
книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред
.pdfизменение формы в связи с изменением метрики. В случае плен ки остается справедливой формула
Г = г0 + f м , (Го)• А'00• е2• di\, + |
j М , (Г,)-/И2 (Г2(„) X |
о |
о |
X А '^ й - ц , |
(I—4—15) |
определяющая ее движение с точностью до положения в прост ранстве по коэффициентам связности; последние же в силу (11) и (12) выражаются через коэффициенты внутренней (бц) и внешней (Ьц) геометрии поверхности, которые связаны дополни тельными соотношениями (13) и (14).
Выясним степень произвола задания этих коэффициентов для построения формулы (15). Так как соотношения Гаусса — Кодацци являются уравнениями с частными производными относи тельно Ьц по координатам q\, q2, то задание на всей поверхности внутренней метрики Gij только тогда определит внешнюю гео метрию bij, если на некоторой координатной кривой q\ заданы коэффициенты Ьц и bi2 при условии, что эта кривая не является асимптотической, т. е. Ьц (qi,0)=^=0. Если же эта кривая явля ется асимптотической, что, как известно, может иметь место лишь для поверхностей параболического или гиперболиче ского типа (7?^0), то на ней должен быть определен еще коэф
фициент Ь2г (<7ьО), так как из |
(14) |
его уже определить нельзя |
||
вследствие равенства b\\{qu 0) = 0. |
|
пленки, |
выражаю |
|
Аналитическая формулировка связи для |
||||
щая факт детерминированности ее |
внутренней метрики, может |
|||
быть записана так: |
|
|
|
|
8Gi7 = 0, и л и |
o( ^ - . J | - ) |
= 0. |
(1 -4 -1 6 ) |
Кинематические соотношения совместности перемещений пол
ностью сохраняют вид (2—40), (2—41) |
или (2—42), т. е. |
|
|||||||
|
1 т = т |
г ■е |
' = |
r v ' . |
= |
( - а г + |
с ' " ' ) - с ' " 17’ ) |
||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
дгЦь Чь 6 •s |
г< = |
JW |
.A r-i' |
А ' = С'-В', |
ш' |
дБ' |
D,* |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
' В ’ |
а кинематические соотношения совместности поворотов сохраня ют вид (2—43) или (2—44):
^ |
+ г /! •г/, = |
|
+ Г'< • Г/1 > |
(1 -4 -1 8 ) |
^ |
+ Й,1• ( |
• |
Q'i . |
(1 -4 -1 9 ) |
30
причем |
о/- |
дА’ ■А' |
|
|
дЯг |
Ускорение точек пленки записывается так: |
||
|
а = |
dv (<7ь <72. О |
|
|
dt |
Как и движение твердого тела, движение пленки может быть |
||
определено в силу (15) |
с помощью конечного числа обобщенных |
координат, а именно, вектора г00 (t), тензора £ 00 У) (при С00=/)> характеризующих абсолютно твердое движение пленки, четырех функций Gij (qu q2, t) и двух функций bn {qu 0 , t), bl2 {qu 0 , t),
характеризующих деформационное движение пленки, состоящее в изменении внутренней и внешней ее геометрии.
Поэтому пленка может рассматриваться как среда с конеч ным числом обобщенных степеней свободы.
К обобщению модели пленки, как и в случае твердого тела, можно прийти, нарушая соотношения совместности (9) или (10). Наконец, все, сказанное относительно локальных разрывов про изводных дг/dqi, dr/dq2, дг/dt в § 2, п. 4, полностью переносится на модель пленки, в том числе и формулы (2—46), (2—47). Од нако некоторые особенности имеют возможные разрывы коэффи циентов второй квадратичной формы Ьц. Для установления этих особенностей выберем сопутствующую систему координат на по верхности пленки так, чтобы в зафиксированной точке М и в за фиксированный момент времени t0 имели место соотношения
|
дг |
дт |
г ( ^ |
>J , n |
’ |
д'-О’и |
=^0 . |
|
||||
|
dqt |
dqj |
ч \ |
P?i |
|
|
dq\ |
|
||||
Тогда согласно формуле |
(13) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ЬцЬ22-- Ь2 |
|
|
|
д2V 02: |
(1—4—20) |
|||||
|
|
|
у а,22 |
dq\ |
|
|||||||
|
и |
д2г |
|
, |
|
P-r |
|
|||||
причем |
|
д2г |
|
т3, |
bi2- |
|
|
|||||
Ь п ~ 1 ^ " Хз' |
°22' |
dq\ |
|
"3 |
|
|
' P<7P<7i 2 "3 ’ |
|
||||
|
|
|
Goo |
г)г |
|
= |
1. |
|
|
|
(1—4—21) |
|
|
|
|
|
|
dq2 |
|
|
|
|
|
|
Пусть линия разрыва совпадает с координатной линией q2, |
про |
ходящей через зафиксированную точку М. Тогда согласно фор |
|
мулам (2—46) и с учетом (20) [Ь22[ = [Ь\2 = [д2У G22Jdqi2] = 0. |
По |
этому из (20) следует [6ц] • 622 = 0.
Таким образом, отличные от нуля разрывы Ьц возможны лишь тогда, когда Ь'22 = 0, т. е. линия разрыва является асимпто тической. Другими словами, разрывы коэффициентов Ьц могут иметь место лишь на асимптотических кривых поверхности плен ки, а это означает, что линия разрыва этих коэффициентов не может проходить через точки эллиптического типа, где R > 0.
3~1
3.Жидкая пленка. Ослабим связи, рассмотренные в предыд
щем пункте, потребовав, чтобы в каждой точке |
пространства |
в любой момент времени были детерминированы |
два собствен |
ных направления и произведение соответствующих им собствен ных чисел метрического тензора G—A - Л*, а каждое из этих чи сел было детерминировано лишь в бесконечно малом интервале времени (модель вязкожидкой пленки). Поскольку при этом каждое из собственных чисел в отдельности недетерминнровано в конечном интервале времени, то сопутствующей системы коор динат здесь уже не существует и можно говорить лишь о мгно венно-сопутствующей системе (см. § 3, п. 2). Однако в любой момент времени может быть построена полугеодезическая систе ма координат ярь ф2:
дг |
= |
1, |
дг |
дг |
= G°=/.,X2. |
|
Ж |
аь, |
сфз |
||||
|
|
|
Здесь Л,1, Яг— собственные числа, соответствующие детерминиро ванным собственным направлениям тензора G=A-A*. Тем са мым определен аффинор А0, сопоставляющий единичный декартовый базис егестественному базису поверхности Т1°= <?г/дфь т2°= dr/dtp2, T3°=N, где N —- вектор единичной нормали к поверх ности, т. е. Ti=j40-ef. Введем также аффинор А сопоставляю щий базис т,° мгновенно-сопутствующему базису
дг |
дг |
: N, Т. е. т| = Л 'Л о,= Л '.А ).е|. |
д(]\ |
L3 — |
|
|
|
Для аффиноров А0, А', конечно, справедливы все результаты, по лученные в § 2, п. 2. Для аффинора же А', кроме того, справед
ливы формулы § 3, п. 2./Более того, J2 {А' А' ) = 1, так как. все изменение площади поверхности принимает на себя аффинор А0,
т. е. лишь Dev (А' А' ) определяет аффинор А'. Для аффинора Л0 имеют место геометрические соотношения совместности пере мещений и поворотов типа (9) и (10):
д2г |
rv ^ o , = Г0, |
д*г |
|
|
|
|
дф2с)ф1 |
|
|||
|
|
|
аго2 |
||
|
|
д°-Аа ■А-1 |
дГ°, |
+ Го,. Го., = |
|
|
|
о |
— % |
|
|
|
•' |
+Г»г . |
|
л -V, |
(1 -4 -2 3 ) |
которые с помощью (И) |
приводятся к соотношениям Гаусса — |
Кодацци. Их запись в полугеодезической системе фь ф2 принима ет вид
ЬцЬ22 |
— Ь \ 2 |
- 1 |
d * V G a |
дЬп |
dbi2 |
|
|
|
dGn |
|
||
= |
cty-’i |
’ |
йфо |
Й41! |
“ |
2 0 о |
<54, ’ |
|
||||
|
|
ГОо |
(1—4—24) |
|||||||||
db12 |
дЬ%2 |
dG0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
дО0 . |
- |
1 |
. |
^ |
Ь , |
|
||||
д^2 |
д^ |
2 |
|
~2G0 ' |
° ' 2 |
|
2 G0 |
|
еМ/, |
° 22 |
|
32
Для аффинора А' геометрические соотношения совместности пе ремещений и поворотов в силу (22) и (23) могут быть записаны в виде
1 |
= Г' |
dr', _ |
dT, |
(1 -4 -2 5 ) |
|
wij |
dp. |
||||
|
|
|
Для получения кинематических соотношений введем скорости
|
d r (<7i, |
t ) . , г0 |
dr (рь р2, t ) |
„ _ ^ _n , dp2 _0 |
v _ |
d i |
* V — |
d t |
> И — ~ d f z 1^ “ dT ъ 2’ |
где v — абсолютная скорость точек пленки, v° — переносная ско рость этих точек вместе с поверхностью пленки, и — относитель ная скорость точек по отношению к пленке, т. е. по отношению к полугеодезической системе координат грь ф2. Так как
dr (<71: <73, t ) |
__ dr (<!<!, фа. t ) |
_j_ |
dr |
dpt |
_j_ dr |
dpo |
d t |
d t |
^ |
d'pj |
d t |
1 d<pn |
d t ’ |
to v=v° + u. Теперь кинематические соотношения совместности перемещений и поворотов принимают вид
dv° |
дАп |
■e, = |
ro |
•Л = |
д С ° |
+ |
со-шЧ -с ^ |
- а , |
||||
dpT |
d t |
|
d t |
|
||||||||
где |
|
|
1-sI ^ |
|
т |
|
|
|
|
шо = № |
.д о |
|
|
|
|
|
IIО |
C ° - B ° , |
|||||||
|
Г°, |
II |
|
о |
||||||||
|
|
|
|
|
|
u t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
«^1 |
I го Г ° _.. |
|
d T ° t |
|
ГО |
ro |
|
||
|
|
|
d |
t |
1 1 1 1 t . |
|
dpi |
|
1 t |
1 1> |
||
|
|
|
a h |
|
|
t |
|
d S \ |
|
|
|
|
|
div и |
II |
? |
T |
ah , |
|
d S 0 J |
’ |
ro t u = |
2co'.' |
(1—4—26)
(I— 4— 27)
(1- 4— 28)
Здесь u= u (фь ф2), так что операции div и и rot и берутся по по верхности пленки, со' — вектор, соответствующий кососимметрич ному тензору со', определяемому из соотношения
|
|
|
d B ' |
■В', |
А' = С' -В', |
|
|
|
|
d t |
|
|
|
причем dco'A?ip= dQi7dt, где |
(дВ'/дхр) • В'*, S0, S — площадь |
|||||
поверхности пленки в начальном и деформируемом |
состояниях. |
|||||
Ускорение точек вязкожидкой пленки определяется по фор |
||||||
муле |
|
|
|
|
dp |
|
dv° |
. |
dv° |
, |
du |
(1—4—29) |
|
а --- —77--р “7"i |
Its 4---- Г7- |
d t ‘ |
||||
d t |
1 |
dip,- |
1 |
d t |
|
|
Вместо формулы (15) |
для вязкожидкой пленки удобнее пользо |
|||||
ваться формулой типа |
(3—15): |
|
|
|||
V --- V00 + |
т °00 X |
(Г ---- Too) + |
Jо(Т°2(1) + Т ' 2(1)) с^<р2- е2+ |
|||
+ J [(Г°, + |
f'l) + |
1(Г°2(1) + Г'ао») d b \ dbt -е,, |
(1 -4 -3 0 ) |
Зак М. А. |
33 |
где Г2(1) = Г2 (0, ф2, t). Из этой формулы следует, что скорость любой точки вязкожидкой пленки может быть синтезирована из скорости абсолютно твердого движения вместе с некоторым эле ментом пленки при t|)i = i|)2 = 0 (векторы v00 (0, 0, t) и со0о° (0, 0, i))\ скорости вместе с полугеодезической системой координат плен
ки, определяемой Г*0 и характеризующей изменения внутренней
и внешней геометрии поверхности пленки; скорости |
по отноше |
нию к полугеодезической системе координат пленки, |
определяе |
мой Г/. |
|
Аналитическая формулировка связи для вязкожидкой плен |
|
ки принимает вид |
|
сО0 = 0, 3Dev-^-(A/A'") = 0. |
(1—4—31) |
Из первой формулы следует детерминированность в любой мо мент времени самой поверхности пленки, что соответствует де терминированности произведения двух собственных чисел аффи нора G=AA*. Из второй формулы следует детерминированность в бесконечно малом интервале времени сопутствующей системы координат, т. е. существование мгновенно-сопутствующей систе мы координат.
4. Идеально оюидкая пленка. К модели идеально жидко пленки можно прийти, сняв второе условие в (31), т. е. сохранив лишь детерминированность произведения двух собственных чи сел аффинора:
SGo = 0. |
(1_4_32) |
При этом остается детерминированной |
поверхность пленки, |
а значит, и полугеодезическая система координат фь ф2Следо вательно, остаются в силе и формулы (22) —(25). Однако в от личие от модели вязкожндкой пленки здесь относительная ско рость и уже недетерминирована и сопутствующей системы коор динат не существует.
Если построить условно-сопутствующую систему qi*, как это было сделано в § 3, п. 3, положив u= uc+ur, то сохранятся в си ле формулы (28) —(30), причем под входящими в эти формулы векторами и следует понимать векторы ис. Относительно ur спра ведливо утверждение, аналогичное (3—24): divur=0.
Для ускорений точек идеально жидкой пленки могут быть за
писаны формулы |
с>у° |
, Руо |
|
дис |
|
|
а — ае + аг, |
ci |
дис и„ |
ot ‘ |
|||
|
dt |
' |
dt |
|
5. Сеть. В предыдущих моделях двумерных гибких тел был детерминирована элементарная площадь пленки, т. е. коэффици енты первой квадратичной формы поверхности. Тем самым была детерминирована форма пленки в силу соотношений Гаусса — Кодацци, т. е. ее внешняя геометрия. Однако можно построить
34
такую двумерную модель гибкого тела, в которой сопутствующая система координат определена в любой момент времени, но фор ма соответствующей поверхности недетерминирована. Для этого достаточно оставить недетерминированной элементарную пло щадь поверхности, т. е. величину
~ _ дт дт
12~ dqx ‘ dq2 ’
и уравнение связи вместо (16) записывать так:
|
8G„ = 0, и л и 8 ^ . ^ = 0 (i = 1,2). |
(1 -4 -3 3 ) |
Такую пленку будем называть сетью. |
|
|
6. |
Нить на пленке. Рассмотрим случай, когда нить может пе |
|
ремещаться по поверхности пленки. В этом случае |
|
|
|
- ^ • N = 0, |
(1 -4 -3 4 ) |
где N — единичная нормаль к поверхности пленки. |
Введем на |
|
пленке полугеодезическую систему координат и соответствую |
||
щий ей аффинор А0, определяемый формулой Тг°=/4е*. Положе |
ние единичного вектора касательной к нити т=5г/дф может быть определено по отношению к системе фь фг тензором поворота от носительно нормали N, причем
|
= |
В'0 = В ' \ ^ . |
(1 -4 -3 5 ) |
|
Тензор В’ в полугеодезических осях имеет матрицу |
|
|||
/ |
cos(cp — <р0) |
sin (ср — ср0) |
0\ |
|
( В \ — |
— sin (ср — ср0) |
cos («р — ?о) |
0 , |
(1—4—36) |
|
0 |
0 |
\ |
|
где ср — угол поворота касательной к нити т относительно норма
ли к поверхности N, фо = Ф при ф = 0. |
Кососимметричный тензор |
||
Q в тех же осях имеет матрицу |
|
|
|
/ о - а г |
о \ |
|
|
( 2 ) * = 2 г 0 0 , |
(1 -4 -3 7 ) |
||
0 |
0 |
о/ |
|
причем геодезическая кривизна |
Qr |
определяется |
через угол ф |
по формуле |
д<р■ |
|
|
Qг |
|
(1 -4 -3 8 ) |
|
w |
|
||
|
|
|
Таким образом, тензор В' может быть построен по геодезиче ской кривизне нити посредством (35) и с учетом (37) и (38) с точностью до своего значения в исходной точке ф= 0.
3* 35
Теперь вместо формулы (6) для нити на поверхности можно получить
ф(<7. О
Г= Г009+ J м (Sф) • Л+ (Гф) d-q■А00 (0 • В \ (t) е,. (I - 4-39)
Здесь |
г0 ( 0 — вектор, определяющий движение по поверхности |
точки |
нити ф= 0, причем г0 (/) • N = 0, В0' (t) — тензор, опреде |
ляющий поворот элемента нити ф= 0 относительно соответствую щей нормали к поверхности пленки N (ф= 0); А00 (t) — значение тензора А0 при ф= 0.
Итак, уравнение движущейся на пленке нити в силу (39) мо
жет быть построено по ее геодезической кривизне |
с точностью |
||
до вектора г0 (t) и тензора В0' (t). |
|
перемещений |
|
Из кинематических соотношений совместности |
|||
следует |
|
|
|
д2г |
д\а |
д-т |
(1 -4 -4 0 ) |
—--- ——(|ЛТ■ |
____ ■ |
_. -. . _ |
|
ctydi |
<ЭА> |
dtOii' |
|
Здесь, как и в (4), v°= dr {^,t)!dt. Кососимметричный тензор со соответствует угловой скорости поворота элемента нити относи тельно нормали и имеет полугеодезические координаты в виде следующей матрицы:
/ о |
- “г |
о \ |
(“)ф= “г |
0 |
О I, |
\0 |
0 |
0 / |
причем <ог =d(p/dt, так что в силу кинематических соотношении совместности поворотов
dQ |
_ д<л |
(1 -4 -4 1 ) |
|
dt |
с>ф |
||
|
Кинематическое соотношение совместности перемещений для те чения нити вдоль своей фиксированной формы сохраняется в ви де (2). Аналитические выражения связей, определяющих сово купность нити и пленки, состоят из уравнений связи для пленки, взятых в одной из форм (16), (32) или (33), уравнений связи для нити (7) и дополнительного уравнения 8[(дг/<3ф) • N]= 0, вы ражающего факт движения нити по поверхности пленки.
§5. Модели составных тел
1.Определения. Приведенные выше модели сплошных ср рассматривались как континуумы, составленные из множества
точек. Введенные в предыдущем параграфе одномерные и дву мерные модели гибких тел позволяют строить трехмерные среды как континуальные совокупности кривых или поверхностей. В первом случае получаем модели волокнистых, во втором слу чае слоистых тел.
36
2. Модель волокнистого тела. Волокнистым телом будем на зывать множество нитей, образующих трехмерный континуум. Если это множество никак не упорядочено, т. е. отсутствует та кая упорядоченность, которая является инвариантом движения, то волокнистое тело распадается на совокупность свободных (не взаимодействующих) нитей. Положим, что совокупность нитей, образующих волокнистое тело, допускает построение семейства дифференцируемых поверхностей ф! = const, где ф! = ф — дуговая координата, входящая в уравнение нитй (4—1) (причем 15г/<9ф | = 1). Допустим далее, что положение точек пересечения каждой нити с каждой построенной поверхностью молено упоря дочить координатным способом, что равносильно существованию сопутствующих координат ф2 = ^2, фз= 7зТогда существует си стема координат, инвариантная относительно движения и состоя щая из двух сопутствующих координат ф2 = 92. фз—cjz и одной координаты фь не являющейся сопутствующей и связанной с q\ соотношением ф1= ф 1 (<7ь0Такую модель будем называть твер доволокнистым телом. Ясно, что если скорость течения нити вдоль фиксированной формы отсутствует, т. е. и= 0, то ф] = <71 и твердоволокнистое тело превращается в твердое деформируемое тело. Если же и=4=0, то сопутствующей системы координат, ин вариантной относительно двшкения,' в волокнистом теле не су ществует. Систему координат фь ф2, фз будем называть квази сопутствующей. Введем в твердоволокнистом теле аффинор А, сопоставляющий декартовому базису егквазисопутствующий ба зис дг/дфг=Тг°=Л-е, (т2°= т2, тз°=тз, Ti°=;4=Ti). Для аффи нора А остаются справедливыми выражения (2—21), (2—27) — (29), (2—32), связанные с геометрическими соотношениями сов местности перемещений и поворотов:
|
|
|
d - 5 - l ) |
|
|
|
(1 - 5 -2 ) |
|
|
|
(1 -5 -3 ) |
|
|
|
(1 -5 -4 ) |
Вместо |
(2—34) справедливо представление |
|
|
|
|
г — rooo + Jо (Г3(12))- Л000-ез df\z + |
|
|
+ |
I -Мъ (В2 (1 ) • 714 3 (Г3(12)). -Аооо• б2 |
+ |
|
|
о |
|
|
+ I 7141 (Г0-ЛГ2 (Г2Ы) ■7143 (Г3(12)) • Д0оо ‘ ei df\1, (1 -5 -5 ) |
||
где ф!=ф! |
о |
t), ф2 = <72, ф3 = ?з- |
|
(qh |
|
37
Формулы для кинематических соотношений совместности пе ремещений и поворотов несколько отличны от таковых для твер. дого тела. Как и в случае нити, положим здесь v = v°+ и, где
„ _ |
(яи <72. <7з. t) |
|
жг0 _ дг |
фа, фз, 0 |
____ <Д. |
_ |
|
tit |
’ |
~ |
tit |
' U — tit |
*. |
причем v — абсолютная скорость точек тела, v° — переносная ско рость точек тела вместе с волокнами-нитями, и — скорость отно сительного течения точек по волокнам.
Для скорости v° имеют место соотношения
|
|
|
|
ду° |
|
|
|
(1 -5 -6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Г = Ш- 5 ’ -5*Г=а -Я, В = (А .А * )~ 2 -А, (1 -5 -7 ) |
||||||||
|
_dQ+ Q0 .t0 |
С>со |
+ |
“ -2, |
|
(1 -5 -8 ) |
||
а для скорости и — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
tit |
‘ ti^i ’ |
■J |
dq{ |
(1 -5 -9 ) |
||
|
|
|||||||
Ускорение а может быть записано в форме |
(4—5). |
|
||||||
Аналитическая формулировка связи для твердоволокнистого |
||||||||
тела записывается в одной из двух форм:' |
|
(1—5—10) |
||||||
б Gu = 0 (7=1, 2, 3), |
3 G23 = 0, |
|
||||||
N/ Зг дг |
= 0 |
(7 = 1 , |
2, |
3), |
|
дг |
|
(1 -5 -11) |
с% с% |
|
|
|
|
|
|
|
|
При использовании формул (10) следует иметь в виду соот ношения совместности, связывающие Gij и получаемые подста новкой (4) в (3). Заметим, что в отличие от модели твердого те ла здесь остаются недетерминированными величины
дг |
дг __ р |
дг |
дг |
___ „ |
diii |
сфз |
12’ дфх |
д63 |
13’ |
Ослабим введенные в твердоволокнистом теле связи, потре бовав, чтобы сопутствующие координаты ф2 = 92, фз= 9з имели место лишь в бесконечно малом интервале времени, т. е. были мгновенно-сопутствующими. При этом в качестве ф2 и ф3 можно выбрать полугеодезические координаты поверхностей ф1= const. Полученная таким образом модель представляет собой вязково локнистое тело. Геометрические соотношения совместности пере мещений и поворотов могут быть для этого тела записаны так:
Г .-е = Г -- |
РГг _ |
d T j |
Ау — х i Ч. |
щ |
^ (г= Ь j = 2’ 3), (1 -5 -1 2 ) |
причем dr/dq2=A ■<7г/5ф2, dr/dqs=A • 5г/<Зф3. Кинематические со отношения совместности перемещений и поворотов остаются в ви де (6), (8), (9)'с учетом (7).
38 |
/ |
|
Формулу (5) здесь удобнее записывать «в скоростях»: 4>з Фз
V — V000 + ш000 X (г Гооо) + J | ^ 3 (12) ез +
+ J |
(I ^2(i) d<b2+ J Г3(12)с^Ф3) d&>2-e2+ ] |
(| 1\ di>i + |
|||
0 |
0 |
О |
0 |
0 |
|
|
+ |
Фа . |
Фз. |
|
(I 5 13) |
|
J Г2(]) d’^2 + |
J Г3(12) dtya) dtyl e,, |
|||
|
|
о |
о |
|
|
где tJji =ipi (<7i, t). Ускорение а может быть дано в виде
п __ <?У (Ф1. Фз. Фз, 0 |
I |
d v |
tty: |
dt |
1’ |
dt |
' |
dfyi |
Ot ’ |
Аналитическая формулировка связи для вязковолокнистого тела записывается так:
|
|
б Gn = 0, б Ьц = 0 (i = 2, 3), б G2з=0, |
|
(1—5—14) |
|||
дт |
= |
0, |
д3г |
— О (/=2, 3), |
дг |
0. |
(1-5—15) |
|
СН |
о,4'зс)^ = |
И здесь в отличие от модели вязкой жидкости остаются недетер
минированными величины G12, Gi3- |
должны |
удовлетворять |
||||||||||
Заметим, что Gij, входящие в (14), |
||||||||||||
соотношениям совместности, |
получающимся в |
результате |
под |
|||||||||
становки |
выражения Т{^ = -^8п1(дО ц/д^+ дО ^/д^—dG^dx|У)во |
|||||||||||
второе из равенств |
(12). |
|
|
|
|
|
этой |
целью |
||||
Формулам |
(14) |
можно придать и другой вид. С |
||||||||||
введем двумерный аффинор |
А', |
сопоставляющий базисы |
т2°= |
|||||||||
= дг/дф2, т3°= дг/д-фз и базисы т2 = дг/dq2, xz=dr/dq3, |
т. |
е. |
т2 = |
|||||||||
=А' •т2°, |
Тз=А' • тз°, причем |
положим |
G'—A |
' A |
Тогда |
вместо |
||||||
(14) можно получить |
д |
/ dS \ |
|
|
|
|
|
|
||||
8GU — 0, |
8 Dev G' = 0, |
8 div v00 = |
0. (1 -5 -1 6 ) |
|||||||||
8^ |
Ь Н = |
|||||||||||
Здесь dS — элемент поверхности |
г|ц = const, v00 — составляющая |
скорости v°, лежащая в плоскости, касательной к ф! = const при
условии, что оставшаяся составляющая |
направлена по ть |
Если |
|
в (16) ослабить упорядоченность волокон, оставив |
Dev G |
неде |
|
терминированным, то придем к модели |
идеально |
волокнистого |
|
тела, имеющего связь |
|
|
|
б Gi 1= 0, 6 div v00 = 0. |
(I—5—17) |
Здесь связь между волокнами наиболее слабая и состоит в де терминированности в бесконечно малом интервале времени тех индивидуализированных площадей, которые получаются в сече ниях i|)i = const. В этом случае остается лишь одна сопутствую щая координата <71, в то время как сопутствующих координат q2 и qz вообще не существует. Вместо них, конечно, можно ввести
39