книги из ГПНТБ / Волны в двухкомпонентных средах
..pdf180
+ (fa -fa)« л , fa- щ л - (fa -fa)(v>-LJk)(Uhfa-Afa)-
~(fa~fa)(^ -CJiHo, f a - M f a H f a - $ )(< О г - Ь А ) Щ ч - Щ А ;
А, = ( Ь п н A fa +A f a ) f a V* (fa -fa ) - Vz b b tfa -ftW A tk ф
|
~А $^з~ $ i ^ i)lfa fa (l£>i ~(Ац)~fafa (Az~U)y)-fa p(A~ A)]^ |
^ ( B f m + ^ f a ^ J l ^ f a f a c f a - f a h O ^ f a - f a l - ^ - p i ; |
|
А г~(АуМ |
-A fa)l^jA><(fa~fa)~A^3 (fa ~fa)~b?sMir(fa fa)]* |
^(Bf t B6 ~J)$id1 - Jj(Uh)[fafa(CJy-CJj)-fafa(A~A)'fafa(A"A] f
<Bs ^ A o 3fa + A o 4 J v J % - fa ) 4 ( fa - fa ) - c < J < ( p - fa ) ] )
Дъ=(&м +J/s<U ^ jfa u p p -fa № c4 (fa -U m (fa ~ fa )J+
*(Br+Bi ^ Q rA cjJfa fM -^ ^ z ^ z -^ i/fa ^ -(ЛЙ+
4 № +^ f a + A t W i ) [ f y ( f a 1 i № ( f a - p - & ( f a ' f a r f '
A„=UsM tjlrfaЩ Л & М ( р ^ г Ш р р - а ^ г -falh
+(Bj- +$£-Jkcot-Acoj[fafa(cJi-(Ji)-fafafcfa~Q)~fafa(^z ■ (A)!*
+( B ^ A a f a t A ^ i ^ ( f a - f a ) - ^ ( f a - f a ) ' ( A , ( f a - f a ) .
Для более общего вида нагрузки решение получается по средством интеграла Дюамеля.
Цилиндрические волны
Пусть на поверхности цилиндрической полоски опреде ленной) радиуса в изотропной двухкомпонентной среда давле ние изменяется по определенному закону. Данная задача реше на Н.И.Кздырбзевым.
Уравнения в цилиндрических координатах имеют вид:
дд\г |
, |
дг1/ |
у У . |
дг. |
+ г |
di*- |
Лг № 1 |
|
|
|
(6 .2 .1 ) |
дг |
Jiz9 |
^ 9iz |
|
Закон Гука для данной среды имеет вид:
Отг= 6 1 + |
+J-£ |
+(2£ , |
|
бое -J .£ tz. + (2+ 2ju)£ ee + Q l) |
|
||
„ Л |
|
' |
(6 .2 .2 ) |
8(<?гг + See) |
■+/?<£ . |
|
|
Здесь t/ . У - перемещения в твердой и жидкой компонен тах;
& - давление в жидкой компоненте; £ "^- объемное расширение жидкости.
Составляющие тензора деформации определяются соотноше ниями:
г = ! ^ ■ |
„ |
_ |
и_ • |
' |
te e |
_ |
£ > |
? - Ш - |
+ J L |
• |
(6 .2 .3 ) |
ь ~ д г |
г |
Уравнения движения среды в перемещениях для цилиндриче ского случая имеют вид:
182
п/ дги . j bU U_
W(эг* 't Ъг t*
(.6.2.4)
Будем искать автомодельное решение уравнения (6 .2 .4 ) .
Если положить:
ц-Qiuil.) и U=QtUfa)1 |
(6 .2 .5 ) |
где
)
то система уравнения примет вид:
(•&§£ |
В(Ю+ |
+(~§г- |
V № - UM-°> |
({P~Siz£lIB"fe)Jr~кГг^ (?J>"~?ЧГ101't-i+
-j>,гг)й'№>-t |
u'M- |
OftI+ |
Ч& - Ш ' Ы +~ h |
O’M '! & M |
,sD> |
(h-S,MI0'M +h |
a‘M - i k a(xh |
|
Mi-}’,г)Гм+&(!Ъ-&;Ш‘0.
Найдем решение (6 .2 .6 ), удовлетворяющее граничным ус ловиям:
и(г*)^ЬШ*) =;о
|
183 |
|
||
= C |
+ Pa |
|
; |
|
ay t Wz(Z*J=f * +pa |
|
|
(6 .2 .7 ) |
|
|
|
|
|
|
при 9E* * I , где индекс |
“ |
соответствует |
значениям |
|
соответствующих величин на ударной волна. |
|
|||
Из системы (6 .2 .6 ) |
видно, |
что одно частное |
решение |
|
системы Судет: |
|
|
|
|
Ы ,(?) = |
=Ъ. |
|
|
(6 .2 .8 ) |
После подстановки: |
|
|
|
|
U te ) = U t fe ) U |
“ |
U ( ? ) = U t t e ) |
(6 .2 .9 ; |
|
в систему уравнений (6 .2 .6 ) |
получим: |
|
||
+ [ м ^ е 1 - г & ' Х а] х +
|
-t ( ^ S - Z J b - F J x + |
|
|
+ ( | г ~ л v k ' * ( w - z j > t и Ч у ^ о , |
(6 .2 .Ю ) |
||
|
|
V |
|
где |
|
|
|
2 = и ' |
t |
я ' = и " г |
|
у = W |
i |
у '= U . |
(6 .2 .II) |
Решение |
системы |
(6 .2 .10) будем искать в виде |
рядов: |
|
|
*Н)Г |
(6 .2.12) |
■г = £ « , г ’н с |
|||
У-о |
|
1С=0 |
|
184
Подставляя (4 .2 .1 2 ; в (4 .2 .1 0 ; находим:
х |
= = £'% (?,2 * + |
-f 4 г Ч я |
х 2 5++<-з21с j****-*- ■■■ |
||
4= Z 3-h i 25Г* + 6, 2 4 it ? ъ + ёх %г+■- +£ к '? 2* '3-'- • • • |
|||||
|
|
|
|
|
'(6.2.13; |
Из |
(6.2.13;, (6.2.9) |
и (6.2.8; |
имеет: |
|
|
й |
|
+ Сг ( ~ ^ |
|
+gLQuc~2^~z ^(6’ .2.14; |
|
|
|
|
|
, |
(6 .2 .1 5 , |
где |
|
|
|
|
|
п |
|
а ’Ь - М к - ъ Л в ] |
|
|
|
|
2_ |
z l C i * - U + z j u ) l l l 9 |
|
||
Р< ? l(A n M h ? i-U -b > )? * Q l
г ' |
2 [ & - ( U 2 j u ) l l ] |
■ |
(6 .2.16) |
Остальные коэффициенты находятся из следующих соотноше
ний:
J/(Xj z j j ) q |
- о (j + р р |
|
Q I " 4 ^ а г Ц - J u ui Л г Ъг |
|
|
Q4 4 |
f 4 = j s . ° . + ) U |
(6 .2 .17) |
а, |
|
|
^ r O t + |
* V ,J t |
J |
|
|
1,6.2.18; |
Коэффициенты |
Ct , C31 C} iC,\ определяются из граничных |
|
условия (6 .2 .7 ) .
Ряды, входящие в решения (,6.2.14; и (,6.2.15) - сходя щиеся. Используя формулы (6 .2 .1 4 ), (6 .2 .15) и (6 .2 .5 ;,мок-
185
но определить значение напряжения для конкретных значений параметров.
На рис.30-34 приведены результаты численного счета при следующих значениях исходных параметров:
J U = 0,З'*°7ё!м~г ' d =6,033
Q-_0,0U i 0 ^ - } j>i0 ^ |
z i 6 iX £ ^ |
; |
Я о =0/2t-10~3 £ fg g L\ |
Г о= 0,Z6 i |
' |
a -2 0 0 0 |
Цъ . |
|
Кривые с крестиками соответствуют однокоыпонентной упругой среде при отсутствии пор.
Рис.30. Рис.31.
186
Рис.32.
ГЛАВА УП
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕДАХ С УЧЕТОМ ДИФФУЗИИ
В главе рассматриваются задачи, связанные с распрост ранением плоских одномерных продольных и поперечных волн в двухкомпонентной изотропной среде при наличии диффузии.
Характерная особенность этих волн в том, что они носят затухающий характер, причем затухание происходит по экспоненциональному закону в зависимости от времени и расстоя ния от источника волн до рассматриваемой точки.
Приведенные ниже задачи могут служить математической моделью для описания волновых процессов и проведения кон кретных расчетов в сейсмологии, геофизике, строительном деле, при проведении взрывных работ и в ряде других отрас лей науки и техники.
Плоские продольные волны в полупространстве
Рассмотрим упругое изотропное двухкомпонентное полупро
странство |
ХУ/ О , на поверхность которого |
воздействует |
|
нормальное |
напряжение интенсивности |
-f0 (t) |
ИО:) . Так как |
внешнее воздействие при этом одинаково по всей поверхности полупространства (т .е . не зависит от ^ и , то попереч ные волны и сдвиговые напряжения отсутствуют, а возникаю щие волны будут плоскими одномерными продольными волнами сжатия или растяжения. Поэтому в данном случае потенциалы поперечных волн равны нулю, и .уравнения движения среды при нимают следующий вид:
|
|
|
|
|
188 |
( Л + 2 / / з + 1J2 ^ 2. j - |
i l l |
||||
|
|
|
’ |
д * г |
|
|
|
У dг. л д2'Фг |
_ |
||
|
|
f |
' |
ЪХ* |
|
p Ш |
4 |
|
4 |
|
|
2 9 |
^ |
J ; |
9 / г |
|
|
+ o ( 2 |
$ L - ^ - i |
' |
(7 .1 .I) |
||
v 1 9^ |
|
3* |
|
||
Частные напряжения компонент при j;= О с учетом внут ренних напряжений а?г будут следующими:
^ L = « - ^/о & ~ * г ,
(7.1.2)
Lo = ICJl
Кроме |
того, должно выполняться условие |
О |
прй |
|
Х~* оо |
, |
j = 1,2, что соответствует |
условию |
затуха |
ния на бесконечности (условиям излучения). Начальные усло
вия задачи будем считать нулевыми, т .е . |
при |
~t |
с, О |
||
Ф |
м |
фг - - 2 & - - 0 |
|
|
(7 .1 .3 ) |
|
д± |
|
|
|
|
Выразим граничные условия задачи при |
х |
= 0 |
через обоб |
||
щенные потенциалы |
продольных волн с помощью соотношений: |
||||
|
|
189 |
|
^rx L |
*^2 ^ |
£~X:C "** |
+ |
+ |
+ 2 ^ * * |
= |
|
= -«^(i, <г/(] И . + OW/,J-||-=
= ы ~ )с^ в w ~ d * >
^xx fx=o~ d*^ i f u + 2JZ/S<£XX +
4-Я г ^ х х |
+ -8JU Z |
(jx x ~ |
|
- < /, - a , + ^ ) f g - ■+ ( A |
= |
||
r ^ £ o ( X ) + и г . |
|
(7 .1 .4) |
|
< |
|
|
|
Таким образом, граничные условия в |
обобщенных потен |
||
циалах принимают вид: |
|
|
|
(2^ 2^ |
- Ш |
+ |
= |
|
= ( * - * ) /о I +) > |
|
|
(X k + 2 J u S ^ t + (b + 2 jU t ) * j § z '-
*r J o M
(7 .1 .5 )
при х = 0.