книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

Уравнения движения сплошных сред

§1. Принцип наименьшего принуждения

1.Формулировка принципа. Рассмотренные в предыдуще главе модели сплошных сред предполагают использование для их описания таких функций, которые могут не быть дифференци­ руемыми и даже непрерывными на всем множестве их задания. Это, естественно, исключает возможность применения в общем случае аппарата дифференциальных уравнений для изучения движения таких сплошных сред. '

Чтобы освободиться от чисто математических требований, на­ кладываемых на функции, описывающие движение сплошных

сред, воспользуемся принципом наименьшего принуждения, рас­ пространив его на случаи обобщенных связей, рассмотренных в предыдущей главе. С этой целью введем неотрицательную ска­ лярную функцию р= р (г) и назовем ее плотностью среды, если

\pdV=m, v

где т — масса в объеме V физического евклидова пространства. Согласно принципу наименьшего принуждения действитель­ ное движение г (г0, в каждый фиксированный момент времени

отсутствия обобщенных связей, начиная с момента времени t до

описывающих движение каждой точки сплошной среды в отдель­ ности в предположении, что эти точки не взаимодействуют меж-

41

ду собой и подвержены лишь действию внешних сил F (г, г, t) , отнесенных к единице объема dV. Таким образом, если для сплошной среды любой физической природы сформулированы аналитические выражения связей типа (I—2—36), (I—3—19) и т. д., то истинное движение может быть найдено минимизаци­ ей функционала (1) в классе функций, удовлетворяющих соот­ ветствующим связям. Следовательно, для модели твердого тела минимизация должна проводиться в классе дифференцируемых

лишь требованию непрерывности div v, и т. д.

Итак, использование минимизации функционала (1) для оты­ скания уравнений движения сплошной среды не требует от иско­ мых функций г(г0, t), v(r0,t) непрерывности по г0 и вообще не накладывает на эти функции требований чисто математического характера. Следует лишь еще раз подчеркнуть, что если в силу наложенных связей искомая функция может не быть непрерыв­ ной (а точнее, кусочно-непрерывной), то в (1) следует от интег­ рирования по Риману перейти к интегрированию в более общем смысле.

2. Следствия принципа наименьшего принуждения. Положи что в рассматриваемом бесконечно малом интервале времени, фигурирующем в формулировке принципа, функции г* (г0, t) дважды дифференцируемы по t. Тогда в этом интервале времени

где а* = д2г* (г0, t)/dt2— возможные ускорения точек, допускае­ мые связями. Здесь учтено, что v+=v*.

Допустим, что в рассматриваемом бесконечно малом интер­ вале времени производные <3г*(г0, t)/dt разрывны. Тогда

г*(г0, t) \tt+dt= V* dt, r+(r°, t)\/+df= v +dt,

42

Если производные dr*(r0, t)/dt разрывны по времени лишь в не­ которых частях рассматриваемой области, то удобно перейти к минимизации функционала вида

где V — область существования ускорений а*, причем V 'dV , t0— произвольный постоянный множитель, имеющий размерность времени.

3.Вариационные формулировки принципа. Из минимума

в(4) следует, что

оФа= У (р а — F ) ■о a* d 1 /= 0.

Выбирая вариации 6r* так, чтобы они обращались в нуль в не­ которые заранее фиксированные моменты времени t\ и t%, полу­ чаем

иv

что соответствует принципу Гамильтона.

Заметим, что вариационные формулировки типа (8) явля­ ются менее общими, чем функциональные формулировки (I),

(4) — (7), так как требуют непрерывной зависимости функциона­ ла от г*, v* или а*. Кроме того, все выкладки данного пункта предполагают непрерывность функций v*(r), а* (г), в силу кото­ рой можно интегрировать в смысле Римана и использовать из­ вестные правила интегрирования по частям, а также менять по­ рядок интегрирования. Следовательно, использование формули­ ровок типа (8) возможно лишь для определенного типа сплош­ ных сред, связи которых гарантируют непрерывность функций v*(r) или а*(г).

43

§ 2. Вывод дифференциальных уравнений равновесия сплошных сред

1. Общий случай. Для случая равновесия сплошной среды образующей односвязный континуум, можно так ввести функцию г(г0), что она будет однозначно-дифференцируема. Поэтому для любых сплошных сред имеют место такие же связи, как и в слу­ чае твердого тела, т. е. связи типа (I—2—36), причем функции г(г0) дифференцируемы. Следовательно, можно использовать, например, принцип Гамильтона (8) или вытекающий из него в случае равновесия принцип возможных перемещений

=dr/dr0), отнесенное к декартовым осям. Нетрудно проверить, что если перейти к другим осям, то множители Тц изменятся, преобразуясь по тензорному закону. Следовательно, Тц можно рассматривать как декартовы координаты некоторого тензора Т. Проинтегрируем (2) по Уо и вычтем из (1):

где Tn=T • n, n — единичный вектор нормали к поверхности а0, ограничивающей объем V0. Возвращаясь к (3), получим

44

причем здесь уже вариации бг* можно считать независимыми, так как введены скаляры 7\-j, играющие роль неопределенных множителей Лагранжа. Поэтому окончательно уравнения равно­ весия произвольной сплошной среды могут быть записаны в об­ щеизвестном классическом виде

где о' — та часть поверхности его, на которой перемещения бг* не заданы. Соотношение (4) представляет собой систему трех диф­ ференциальных уравнений с частными производными по коорди­ натам от компонент тензора напряжений; соотношение (5) дает соответствующие граничные условия.

2.Замкнутость дифференциальных уравнений равновесия сплошных сред. Дифференциальные уравнения (4), вообще го­ воря, незамкнуты, так как содержат шесть величин Гч Для за­ мыкания этих уравнений следует присоединить к ним уравнения состояния, отражающие физическую природу исследуемой среды.

3.Равновесие твердого тела. В твердом теле существует не­ которое «начальное» состояние [9], для которого Т= 0, т. е. на­ пряжения отсутствуют. Переход от этого состояния в изучаемое состояние определяется аффинором А, который в силу формулы (I—2—34) может быть построен по коэффициентам связности Г,-Д т. е. по матрицам Г,. Тензор напряжений тем или иным способом связан с метрическим тензором G=A-A*, а следова­

тельно, с тензором C=G

Спроектируем уравнение (4) на «начальную» Систему коор­ динат qi, которая, вообще говоря, будет криволинейной и неор­ тогональной в состоянии равновесия, тела под действием сил F.

причем силы F по-прежнему отнесены к деформированному про­ странству; поэтому при отнесении их к пространству начальных состояний появляется множитель

с компонентами метрического тензора и, следовательно, с вели­ чинами Cij, а коэффициенты связности Гг-Д посредством формул (I—2—19) также выражаются через СД и йг3А (последние опре­ деляют тензор поворота), то в результате уравнения (6) стано­ вятся системой трех уравнений в частных производных первого порядка по координатам, содержащей шесть величин Сц и де­ вять величин Qhin, т. е. всего пятнадцать величин. Однако гео­ метрические соотношения совместности перемещений (I—2—26)

45

и поворотов (I—2—29) накладывают на эти величины еще две­ надцать скалярных соотношений. Поэтому образуется замкнутая система пятнадцати уравнений с частными производными перво­

шение этой системы позволяет установить связь между «началь­ ным» и деформированным равновесными состояниями, а значит, найти и поле тензора напряжений Т. Если уравнение состояния, связывающее тензор Т с метрическим тензором G содержит тем­ пературу, то для замыкания приведенных выше уравнений по­ требуется добавление уравнения теплопроводности, баланса энергии и энтропии.

4. Равновесие жидкости. В этом случае роль уравнений состояния играет утверждение, что тензор Т является шаровым:

тельно, p + n = const. Последнее уравнение определяет поле дав­ лений посредством силовой функции внешних сил.

Если жидкость сжимаема, то величина det G~'/a тем или иным образом связана с давлением р и температурой, и для оты­ скания связи между полем давлений и внешними силами следу­ ет присоединить уравнение баланса энергии и уравнение тепло­ проводности.

отнесенные к одной и той же площадке, k — коэффициент сухого трения. С помощью. (8) из уравнений (4) молено определить те поверхности (поверхности скольжения), которые разделяют рав­ новесную и движущуюся части сплошной среды.

6. Уравнения равновесия двумерного гибкого тела (пленки).

Эти уравнения получаются из (4), если положить, что одно из собственных направлений тензора напряжений Т направлено по нормали N к поверхности, а соответствующее этому направле­ нию собственное число тензора равно нулю. Следовательно, ком­ поненты этого тензора типа Ti3 = T3i равны нулю в любой естест­ венной системе координат поверхности. Полагая в (6), что qi —

46

сопутствующие координаты пленки, и принимая, что Ti3 = T3i= О, придем к трем уравнениям (6), содержащим сопутствующие ко­ ординаты тензора напряжений Ти, Г22, Т12.

Положим, что рассматривается пленка с неизменяемой внут­ ренней геометрией. Тогда совокупность соотношений (6) и соот­ ношений Гаусса — Кодацци (I—4—13) образует замкнутую си­ стему шести уравнений с частными производными первого по­ рядка по координатам qt, q2 относительно Г11, Г12, Т22,Ьц, 612, Ь22\ так как величины Г1'-*'не входят в (I—4—13), то эти уравнения могут быть решены независимо от (6); подставляя затем полу­ ченные значения bij в (6), которые войдут через коэффициенты связности Гг;,-3 в соответствии с (I—4—12), придем к замкнутой системе трех уравнений относительно Гч

Если пленка упругая, то напряжения Tij тем или иным спосо­ бом связаны с метрическим тензором сопутствующей системы G= A-A*, а следовательно, с тензором C—G'1*, причем аффинор А, как и в случае твердого тела, связывает метрику некоторого «начального» состояния, в котором Т = 0, с метрикой исследуемо­ го равновесного состояния. В силу связи между и Сц и с уче­ том (I—4—11) приходим к системе (6), (I—4—13), т. е. к шести уравнениям в частных производных первого порядка по коорди­ натам <7i, q2 относительно шести величин Сц, С\2, С22; Ь\\, Ь\2, Ь22, причем эта система уже не распадается на две, как в предыду­ щем случае. Если одно из уравнений упругой связи между и Cij заменить условием Т12 — 0, то придем к модели упругой сети.

К модели нерастяжимой сети можно прийти, если в (6) поло­ жить Т12=0 и принять переменной величину С\2.

Если пленка жидкая, то, вводя полугеодезическую систему координат и полагая в (6) <7,=%, Т11= Т22'\/1Т^=—р, Т\2= Т\3 = = Т23 = Т33 = 0, Г!1/=0, Г12/==0, 2Гяя'-----aGo/Лр!, Г„2 = 0, 2G0r 122= = <?Gо/дфь 2G0 Г222=dG0/dty2, а также учитывая формулы (I—4—12), придем к системе шести дифференциальных уравне­ ний с частными производными первого порядка по координатам относительно величин р, G0, bu, b\2, b22, F, состоящей из уравне­ ний (6) и (I—4—13). Таким образом, для равновесия жидкой пленки, как, впрочем, и для равновесия жидкости, внешние силы F должны удовлетворять дополнительным условиям. В частно­ сти, записывая (6) в форме (7): gradp = F det G-ь, и учитывая, что операция grad р берется по поверхности пленки, приходим к заключению, что условию равновесия жидкой пленки удовлет­ воряют силы, имеющие силовую функцию П (фь ф2) •

7. Уравнения равновесия одномерного гибкого тела (нити).

Эти уравнения получаются из (4), если положить, что одно из собственных направлений тензора напряжений Т направлено по касательной т к нити, а собственные числа двухдругих собствен­ ных направлений равны нулю. Следовательно, тензор напряже­ ний вырождается в вектор, называемый вектором натяжения, на­

47

правленный по касательной к нити, и уравнения равновесия при­ нимают вид

( |<9г/дф| = 1), f = dty/dq, F i— внешние силы, отнесенные к едини­

вес). В силу (I—4—6) вектор г, а значит, и <3г/<3ф могут быть по­ строены по тензору £2, т. е. по вектору Дарбу, который определя­ ется кривизной Q3 и кручением Qi формы нити. Следовательно, векторное уравнение (9) эквивалентно трем скалярным уравне­ ниям относительно четырех величин Т, Q3, Qb f. Добавляя к не­

Полученная система уравнений статически определима лишь при условии рассмотрения предельного равновесия, когда в (10) имеет место равенство и указано направление противополож­ ное направлению той бесконечно малой скорости, которая может вывести нить из предельного равновесия.

Если нить находится на кривой, то во внешние силы F] сле­

ленная вдоль касательной к кривой т. Появление в уравнении равновесия нити на кривой реакций Rn и Rb не нарушает замк­ нутости этих уравнений, так как две величины Q3, Qj, определя­ ющие кривизну и кручение нити, являются известными и совпа­ дают с кривизной и кручением кривой.

48

получается тождество. Число определяемых величин здесь также равно двум (Qi, Q3 ). Уравнения (11) могут быть получены, разу­ меется, и непосредственно из (1).

8. Уравнения равновесия составных тел. Для уравнений ра новесия твердоволокнистого тела могут быть использованы урав­ нения (6), причем их следует дополнить уравнениями состояния,

= фп (/), f = d^i/dqu Система уравнений (6), (I—5—1), (I—5—3), (I—5—4) с учетом уравнений состояния определяет поле тензо­ ра напряжений,, а также параметры деформированного состоя­ ния с точностью до зависимостей i|)i=^i((7i), т. е. с точностью до взаимного смещения волокон вдоль самих себя. Если волокни­ стое тело идеальное, то Ti2 = Ti3'=0. Если же волокнистое тело неидеальное (т. е. с сухим трением и сцеплением волокон), то

• 1 Л ,|< А 1+ 4 - М |Г 'н|- Г '„ ) (*= 1, 2). (II—2—12)

Здесь k\ — коэффициент сцепления между волокнами, k2— коэф­ фициент сухого трения.

Для равновесия вязковолокнистого тела в (6) следует поло­ жить Т2з/ = 0, Т22= Тъг'= —р. Система уравнений (6), (I—5—12), (I—5—4), (12) с учетом уравнений состояния для 7ц и р опре­ деляет поле тензора напряжений, а также продольные деформа­ ции волокон. Уравнения равновесия слоистого тела получаются из (6), если положить 7’г‘j = ср (С22, С23, С3 3 ) (t, / = 2, 3). Осталь­ ные составляющие тензора Т определяют так:

п-7-п = ю(п-С-п), |п -7 -т; | < -i-/e(|n -7-п| —п -7 -n). (II—2—13)

Здесь п — единичная нормаль к слою; т,-1| <3г/<3фг, |тг-| = 1, г = 2, 3; k — коэффициент сухого трения.

§3. Вывод уравнений движения сплошных сред

1.Модель твердого тела. Для твердого тела координатны способ упорядочения положения точек является инвариантом не только в равновесии, но и в движении. Поэтому дифференциаль­

ные уравнения движения получаются из уравнений (2—4) или (2—б) в результате добавления к внешним силам F сил инерции