книги из ГПНТБ / Волны в двухкомпонентных средах
..pdf
|
|
|
|
|
160 |
|
|
При |
Z |
= I будем |
рассматривать |
те же 2 условия, чад |
|
и |
ранее - |
см. |
(5 .3 .5 ) и |
(3 .7 |
.7 ) . Для видоизмененной задачи |
|
по |
методу |
Вольтерра получаем |
следующие |
результаты: |
||
в первом случае
Vi1х.,Чф,-уф ф ф Ч - Ш W.VА(ЪHtr-df,-
- J l W i J i f r l c h d t ] - ,
(5.3.21)
«д
во втором случаеIЧ
|
|
|
|
|
^ |
s |
^ |
(~l) |
|
|
|
|
|
|
Vifco/ZoXio)- xjjj: |
|
21 |
|
|
|
|
||||||
|
{ Л К у Ш Ш т - Л Wly I M d |
|
|
|
|
||||||||
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.22) |
|
|
Таким образом, для всех рассмотренных случаев получе |
||||||||||||
но |
точное |
решение |
задачи |
в перемещениях |
V/ |
и |
1/г . |
||||||
Зная |
V< |
и Уг |
|
можно |
найти |
перемещения по |
компонентам |
||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uy'-V^Vz |
|
Ц ^ Л |
ЧгУг . |
|
|
||||||
|
Если положить |
4 о (0 |
- Рс |
- Gyn-st |
|
, |
то, |
перехо |
|||||
дя |
к переменным |
l'X\ Z |
\ i ) |
и отбрасывая штрихи, |
получим |
||||||||
следующие |
результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
при |
свободных поверхностях |
X |
= 0 |
и |
% = h |
|
|
|||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ц ) , |
( 5 . з . г з ) |
||
2 ) при |
свободной |
поверхности |
X |
= 0 и |
неподвижной поверхности |
||||||||
|
% - h - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f- |
0 |
|
^ Ш - г , , )Н Ш - V ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5.3.24)
3)при неподвижной поверхности X = О и свободной поверхности 2 ~ h
ro |
Vz |
L |
- |
j-o r |
|
(5.3.25) |
|
(выражение для |
дано |
виже); |
|
4) при неподвижных поверхностях X = 0 |
и X =Л |
||
(5.3.26)
где
\ r Z k l - Z ^ +
\ |
l |
\ |
ч / W ~ 2 \ T |
+ 2 Zz/ ? c ^ i № j t l - z |
\ h |
x '___________ |
|
|
|
|
Z2J / l i t |
- Z z j - a i c t g ^ : - - f £ и ( х * + Z z2 j )
(5 .3 .2 7 )
162
Нетрудно показать, что при X |
= 0 |
выражения |
(5 .3 .25) |
|||||||||||
и (5 .3 .26) равны |
нулю, что соответствует неподвижной гра |
|||||||||||||
нице X |
= 0. |
При 2 |
=>7 |
выражения |
(5 .3 .23) |
и (5 .3 .25) дают |
||||||||
ЭК /0 г = |
0 , |
|
а |
из |
(5 .3 .24) и |
(5 .3 .26) |
следует |
|||||||
Yi - |
0 |
при |
£ |
= |
I, |
что |
также |
соответствует |
заданным ус |
|||||
ловиям. |
Из (5 .3 .23) и (5 .3 .24) |
получаем |
д У / д х |
=О |
||||||||||
Йри X = 0 (свободная поверхность). |
Кроме того, отметим, |
|||||||||||||
что при |
свободной |
поверхности X = |
0 |
и |
4о |
|
не за |
|||||||
висящем от X, результаты также не зависят от X и являются |
||||||||||||||
только |
функцией координаты |
£ |
|
и времени. |
|
|
||||||||
На рис. |
28 |
приводятся |
результаты |
расчетов при |
||||||||||
Уо Ш= Я - GmY |
для. задачи |
с жестко закрепленной |
границей |
|||||||||||
X = 0. Показаны оба случая для нижней границы слоя - а)случай закрепленного основания , б)-случай свободного основания. На пряжения в каждой точке среды имеют знакопеременный харак тер в зависимости от расстояния до границы X = 0 , причем изменяются скачкообразно в момент подхода отраженных и дифрагированных волн, а в промежутках между этиия момента
ми изменяются |
непрерывно. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Воздействие касательных напряжений на поверхность |
|||||||||
|
клиновидного |
слоя |
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим упругий двухкамповентвый слой клиновидной |
|||||||||
формы, лежащей на жестком основании |
|
|
, |
ЗС&О |
||||||
и имеющий свободную поверхность |
JC |
О |
, |
% =0 [ 6]. |
||||||
|
Пусть на свободную поверхность воздействуют касатель |
|||||||||
ное |
напряжение |
/ 0 (?) |
f |
направленное |
|
параллельно оси |
||||
У |
В рассматриваемой области возникают перемещения толь |
|||||||||
|
||||||||||
ко в |
направлении оси |
у |
и соответствующие |
им касательные |
||||||
напряжения, которые |
от |
у |
не |
зависят. |
Задача |
также яв |
||||
ляется двумерной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Граничные |
условия |
задачи |
будут |
следующими: |
|
||||
163
Рис.28
164
при % -0
Ц / < = Ш ) |
Ж _ 4 г ( Ъ ) |
|
||
9 2 |
J * |
’ <?2 |
J “ " |
( 5 . ^ . 1 ) |
при % - X't^cC‘
I)в случае отсутствия трения
Ж |
- |
0 |
^ |
- о |
( 5. 4. 2) |
д п |
|
|
d h |
|
|
2) в случае |
отсутствия перемещений |
|
|||
|
V |
i |
, |
У г - ° . |
(5 .4 .3 ) |
В задаче мы вновь воспользуемся методом Вольтерра, причем для получения замкнутого решения будем полагать
o L - J / к , |
где |
К - |
целое положительное число. С практи- |
||||
чеоной точни |
зрения это не ограничивает общности метода |
||||||
и получаемых результатов. |
|
||||||
|
|
Для применения обобщенной формулы Вольтерра расомот* |
|||||
рим точки: |
£v = Тсо |
|
|||||
|
хг-- х2. |
|
х 0 См [г Е |
{-iho$;»[гЕ( > |
|||
|
ц = - z Zj h |
|
£ i * k E ( t y * h i - i h o G* |
||||
где |
Е()Г) |
- |
целая |
часть |
/fi |
||
|
|
Если провести из этих точен конусы влияния |
|||||
|
|
Сft - TioУ2 -(х -x Sj ) z- (Ъ - Z£j ) z~ 0 |
|||||
до |
пересечения |
о обеими поверхностями клина в пространстве |
|||||
( |
X , |
£ , t i |
), |
то с |
учетом соотношений типа (5 .4 .10) и |
||
( 5 .4 .II)- |
получаем: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
в |
первом |
случае |
165
во втором случае
где
|
|
|
t- - 1 . Z |
, |
|
(5 .4 .6 ) |
frcj |
- |
часть |
поверхности % |
=0/ £ > О |
отсеваемая |
|
рассмотренными конусами |
влияния; |
Y\i - число, учитываю |
||||
щее влияние |
волн, |
отраженных от |
поверхностей |
% -0 |
||
и |
|
|
|
|
|
|
Если угловая течка клина не захватывается конусами
влияния, |
то |
~ ttiJXo.JCo |
|
если угловая точка вли |
|||
яет на результаты, то. |
|
= К - |
I , |
то |
есть не зависит |
||
от точки |
( Т о , |
Z0 , t'roJ, |
причем |
всегда |
П;(х0Х о ^ о ) ^ ^ Г ^ ■ |
||
Например, при К = |
2 |
имеем лишь |
две |
волны: |
|||
плосную и дифрагированную от угла. |
|
|
|||||
При |
4 о ( ^ ) = Р о - |
C otbif |
|
в предположении, что |
|||
угловая точка влияет на волновую картину, получаем следую
щие результаты: |
x t g a - |
I) при свободной поверхности |
|
Г,-/ |
|
(5 .4 .7 )
166
2) при ваподвижвой поверхности X = x i ^ o t -
</'° |
(5 .4 .8 ) |
где
Ц +jf/ % Ым +
- 7 „ . n v rtn |
~ ^ г7 - - LP lr.n i* $ k f-Z b ~ ZJl .— + |
||
* |
* y |
^ |
^ |
|
|
, / ^ |
z- z s , |
■ z i zf t t d $ i U d - d j |
W |
i d |
|
|
|||
|
|
ъч Ш |
|
ъ * а ъ с Ч ^ |
~ i t & ’ C W ' - z i j ) - |
||
Щ1г - %\
L - 1,2. \
/ = / , 2 ,... , * W .
(5 .4 .9)
167
На рис. 29 приводятся результаты |
расчетов |
по этим |
||
формулам при |
& - - J / 2, , |
т . е . для случая четвертьпро- |
||
странства, при |
условиях, |
аналогичным |
исходным |
данным пер |
вого раздела настоящей главы.
В обеих рассмотренных задачах данной главы напряжения имеют логарифмическую особенность в точке х о =0, 5Ес *0,
связанную с разрывом в граничных условиях в этой дочке, причем для полосы это имеет место при неподвижной поверх
ности х = 0 , а для клина - в случае неподвижного основа ния H-X'tgc*..
ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
Сферические волны
Рассмотрим вначала задачу о распространении сферичес кой волны в двухкомпонентной (твердой и жидкой) среде, при расширении сферической полости радиуса 10 [ 33 J .
Предполагается, что компоненты перемещении, а также деформаций и напряжений являются функциями радиуса и вре мени.
Уравнения движения имеют вид:
|
|
|
|
|
(.6 . 1. 1) |
Ф, |
и |
Ф |
- |
обобщенные потенциалы |
продольных волн в |
двухкоыпонентной |
среде. |
|
|||
|
Задача |
заключается в определении |
общего решения уравне |
||
ния |
(А Л Л ) |
при следующих условиях: |
|
||
б'тг = -U- г;Ро (О
|
при X - Хо |
(6.1 .2) |
|
& - -кРс Ш |
|
- |
нормальное напряжение в твердей компоненте; |
|
6" - |
давление в жидкой компоненте; |
|
К- пористость среды. Начальные условия нулевые
После элементарных преобразований система (6 .1 .1) при ведется к виду:
|
|
169 |
|
|
A ' * |
Q\ |
1ft* > & ^ |
. |
(6.1.3) |
Здесь |
и |
в дальнейшем функции ^ |
^ , Ф , и |
Фг свя |
заны соотношениями:
(6.1.4)
где
ф:3,2 м н н & ю М н г * ш и № е ^ б я . й » Ш г а , )
В уравнениях (6.1.3) и 0г - скорость распростра нения продольных волн I и II типов. Их выражения через уп ругие константы среды имеют вид:
г И л + 2 /! ') ц - ^ г] |
а |
|
$£,2'1
W f u - Щ г~ и + ^ )/ гг±
Очевидно, уравнение (6.1.3) имеет общее решение:
(6.1.3)
< Г г = Ш - * £ ) .
Подставляя (6.1.5) в граничное условие (6 .3 .2 )полу
чим:
^ |
W + m t Ш + % Ш + n U O = |
|
|
-L K~i)p0 а ) |
/ |
У\Л1Ш |
л П г Ш * ) = - К % tt). |
(6 . 1. 6 ) |
|
||
Начальное |
условие выполнится, если |
|
I / ( W < L = f f L r | f L = o |
(6 .1 .7 ) |
|
Система уравнении (6.1.6) при начальных условиях (6.1.7) имеет решения: