книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

Fu= —pdv/dt. Появление нового вектора v требует привлечения дополнительных соотношений, а именно кинематических соотно­ шений совместности перемещений и поворотов (I—2—41), (I—2—43). Таким образом, к замкнутой системе уравнений ста­ тики § 2, п. 3 добавляются двенадцать скалярных уравнений, со­ держащих двенадцать новых переменных Vi, TV. Тем самым замкнутость уравнений динамики выполняется. Граничные усло­ вия полученной системы с частными производными первого по­

ния ламинарной вязкой жидкости, строго говоря, нельзя полу­ чить из уравнений равновесия (2—4), так как в процессе движе­

шем уравнения связи (I—3—18) в виде S[(dv*/dxj) • (dv*/dXj)] = 0;

умножим этЮ выражение на неопределенные непрерывные ска­

Проделав здесь те же преобразования, что и при выводе (2—4), получим

связывающих компоненты тензора напряжений Т и тензора ско­ ростей деформаций С, которые выражаются через производные по координатам от проекций v в соответствии с (I—3—10), а также с учетом соотношений, связывающих плотность и давле­ ние: ф=ф(р,р). Эти уравнения позволяют определить поле ско­ ростей и поле тензора напряжений ламинарной вязкой жидкости. Если в уравнение состояния входит температура, то следует до­ бавить еще уравнение баланса энергии и уравнение теплопровод­ ности.

Заметим, что в уравнениях (2) скорость v детерминирована в пространстве D, но не в пространстве D0, т. е. функция v (г0, f) может оказаться всюду разрывной. Поэтому ускорение а в этом случае следует вычислять по схеме (I—3—14).

50

новесия (2—4) путем добавления сил инерции, так как в идеаль­ ной жидкости сопутствующая система не определена; поэтому не­ справедливы вариационные формулировки типа (1—8). Обра­ тимся к основной функциональной формулировке принципа наи­ меньшего принуждения, записанного в форме (1—5). Будем ис­ ходить из представления v* = vc*+vr*, v+= v+c-j-v+r, где vc*, vr* —

и уравнения состояния. Если последнее содержит температуру, то необходимо добавить уравнения теплопроводности'и теплово­ го баланса.

Результатом минимизации должно явиться нахождение ис­

дой точке пространства сопоставляется не одно значение скоро­ сти, а функция v (g).

Из условий (3) и (4) можно перейти к дифференциальным уравнениям для идеальной жидкости. Действителыщ, пользуясь

Учитывая, что вариационная формулировка связи для идеаль­ ной жидкости может быть записана в виде равенства

4* 51

умножим это равенство на некоторый скаляр [—р (г, f)]. Прини­ мая во внимание, что

I р div 8v* d V — \ div(/?8v*) d V — j (gradp)-b\*dV,

v v v

fdiV (jOov*) r f l/= fpn-8v*rfo,

V a

где n — нормаль к поверхности a, ограничивающей объем V, и полагая, что на этой поверхности S$v* = 0, получаем

Здесь р — гидростатическое давление.

Эти уравнения замыкаются добавлением уравнения баланса массы (4) и уравнения состояния. Если положить 5v/5£=0, то из

(5) получим уравнения Эйлера для идеальной жидкости:

тел, движущихся в идеальной жидкости, по следующим сообра­ жениям. Если вычислить кинетическую энергию идеальной жид­ кости, то можно получить соотношение

2ЭК= J J ръЧ Ы У = Ч J p |v c + v r |a rf£rfl/=

V0 ио

= J 'pv2ed V + U pI v \d 'd V ,

терминированных составляющих поля скоростей, на возникнове­ ние которых должна затрачиваться работа.

С формально математической точки зрения различие между

divv. Последний класс функций является более широким, и, сле­

меняя обозначений, под g будем понимать совокупность трех независимых чи­ сел g = {gi, | 2, |з>, O s £ ii< l, полагая, что =

52

симость может возникнуть или в силу специфических граничных, или в силу специфических начальных условий. Первый случай будет проиллюстрирован в данном пункте. Второй случай, свя­ занный с потерей устойчивости решения в классе дифференциру­ емых функций v (г), будет рассмотрен в гл. III.

Итак, классические уравнения Эйлера для идеальной жидко­ сти недостаточны для полного описания движения, так как не дают возможности определения недетерминированных составля­ ющих поля скоростей. Попытаемся дать физическую интерпрета­ цию появления недетерминиров.анных составляющих скоростей в идеальной жидкости.

Согласно классической механике сплошных сред идеальная жидкость характеризуется отсутствием Dev Г; но тогда в силу принципа освобождаемости от связей неизбежно должны возник­ нуть дополнительные степени свободы, проявляющиеся в возник­ новении недетерминированных, т. е. разрывных на трехмерных континуумах, составляющих скоростей vr. Поэтому уравнения идеальной жидкости, записанные в общепринятой форме (6), не являются полными и, строго говоря, могут использоваться лишь при условии, что вязкость, а следовательно, и компоненты Dev Т бесконечно малы, но не в точности равны нулю и получаются предельным переходом из (2). Отмеченное обстоятельство хоро­ шо иллюстрируется, например, тем, что уравнения идеальной жидкости с разрывными начальными условиями", записанные в форме (6), не имеют единственного решения; решение стано­ вится единственным лишь при введении бесконечно малой вязко­ сти.

Все приведенные выше рассуждения остаются справедливы­

щается в совокупность свободных точек, в которой нельзя про­ вести не только индивидуализацию кривых и поверхностей, но также и индивидуализацию объемов (разбрызгивание, кавита­ ция) . Для описания движения в этом случае следует обратиться к обыкновенным дифференциальным, уравнениям движения сво­ бодных точек (1—2).

В заключение данного пункта приведем пример, иллюстри­ рующий возможность изучения неклассических течений жидко­ сти посредством принципа наименьшего принуждения.

П р и м е р. Рассмотрим плоское стационарное течение идеаль­ ной несжимаемой жидкости без массовых сил с граничными ус­ ловиями v = eXr при х = ± у , где е — постоянный вектор, направ­ ленный вдоль оси z, г — радиус-вектор точек жидкости, лежащий в плоскости х, у.

Если искать решение в классе дифференцируемых функций и, следовательно, исходить из уравнений Эйлера, то комплексную

53

скорость v = vx—ivv (i— У.—1) можно выразить через комплекс­

ный аргумент z= x + iy линейной зависимостью v = 2ez, причем линии тока ф= 2еху = const суть равнобочные гиперболы, для ко­ торых координатные оси служат асимптотами. Такое поле скоро­ стей минимизирует функционал Фа в классе кусочно-непрерыв­ ных функций, причем для меры принуждения здесь справедливо неравенство

Ф а>0, (а)

так как ускорение точек жидкости в этом случае, вообще говоря, отлично от нуля.

Однако, отвлекаясь от класса кусочно-непрерывных функций, можно построить еще одно решение:

v {х+у) = v ( x ±y = 0) =const.

Здесь линиями тока будут семейства прямых x±i/ —const и, сле­ довательно, через каждую точку будут проходить две взаимно перпендикулярные линии тока, т. е. каждая точка этой области будет особой, а следовательно, поле скоростей — «всюду разрыв­ ным».

Легко проверить, что такое течение, удовлетворяя граничным условиям, не противоречит уравнению связи для идеальной жид­ кости (divv=0). Действительно, так как вдоль каждой линии тока скорость постоянна, то количество жидкости, втекающей в произвольно выделенный элемент площади, равно количеству жидкости, вытекающей из этого элемента.

Остается выяснить, какое из двух кинематически возможных движений является динамически более «выгодным» с точки зрения наименьшего принуждения.

Нетрудно видеть, что во всей области D ускорения отсутст­ вуют, что (при отсутствии внешних массовых сил) приводит к «нулевому» принуждению, т. е.

Сравнивая (а) и (б), приходим к выводу, что второй тип дви­ жения доставляет минимизируемому функционалу меньшее зна­ чение, и, следовательно, именно этот тип движения имеет место в действительности. Практически такое движение можно наблю­ дать при достаточно больших скоростях, когда влияние вязкости становится незначительным.

Ясно, что дальнейшее расширение класса функций не приве­ дет в данном случае к новому решению, так как меньшим нуля исходный функционал Фа быть не может.

Итак, одной из возможных' интерпретаций «всюду разрывно­ го» поля скоростей является совмещение двух различных полей скоростей в одном и том же континууме, получающееся в резуль­ тате пересечения двух различных потоков. Единственным усло-

54

вием, ограничивающим возможные варианты «перемешивания» жидкости, является уравнение связи (в данном случае divv = 0).

Подчеркнем, что двузначность скорости здесь относится не к индивидуализированной точке жидкости, а к точке пространст­

Рассмотренный пример подтверждает возможность изучения неклассических течений идеальной жидкости посредством прямой минимизации принуждения. В то же время этот пример иллюст­ рирует возникновение «многозначности» скоростей во всех точ­ ках пространства.

4. Модель турбулентной вязкой жидкости. Для этой модели достаточно сохранить связи, имеющиеся в идеальной жидкости, т. е. условия (4), а в случае несжимаемой жидкости.— условие div v^2 0, т. е. o£divv = 0 при divv = 0. Однако для учета диссипа­

энергии Э,- недетерминированных составляющих поля скоростей в тепло, причем х — коэффициент, отражающий турбулентную вязкость. Минимизация (3) с учетом сил F / в классе функций, удовлетворяющих связям, дает возможность изучать турбулент­ ное движение.

Таким образом, внутренние силы в турбулентной вязкой жид­ кости не образуют тензора напряжений; они представимы в ви­ де многозначного силового поля, в каждой точке которого зада­ на функция F / (g).

5. Уравнения движения нити. Эти уравнения получаются из

плотность нити, отнесенная к дуговой координате ф (см. гл. I, §4, п. 1). Замкнутость уравнений движения следует из того, что, рассматривая (2—9) совместно с кинематическими соот­ ношениями (I—4—3) и (I—4—4), (I—4—2) и уравнением состоя­ ния Т = ср (/), приходим к системе одиннадцати уравнений с част­ ными производными относительно одиннадцати величин Т, Пз, £2ь ©ь. со2, соз, 0 1 °, г>2°, V 3° , f, и\ если нить нерастяжима, то f —1, и = const, и исключаются из рассмотрения уравнения (I—4—2) и

Т= Ч>(/)•

Становимся на модели гибкого шланга, т. е. тонкой (одно­ мерной) трубочки, внутри которой протекает идеальная несжи­ маемая жидкость с заданной скоростью. В этом случае в силы

55

где и' — скорость жидкости по отношению к шлангу, г| — отно­ шение массы жидкости к массе шланга с жидкостью. В более общем случае, когда идеальная жидкость сжимаема и скорость ее и' заранее неизвестна, для получения уравнений движения будем исходить из (2—1), включая в F силы инерции. Тогда

= 8гп*’ = 8гп*, 8гь*' = 8гьг = 8гь*, то (7) можно переписать в ви­ де

I [(/У + F \) 8г*' + ( / у + Fn") Ьг* + (F b + Fb") 8г * +

+ F ".{brf — br* '))d l= 0 .

Отсюда следуют уравнения движения

рость шланга, v° = v° (гр, t), Т — натяжение трубочки, р — давление жидкости, и, и' — продольные скорости трубочки и жидкости.

В уравнениях движения гибкого шланга фигурируют допол­ нительные переменные р', и', р и добавляется лишь одно уравне­ ние (9). Для замыкания системы следует учесть уравнение со­ стояния ср (р, р') =0 и, кроме того, соотношения

6.Уравнения движения пленки. К уравнениям движения пле

56

(2—6) с учетом уравнений состояния и равенств 7’гз= Гз*=0. Привлечение кинематических соотношений совместности переме­ щений и поворотов (I—4—17), (I—4—18) замыкает . систему уравнений движения.

В случае вязкожидкой пленки к соответствующим уравнени­ ям равновесия добавляются Dev Т, силы инерции (см. I—4—29)

и. используются кинематические соотношения (I—4—25), (I—4— 26) и уравнения состояния, которые замыкают систему.

Уравнения движения идеально жидкой пленки не могут быть получены добавлением сил инерции в уравнения равновесия, так как ввиду недетерминированности сопутствующей системы коор­ динат здесь появляются недетерминированные составляющие поля скоростей (см. гл. I, § 4, п. 3). Используя прием, изложен­ ный выше для модели идеальной жидкости, придем к выраже­ нию (II—3—10), в котором скорости и и их производные явля­ ются многозначными, т. е. зависят от параметра | (0^ £ ^ 1).

Рассмотрим двумерную аналогию гибкого шланга, т. е. плен­ ку, «внутри» которой протекает жидкость. Моделью такого тела может служить, например, тонкая надувная оболочка.

Используя метод, примененный для гибкого шланга, и прене­ брегая пульсациями жидкости, придем к уравнениям движения

Р 4 г + р' W (v° + = div 7* — Srad р* + р + F"’

причем 7’* = р77р+р/, р* = р'р/р + р'. Здесь р, р' — плотности пленки и жидкости, отнесенные к единице площади в полугеодезической системе координат, v° — переносная скорость точек в их движении вместе с пленкой и

где и («1, ц2) — скорость движения точек пленки по поверхности, ис — скорость движения центров масс элементарных площадей

В уравнениях движения рассматриваемого тела фигурируют девять дополнительных переменных р', «</’>, мс(2), р, v°, и и добав­ ляются лишь пять уравнений (11). Для замыкания системы сле­ дует учесть уравнение состояния ср (р, р') =0 и, кроме того, при­

57

нять во внимание, что р det C ^const, (dA'/dt) -ei = (ди/дг') •A '-eь

Здесь А', С' — аффиноры, определяющие деформацию пленки (см. гл. I, § 4, п. 2), г' — двумерный радиус-вектор, касательный

кповерхности пленки.

7.Уравнения движения составных тел. Уравнения движен твердоволокнистого тела получаются добавлением сил инерции

(гл. I, § 5, п. 2)

в уравнения равновесия (2—6) с учетом уравнений состояния и неравенства в (2—12).

Уравнения движения замыкаются путем привлечения кинема­ тических соотношений совместности (I—5—6), (I—5—8), (I— 5—9).

Уравнения движения вязковолокнистого тела при условии не­ равенства в (2—12) получаются добавлением сил инерции (см.

гл. I, § 5, п. 2)

в уравнения равновесия (2—6). Уравнения движения замыка­ ются добавлением кинематических соотношений (I—5—6), (1—5—8), (I—5—9) и уравнений состояния Т'ц = фгн (C'22l С'2з,

С'зз) (i,/ = 2, 3).

Уравнения движения идеально волокнистого тела, как и урав­ нения движения волокнистых тел, при точном равенстве в (2—12) не могут быть записаны в форме дифференциальных уравнений ввиду отсутствия производных d2r/di|)id\pi (i = 2, 3). Движение в этих случаях может исследоваться только непосред­

Система замыкается присоединением кинематических соотноше­ ний совместности (I—5—18) для скорости.v° и соотношений для и, записывающихся так же, как для индивидуальной пленки (см.

шении условия (2—8) уравнения равновесия идеально сыпучей среды теряют смысл, и те области среды, в которых произошло это нарушение, приходят в движение. Будем считать, что в дви­

58

жущейся идеально сыпучей среде из всех связей остается лишь связь, свойственная идеальной жидкости, т. е. divv^O .

Тогда уравнения движения сплошной, среды должны отыски­ ваться минимизацией функционала (1—7) в классе функций, удовлетворяющих связи divv^O , т. е. Sdivv = 0 при divv= 0. Однако для учета диссипации энергии Эг, как и в случае турбу­

свойства сухого трения. Если в силу полученных уравнений дви­ жения в некоторых областях окажется, что v — О, то для них сле­ дует использовать уравнения равновесия (см. § 2, п. 5).

§ 4. «Силовая» формулировка принципа наименьшего принуждения

Опираясь на дифференциальные уравнения движения сплош­ ных сред, полученные в предыдущем параграфе, можно дать «силовую» формулировку принципа наименьшего принуждения: в каждый момент времени среди всех движений, обусловленных связями, действительными будут те, которые минимизируют функционал

ской» формулировке, данной в § 1, лишь при условии существо­ вания связей, порождающих тензор напряжений Т соответствую­ щего типа; другими словами, эта формулировка может исполь­ зоваться при исследовании движения тех сплошных сред, для ко­ торых справедливы классические дифференциальные уравнения динамики, а следовательно, существует тензор Т. Но поскольку равновесие любых сплошных сред описывается дифференциаль­ ными уравнениями при существовании тензора Т (см. § 2), то равновесие любой сплошной среды может изучаться путем мини­ мизации функционала (1) в классе трижды дифференцируемых функций г (г0).

§5. К вопросу о существовании

иединственности решения задач механики сплошной среды

Вклассическом варианте механики сплошной среды фунда­ ментальную роль играют вопросы существования и единственно­ сти решения соответствующей системы уравнений с частными производными. Следует сразу же подчеркнуть, что эти вопросы

59