книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

Глава III

Границы применимости дифференциальных уравнений движения сплошных сред

§ 1. Вводные замечания и определения

Как следует из результатов предыдущей главы, движение та­ ких сплошных сред, как твердое тело, пленка, нить, ламинарная вязкая жидкость, может исследоваться с помощью минимизации функционала (II—4—1), при этом в силу принципа освобождае­ мое™ от связей каждая связь порождает тензор напряжений со­ ответствующего типа; но в силу тех или иных уравнений состоя­ ния тензор напряжений в свою очередь оказывается зависимым от параметров, характеризующих связь. Таким образом, возни­ кает схема

С-^срДГ), Т -+ Ъ {С), т. е. Ф(С)-*0. (III—1—1)

Здесь С — символ связи, Т-—тензор напряжений. Спрашивается, будет ли иметь единственное «решение» символическое уравне­ ние (1)? При положительном ответе на поставленный вопрос можно говорить об устойчивости структуры сплошной среды, т. е. об устойчивости ее связей, в противном случае следует счи­ тать структуру сплошной среды неустойчивой. Другими словами, речь идет о том, насколько согласованы область задания урав­ нения состояния и область соответствия между типом связи .и типом тензора напряжений. Эти наводящие соображения дают основание для следующего определения: под областью структур­ ной неустойчивости понимается та область параметров сплошной среды, при которой в силу уравнений состояния исходные связи становятся недетерминированными, т. е. разрывными в любой бесконечно малой окрестности каждой точки соответствующей области среды; при. этом «решение» символического уравнения

(1) в классе детерминированных связей заданного типа отсутст­ вует.

Дадим математическое определение неустойчивости струк­

61

шению непрерывной зависимости между начальными отклоне­ ниями производных от определяющих функций Gij и последую­ щими значениями этих производных в процессе невозмущенно­ го движения; при этом нарушение такой непрерывности сопро­ вождается «выходом» производных dmG/dqjh dqim~h из класса ку­ сочно-непрерывных функций, что связано с разрушением исход­ ных детерминированных связей.

Заметим, что введенная здесь неустойчивость предполагает выполнение соотношений (3) при t<J*, причем t* может быть сколь угодно мало. С математической точки зрения эта неустой­ чивость соответствует некорректности математической постанов­ ки соответствующей динамической задачи в классе кусочно-не­ прерывных функций.

§ 2. Вывод достаточных критериев неустойчивости структуры сплошной среды1

1. Основная теорема. Рассмотрим произвольную систему урав­ нений с постоянными коэффициентами

(У — 1, 2,.. ., пфт) при t = 0, 0<!)»,, ф2, <Ьз<4>*-

Будем полагать, что соотношения (2) удовлетворяют граничным условиям уравнений (1). Отвлекаясь от конкретного вида этих

62

граничных условий, положим, что ряд соответствующих собст­ венных чисел Яо(1), У 2>,... не ограничен сверху.

Решение системы (1) может быть записано в виде

причем коэффициенты Bih определяются коэффициентами систе­

мы (1) и значениями hi-

Очевидно, что для каждого фиксированного значения k+ име­ ется такое значение /+, что Bj+k+=£0.

Помимо соотношений (4) и (5) рассмотрим вспомогательные со­ отношения

63

а значит, не зависят от А0 и коэффициенты Bjh*, ai*, определяе­

Положим, что среди чисел Ад* имеются комплексные. Вследст­ вие вещественности коэффициентов а1ц, Ьц уравнений (1) число комплексных корней четное и в каждой паре этих корней есть такое А*й , для которого 1тА*Л+<С0.

Выберем число т, фигурирующее в формулах (8), таким об­ разом, чтобы в соответствии с формулами (9) имело место не­ равенство ай+=Л=0. Нетрудно убедиться в том, что такая возмож­

ность есть всегда, так как матрица (Bjk) неособая. Действитель­ но, рассмотрим k+-\o строку матрицы (Bjk)~l. Среди элементов этой строки обязательно найдется ненулевой элемент. Пусть этот элемент соответствует р-му столбцу. Выбирая т —р, придем к не­ нулевому значению а*+. Выше отмечалось, что для каждого k+

можно найти по крайней мере такое значение /+, что Bj+ll+^=0. Выберем из формулы (13) решение для щ+, которое можно запи­ сать так:

причем соотношение (16) имеет место при любых ф* и t, т. е. при любых областях D. Ход рассуждений не изменится, если среди корней Ай есть кратные. При этом коэффициенты Bjk будут мно­ гочленами от t, что не повлияет на условие (16).

Сформулированный результат получен при «искусственных'» начальных условиях, определяемых из соотношений (10) при f = 0:

64

Добавим к начальным условиям (18) начальные условия (17). Выбирая Л,о достаточно большим, можно сделать изменения на­ чальных условий (18) настолько малыми, что они не будут выхо­ дить за пределы точности их задания. Однако решение исходной системы (1) на основании принципа суперпозиции приобретает вид

с начальными условиями будет наличие мнимых скоростей рас­ пространения колебаний больших (Ко-*-00) частот.

Заметим, что при доказательстве возмущенное движение (3) было принято зависящим только от фь т. е. рассматривалось рас­ пространение колебательного режима в направлении орта ть со­ ответствующего ф]. Совершая преобразование координат, можно направление ti совместить с любым заранее заданным направле­ нием и провести доказательство в той же терминологии. В связи с этим следует подчеркнуть, что скорости распространения коле­ баний больших частот, вообще говоря, будут зависеть от ориен­ тации орта Ть Поэтому при формулировке достаточного условия для неустойчивости в классе дифференцируемых функций реше­ ния системы (1) имеется в виду существование конуса, обладаю­ щего свойством, что если орты %i лежат внутри него, то скоро­ сти распространения колебаний больших частот в направлении ti мнимые.

До сих пор рассматривалась линейная система (1) с постоян­ ными коэффициентами. Однако, как видно из гл. II, уравнения динамики сплошной среды образуют квазилинейную систему, т. е. систему, линейную относительно старших производных, но нелинейную относительно самих искомых функций.

Поэтому рассмотрим квазилинейную систему. Для этого до­ статочно считать в (1) коэффициенты а1ц, Ьц зависящими от и3, фг, t. Будем полагать, что эти зависимости представляются ана­ литическими функциями. Как будет видно из дальнейшего, такое предположение справедливо для достаточно широкого класса

сплошных сред. Линеаризуем систему относительно некоторых невозмущенных значений при ф;=фг° (/=1, 2, 3),t=tQ. В ре­ зультате придем к линейной системе с постоянными коэффициент тами типа (1), которая будет «близка» к исходной квазилиней­ ной системе при «достаточно малых» t—10, фг—фД Uj—-щ°.

Полученные выше результаты а потере устойчивости оста­ ются справедливыми для сколь угодно малых областей £); поэто­ му они останутся справедливыми и для квазилинейной системы в этой же области с той лишь разницей, что здесь следует до­ вольствоваться более слабым утверждением, а именно: из усло­ вия 1f=o — следует AWj>6o>0, где 6о— достаточно малоефиксированное число, так как при Ды3-->-оо линеаризованная си­ стема может существенно отличаться от исходной.

этот же результат имел бы место и в линеаризованной системе. Таким образом, если система (1) квазилинейна и в некоторой достаточно малой окрестности D имеет мнимые скорости распро­ странения колебаний больших частот, то ее решения в задачах с начальными условиями неустойчивы в классе дифференцируе­ мых функций. При этом, конечно, предполагается, что имеют ме­ сто существование и единственность этих решений при соответ­ ствующих граничных условиях в классе дифференцируемых функций. Возвращаясь к первому равенству из (11), нетруднозаметить, что корни характеристического уравнения определяют тип исходной системы (1), причем возникновение неустойчиво­ сти связано с перерождением гиперболической системы уравне­ ний в эллиптическую или ультрагиперболическую.

Отметим, что критерии введенной неустойчивости зависят только от коэффициентов при старших производных в соответст­ вующих уравнениях динамики (которыми определяется тип си­ стемы) и не зависят не только от остальных коэффициентов, но и от начальных и граничных условий. Таким образом, введенная неустойчивость отражает весьма общие свойства сплошных сред,, свидетельствуя о неустойчивости самой структуры соответствую­ щей модели.

Обратимся снова к решению системы (1), записанному в фор­ ме (19), предполагая, что 1m Xh<0 при k = k*. Выберем последо­ вательность моментов времени Д стремящуюся к ^0=0, и соот­ ветствующую последовательность Яог—»-оо, в силу чего последо­ вательность начальных условий «/ стремится к нулю. Свяжем элементы последовательностей U и V соотношением

*1= 1п (**W ) 0 при V -* °° ■

Как следует из (19), для каждого значения I можно выбратьтакое достаточно малое число- гг иг такое достаточно большое чис­ ло Nb что

66

Другими словами, можно выбрать такую стремящуюся к нулю последовательность моментов времени, что полученное решение системы уравнений типа (1), записанное в форме (19), будет стремиться к решению исходной квазилинейной системы, и тем не менее модули производных от решений по всем аргументам будут в любой точке области D, кроме t=0, ф! = яот (т — любое целое число), стремиться к бесконечности, причем величины этих производных, неограниченно увеличиваясь, с бесконечно боль­ шой частотой меняют знак как при изменении фь так и при из­ менении t. Следовательно, движение соответствующей сплошной среды в зоне неустойчивости сопровождается нерегулярными пульсациями, «плотно» распределенными в области D, при кото­ рых разрывы производных от решений системы «непрерывно» распределены в этой области. При этом функции и (ф*, t) стре­ мятся выйти из класса кусочно-непрерывных функций.

2. Критерии структурной неустойчивости для сплошных сред

Как показано в гл. II, § 3, классические уравнения динамики сплошных сред являются дифференциальными квазилинейными уравнениями с частными производными по координатам и време­ ни первого порядка от величин дг/dt и дг/дф*, проекции которых на координатные оси могут быть приняты в качестве переменных иь фигурирующих в системе (1). Поэтому появление мнимых скоростей распространения высокочастотных возмущений вели­ чин д2г/dt2 приводит к потере m-кратной дифференцируемости Gij, а следовательно, к разрушению связей, гарантирующих су­ ществование сопутствующей системы координат соответствую­ щей сплошной среды. Нетрудно показать, что скорости распрост­ ранения высокочастотных возмущений d2r/dt2 соответствуют ско­ ростям распространения разрывов [d2r/dt2]. Для этого рассмот­ рим систему (1)

ди

dt + aJ-^J + bu: :0.

Пусть на некоторой поверхности r = r (q h q2,t) возник разрыв производных du/dt, du/dtyu ди/дфг. Перейдем к новым координа­ там <7ь q2, <?з, причем ось q3 совместим с нормалью к поверхности разрыва N. Учитывая, что в этом случае [d/dqi]—[d/dq2]=0, полу­ чим

[dujdt]=—X [du/dq3], где X— скорость распространения поверхно­ сти разрыва, и полагая [д«/д<73]=й=0, придем к характеристическо­ му уравнению для определения X:

5* 67

det{)J- a^ } = 0’

где I — единичная матрица. Если нормаль к фронту волны сов­ падает с осью т. е. 5<?з/йф2= ^з/^Фз=0, <Э<7з/дф1= 1, то послед­ нее уравнение совпадает с характеристическим уравнением (11).

§ 3. Геометрия распространяющейся поверхности разрыва

Перед тем как воспользоваться критериями структурной не­ устойчивости сплошной среды, полученными в предыдущем па­ раграфе и опирающимися на скорости распространения разры­ вов, изучим вначале особенности движения самой поверхности разрыва.

Возвратимся к системе (2—1) и допустим, что хотя бы один из корней X характеристического уравнения этой системы веще­ ственный в некоторой области и соответствующая ему характери­ стическая поверхность имеет вид

Это соотношение может рассматриваться как уравнение поверх­ ности фронта волны, движущейся с характеристической ско­ ростью X. Положим, что dr/dt = v, dr/dt-dr/dqi = 0 (i= 1, 2). Тогда для скорости движения поверхности справедливо соотношение

Положим, что в рассматриваемый момент времени кривая раз­ рыва поверхности совпадает с координатной линией q\, причем в зафиксированной на этой линии точке нормаль к линии разры­ ва п, перпендикулярная к N, является касательной к координат­ ной линии <7гДопустим также, что в этой точке |дг/д<72| = 1. Та­ кие ограничения не умаляют общности постановки задачи ввиду известного произвола в выборе гауссовых координат на поверх­ ности.

Тогда [N]-n = —N-[n], причем X/[n]= XI[5r/592]= —[dr/dt] =

= —[v]. Здесь X' — скорость распространения линии разрыва по­ верхности (1), направленная по нормали п. Умножая (3) ска-

лярно на N и учитывая, что N-[N]=0, получим [v]- N = [N]-gradwX, следовательно, [N]-gradX=—X' N-[n] = A/ n • [N], т. e. (gradjyX—

68

Поскольку скорость (4) является характеристической, то с этой же скоростью распространяются и разрывы [<?2г/д<722]> т. е. раз­ рывы формы поверхности (1), причем эти разрывы могут быть не обязательно малыми. Следует, однако, заметить, что в силу результатов гл. I, § 4 линия разрыва формы должна быть асим­ птотической для поверхности (1).

Ввиду нелинейности формулы (2) конечные разрывы [v] и [dr/dq^ будут распространяться со скоростями, отличными от ха­ рактеристических. Исследуем с этой точки зрения возможность «самозарождения» разрывов [v], [dr/dq^ в результате накопления слабых разрывов, т. е. разрывов формы поверхности (I). Поль­ зуясь методом Римана и учитывая, что линия разрыва формы переносит разрывы [dN/d'z1], направленные по п, придем к усло­ вию возникновения ударных волн:

Исследуем распространение разрывов формы самой линии раз­ рыва поверхности (1), которая, как было показано выше, долж­ на быть асимптотической. Пользуясь аналогичными рассужде­ ниями и заменяя N на п, а п на т, придем к формуле для харак­ теристической скорости распространения малых изломов линии разрыва поверхности (1) или конечных разрывов ее формы (т. е. разрывов геодезической кривизны линии разрыва)

I" = х • grad,, >/ = х ■grad,, (n • gradjVX). (Ill—3—6)

Условием «самозарождения» конечных изломов этой линии в ре­ зультате накопления разрывов формы является следующее:

x-grad„ {(N X п) • grad,, (n-grad VX)} > 0. (Ill—3—7)

Итак, при одновременном выполнении условий (5) и (7) на поверхности фронта волны (1)' возникают разрывы в виде «хреб­ тов», а на последних возникают разрывы в виде «пиков».

Отметим, что полученные ударные волны имеют чисто гео­ метрический смысл, характеризуя конфигурацию той области аргументов, в которой рассматривается движение среды.

С интересующей нас точки зрения возникновение ударных волн типа «хребтов» или «пиков» на поверхности разрыва приво­ дит к неоднозначности характеристической скорости распростра­ нения поверхности разрыва в точках среды, через которые про­ ходит вышеупомянутый «пик» или «хребет». Таким образом, ес­ ли заданная в некоторый начальный момент поверхность разры­ ва в фиксированной точке непрерывно дифференцируема, но

69