера и Приигсгейма, посвященной излучению черного тела. [Verhandl. Deut. phys. Ges., 1, 38 (1899), Fig. 2; обозначения изменены для на­ глядности.]

результирующая кривая, называемая изохроматой, должна представлять собой прямую линию, тангенс угла наклона которой пропорционален с, а отрезок, отсекаемый на оси lgex, может быть использован для определения С. Из сооб­ ражений, на которых основывался вывод формулы Вина, следовало, что коэффициент с должен быть универсальной постоянной, в то время как коэффициент С может меняться от одной серии измерений (при заданной длине волны) к другой, но должен быть постоянным в пределах каждой такой серии.

В самой первой своей работе Люммер и Прингсгейм привели изохроматы, которые имели вид прямых линий, как показано на фиг. 2.3. Величины С и с, однако, изменялись с длиной волны. Это не соответствовало формуле Вина, но Люммер и Прингсгейм не настолько были уверены в своих результатах, чтобы считать эту проверку окончательной. Ко