книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

имеет разрыв вторых производных от радиус-вектора по коорди­ натам, т. е. разрыв формы, то через некоторый интервал време­ ни может возникнуть неоднозначность характеристической ско­ рости распространения этой поверхности вследствие появления разрыва нормали к ней. Если же исходная поверхность разрыва в начальный момент дважды непрерывно дифференцируема, то неоднозначности характеристической скорости ее перемещения возникнуть не может, так как дифференциальные уравнения дви­ жения этой поверхности линейны относительно производных dnr/dqin при п > 1, и, следовательно, «самозарождение» разры­ вов dnr/dqin в результате накопления разрывов dn+1 r/dqin+l не­ возможно.

§ 4. Границы применимости классических уравнений движения нити

1. Характеристические скорости распространения волн в нити.

Будем исходить из принципа Гамильтона в форме (II—1—8) и после введения неопределенных множителей Лагранжа полу­ чим

Здесь F', F" — соответственно мертвые и следящие силы. Представим движение нити в виде суммы возмущенного и не­

возмущенного движений: г= г0+Дг, причем возмущения будем считать малыми. Варьируя только возмущенное движение и учи­ тывая преобразования гл. II, § 2, п. 1, вместо (1) будем иметь

A 9i

+ Д F" 8 Д г* dq| d t— 0.

Подынтегральное выражение первого внутреннего интеграла и подстановка равны нулю в силу уравнений невозмущенного дви­ жения. Поэтому

70

Положим, что возмущенное движение начинается со скачкооб­ разного изменения производных <9r/dt и dr/dq. Учитывая кинема­ тические соотношения на фронте разрыва (I—2—47), получим

{dAr/df]=—7,[dAr/dq], б [<?Дг*/д/]=^- Аб [d^r*/dq], где А,— скорость распространения разрыва по нити. Полагая, что вариации б [■••] обращаются в нуль на концах участка q\, qo и в моменты време­ ни t\ п t% получим из (2)

Для существования ненулевых разрывов [дДг/дд]-п° и [5Дг/^]-Ь°, где п°, Ь° — нормаль и бинормаль невозмущенной нити, необхо­ димо, чтобы рА,2=7'°, т. е.

Ч * = ± V t • (III 4 7)

Таким образом, Ai, 2 в (7) представляет собой скорость распрост­

[й3]= 0. Таким образом, рассматриваемый разрыв состоит в том, что соприкасающаяся плоскость поворачивается на некоторый конечный угол ф относительно касательной т.

Используя уравнение движения нити в виде

получаем

Здесь F2" — проекция следящей силы F" на нормаль n, b* — пер­ пендикуляр к биссектрисе угла между нормалями до и после разрыва.

Из (8) получается выражение для скорости

распространения волны «закручивания» нити, переносящей раз­ рывы угла поворота соприкасающейся плоскости.

.Положим, наконец, что [Г]=^0. Тогда из (4) с учетом (5) по­ лучим pA,2[ft] = [7т], где dr/dq = x-f. Следовательно,

(о)2/ ' — Т') т' = (Pl2f — Т") 1", (III—4—10)

Очевидно, что Яб,б является скоростью распространения продоль­ ной волны растяжения. Ограничиваясь случаем малых возмуще­ ний растяжений [f] и предполагая материал нити идеально упру­ гим, получаем

Если в (10) положить [т]=^=0, то рЯ2/'—T' = pXzf"—Т"—0, и снова приходим к формуле (12).

Итак, в упруго растяжимой нити возможны лишь три системы волн и соответственно три характеристические скорости их рас­ пространения; эти скорости определяются формулами (7), (9) и (12). Заметим, что при выводе скоростей (7) и (9) не делалось предположений о малости переносимых разрывов, а при выводе скорости (12) малость переносимых разрывов была существенна.

Если нить движется по поверхности, то формулы (7) и (12) для скоростей сохраняются. Скорость (9) сохраняет свой вид лишь тогда, когда нить располагается по геодезической кривой поверхности. В противном случае

Формула (13) отличается от (9) тем, что вместо полной кривиз­ ны нити й 3 здесь фигурирует геодезическая кривизна Qr, a Р2*

72

является проекцией F" не на главную нормаль, как в (9), а на нормаль к нити, лежащую в касательной к поверхности плоско­ сти и образующую острый угол с главной нормалью нити.

Отметим особенности распространения волн разрывов в гиб­ ком шланге. Сохраняя обозначения гл. II, § 3, п. 5 и учитывая, что

в предположении несжимаемости жидкости [ц'] = 0, получим

|рХ2 + р' (X— ц'о)3|

откуда следуют три системы волн разрывов и соответствующие им три характеристические скорости

для волн поперечного разрыва, волн «закручивания» и волн рас­

2. Критерии структурной неустойчивости движения нити. Сопо­ ставим результаты предыдущего пункта с результатами § 2. Ес­ ли искать малые возмущения Дг в виде, аналогичном (2—3):

Дг = Дг0 exp Х0г

то придем к характеристическим соотношениям (5) относительновеличин [dtkTjdq\-n и [дДг/д<?]-Ь, т. е. относительно величин «из­ ломов» нити. Напомним, что при выводе этих соотношений не делалось предположений относительно малости изломов нити. Поэтому результаты § 2, п. 1 полностью могут быть отнесенцг к данному случаю, и, следовательно, при условии К О , вытекаю­ щему из (7), имеет место оценка

73

причем

Таким образом, сжатая нить становится нигде не дифферен­ цируемой, хотя остается непрерывной. Ее форма принимает пи­ лообразный профиль с «зубцами» бесконечно большой частоты и бесконечно малой высоты. При этом углы при вершине зубцов могут быть достаточно малыми вплоть до нуля.

Интересно отметить, что в классе таких функций нить может «свернуться» в точечный комок без нарушения условия нерастяжимости. Однако для практических целей удобнее перейти к ре­ шениям, являющимся в некотором смысле обобщенными и со­ держащимся в классе достаточно гладких функций. С этой целью заключим мысленно нить в воображаемую бесконечно тон­ кую трубочку, которая будет полностью «вмещать» нить, оста­ ваясь непрерывно дифференцируемой кривой, ввиду бесконечно малой высоты «зубцов» нити; другими словами, нить и трубочка будут совпадать « в среднем» на любом сколь угодно малом, но конечном участке. При этом следует, конечно, отказаться от условия |dr/ds| =1, если радиус-вектором г фиксировать поло­ жения точек трубочки, так как расстояния между точками нити, отсчитываемые вдоль трубочки, будут уменьшаться, и, значит, | dr/ds | < 1. Поскольку это неравенство означает отсутствие гео­ метрической связи, реакцией которой является натяжение, то на­ тяжение Т < 0, имеющее место в модели нити, не войдет в урав­

Если F = F (s, t), то из этого уравнения сразу получается закон движения точек трубочки

Здесь r0 (s), v (s) — координаты и скорость точек нити в тот мо­ мент, когда на участке s i< s < s 2 возникает отрицательное натя­ жение.

Уравнение (18) справедливо до тех пор, пока |d r/d s|< l. На

движения нити. Однако для отыскания истинного (а не обоб­ щенного) решения задачи о движении нити в области сжатия следует воспользоваться непосредственной минимизацией функ­ ционала, например, в форме (II—1—4) при условии непрерывно-

74

сти (но не обязательно дифференцируемости) функции г (q,t). Подчеркнем, что исследование движения нити в области сжатия представляет определенный практический интерес, так как сжа­ тое состояние нити не противоречит ни одной из аксиом механи­ ки и часто реализуется при работе тех или иных конструций. Так, например, если одну из точек закрепления весомой нити, подве­ шенной в двух точках и имеющей форму цепной линии, начать резко перемещать вниз (удар по опоре), то возникнет область, для которой Г<0. Точно те же явления, что и со сжатой нитью, происходят с гибким шлангом при условии, вытекающем из (14):

Как видно, это условие более слабое, чем для нити, и выполня­ ется даже при растяжении шланга, если достаточно велики дав­ ление жидкости в нем и скорость протекания этой жидкости. Для исследования гибкого шланга в области (19) необходимо перей­ ти к непосредственной минимизации функционала (II—1—4).

Итак, границами применения дифференциальных уравнений движения нити (и соответствующих им интегральных уравнений в форме (1)) являются неравенства Т< 0 или неравенства (19), которые, кстати говоря, не зависят от свойств материала нити.

3. Критерии неустойчивости формы нити. В рассуждени предыдущего пункта была использована лишь характеристиче­ ская скорость распространения поперечных волн. Обратимся те­ перь к скорости волны «закручивания» (9) или (15). При выво­ де этих скоростей также нигде не оговаривалась малость разры­ вов угла закручивания ср, так что относительно этого угла прохо­ дят рассуждения предыдущего пункта, и, следовательно, при вы­ полнении условий

плотные разрывы угла закручивания ср. Таким образом, при вы­ полнении условий (20) становится недетерминированной форма нити или шланга (в частности, кручение формы, а следователь­ но, и положение осей естественного трехгранника); поэтому ста­ новится недетерминированной и сама сила F", если ее задать про­ екциями на оси естественного трехгранника. Для отыскания истинного решения следует обратиться к прямой минимизации функционала (II—1—7).

Итак, дополнительными границами применимости дифферен­ циальных уравнений движения нити (и соответствующих им ин­

75

тегральных уравнений) являются условия (20), которые не зави­ сят от свойств материала нити.

Характеристические скорости распространения продольных волн (12) и .(16) не являются специфическими для нити, и их изучение будет проведено в последующих параграфах при изу­ чении упругого твердого тела и идеального газа.

4. Случай нулевой характеристической ркорости. При иссл довании характеристических скоростей нити (7) и (9) рассмат­ ривались случаи, когда выполняется точное неравенство Г<0. То же относилось и к гибкому шлангу (неравенства (19)). Можно показать [11], что при выполнении неравенств противоположного знака соответствующие дифференциальные уравнения малых возмущений корректны в классе дифференцируемых функций, п возникающие в силу начальных условий локальные разрывы со­ ответствующих параметров остаются локалвными и в дальней­ шем, имея при этом вещественную (характеристическую) ско­ рость распространения. Однако остается неясным предельный случай, когда характеристическая скорость оказывается равной нулю. С целью исследования такого случая рассмотрим один интересный пример.

Рассмотрим нерастяжимую гибкую нить, имеющую в невоз­ мущенном состоянии малую кривизну и малое кручение формы. Исследуем вопрос о единственности н устойчивости решения за­ дачи о малых возмущениях для случая, когда один конец нити свободен [14].

Будем исходить из векторного уравнения динамики нити pd2rfdt2 = d/ds (Т dr/ds)-{-F, |dr/<3s| = l. Здесь р — плотность, г — радиус-вектор точек нити, Т — натяжение, F — внешние силы, s — дуговая координата, t — время.

Для малых возмущений Дг и АТ следует (dr0/ds) • (dAr/ds) =0,

рд2Дг dt2 — д ds (Т0д Ar ds) д ds (Д Т drn ds). (а)

Здесь T0(s), г0(s )— невозмущенные значения Т и г. Разложим возмущение Дг по натуральным осям т0=т(1), п0=т<2>, &0= tt3>, со­

ответствующим форме нити в невозмущенном состоянии: Дг= = Дгг--т«.

Положим вначале, что форма нити в невозмущенном состоя­ нии близка к плоской, т. е. величины dbQ/ds, d2b2/ds2, d20r/ds2, dn°/ds имеют тот же порядок малости, что и возмущения Дг, АТ. Тогда, умножая (а) скалярно на Ьо, получим

(б)

Таким образом, бинормальные малые возмущения могут изу­ чаться независимо от остальных.

Если форма нити в начальном состоянии имеет еще и малую кривизну, т. е. величины dxQ/ds имеют тотже порядок малости,

76

существует единственное решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям [12]:

Тогда второе граничное условие в (г) отпадает. Покажем, что и в этом случае единственность решения обеспечивается, правда, при некоторых ограничениях.

Следуя [12], допустим, что существуют два решения рассмат­

77

I

dE d t — ^ dw,c^[ p d'lw:df- — djds (TQdwtds)l ds = 0.

В отличие от [12] из (е) здесь еще не следует, что w (s, t) = 0, так как имеют место более слабые неравенства, чем в [12], а именно

И только если искать решение в классе функций, в котором про­ изводная dw/ds непрерывна в замкнутом промежутке

из (е) вытекает единственность решения.

Такое своеобразие поставленной задачи связано с тем, что исходное уравнение является гиперболическим в открытом про­ межутке 0 ^ 5 < /, но вырождается в параболическое в закрытом промежутке

^ > = Т 1 М ^ Г + Ч ^ ) > = Т | И ^ Г +

фронтов волны'разрыва производных d2Ar3/dt2 и d2Ar3/ds2, при­ чем Si = Si°, S2=S2° при ^=0.

•Очевидно, что Дг3= 0 при s<si и s> S 2-

Из дифференциальных уравнений характеристик

dSi/dt= + Y Т0/р, ds2jdt= ± Y Т01р

находим уравнения характеристик, проходящих через si0 и S20:

78

При s\,i = l в силу (д) имеет место особое решение, совпада­ ющее для обеих характеристик. Могут представиться два слу­ чая.

1°. Несобственный интеграл

которая имеет место при сколь угодно малых начальных усло­ виях.

Эта оценка свидетельствует о некорректности постановки за­

Сформулированный результат получен при частных началь­ ных условиях (ж). Однако, пользуясь принципом суперпозиции для исходного линейного уравнения и добавляя к произвольным начальным условиям условия (ж), которые могут сколь угодно мало отличаться от нулевых, придем к той же оценке.

Рассмотренная задача получилась в результате линеариза­ ции исходной физической задачи, поэтому математическую фор­ мулировку неустойчивости следует ослабить и записывать в ви­ де

■д^[3 ■> 8 > 0 при ®(s) -» 0.

Физическим проявлением отмеченной выше неустойчивости будет резкое повышение скоростей точек нити вблизи свободно­ го конца (щелчок кнута). Сходимость интеграла (и) имеет ме­ сто в большинстве практически важных случаев, в частности, в случае, когда однородная весомая нить имеет прямолинейную

любое возмущение, возникшее в промежутке О<As<A в конечном интервале времени не достигает свободного конца, и любое воз­

79