книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

изменение формы в связи с изменением метрики. В случае плен­ ки остается справедливой формула

определяющая ее движение с точностью до положения в прост­ ранстве по коэффициентам связности; последние же в силу (11) и (12) выражаются через коэффициенты внутренней (бц) и внешней (Ьц) геометрии поверхности, которые связаны дополни­ тельными соотношениями (13) и (14).

Выясним степень произвола задания этих коэффициентов для построения формулы (15). Так как соотношения Гаусса — Кодацци являются уравнениями с частными производными относи­ тельно Ьц по координатам q\, q2, то задание на всей поверхности внутренней метрики Gij только тогда определит внешнюю гео­ метрию bij, если на некоторой координатной кривой q\ заданы коэффициенты Ьц и bi2 при условии, что эта кривая не является асимптотической, т. е. Ьц (qi,0)=^=0. Если же эта кривая явля­ ется асимптотической, что, как известно, может иметь место лишь для поверхностей параболического или гиперболиче­ ского типа (7?^0), то на ней должен быть определен еще коэф­

Кинематические соотношения совместности перемещений пол­

а кинематические соотношения совместности поворотов сохраня­ ют вид (2—43) или (2—44):

30

координат, а именно, вектора г00 (t), тензора £ 00 У) (при С00=/)> характеризующих абсолютно твердое движение пленки, четырех функций Gij (qu q2, t) и двух функций bn {qu 0 , t), bl2 {qu 0 , t),

характеризующих деформационное движение пленки, состоящее в изменении внутренней и внешней ее геометрии.

Поэтому пленка может рассматриваться как среда с конеч­ ным числом обобщенных степеней свободы.

К обобщению модели пленки, как и в случае твердого тела, можно прийти, нарушая соотношения совместности (9) или (10). Наконец, все, сказанное относительно локальных разрывов про­ изводных дг/dqi, dr/dq2, дг/dt в § 2, п. 4, полностью переносится на модель пленки, в том числе и формулы (2—46), (2—47). Од­ нако некоторые особенности имеют возможные разрывы коэффи­ циентов второй квадратичной формы Ьц. Для установления этих особенностей выберем сопутствующую систему координат на по­ верхности пленки так, чтобы в зафиксированной точке М и в за­ фиксированный момент времени t0 имели место соотношения

этому из (20) следует [6ц] • 622 = 0.

Таким образом, отличные от нуля разрывы Ьц возможны лишь тогда, когда Ь'22 = 0, т. е. линия разрыва является асимпто­ тической. Другими словами, разрывы коэффициентов Ьц могут иметь место лишь на асимптотических кривых поверхности плен­ ки, а это означает, что линия разрыва этих коэффициентов не может проходить через точки эллиптического типа, где R > 0.

3~1

3.Жидкая пленка. Ослабим связи, рассмотренные в предыд

ных направления и произведение соответствующих им собствен­ ных чисел метрического тензора G—A - Л*, а каждое из этих чи­ сел было детерминировано лишь в бесконечно малом интервале времени (модель вязкожидкой пленки). Поскольку при этом каждое из собственных чисел в отдельности недетерминнровано в конечном интервале времени, то сопутствующей системы коор­ динат здесь уже не существует и можно говорить лишь о мгно­ венно-сопутствующей системе (см. § 3, п. 2). Однако в любой момент времени может быть построена полугеодезическая систе­ ма координат ярь ф2:

Здесь Л,1, Яг— собственные числа, соответствующие детерминиро­ ванным собственным направлениям тензора G=A-A*. Тем са­ мым определен аффинор А0, сопоставляющий единичный декартовый базис егестественному базису поверхности Т1°= <?г/дфь т2°= dr/dtp2, T3°=N, где N —- вектор единичной нормали к поверх­ ности, т. е. Ti=j40-ef. Введем также аффинор А сопоставляю­ щий базис т,° мгновенно-сопутствующему базису

Для аффиноров А0, А', конечно, справедливы все результаты, по­ лученные в § 2, п. 2. Для аффинора же А', кроме того, справед­

ливы формулы § 3, п. 2./Более того, J2 {А' А' ) = 1, так как. все изменение площади поверхности принимает на себя аффинор А0,

т. е. лишь Dev (А' А' ) определяет аффинор А'. Для аффинора Л0 имеют место геометрические соотношения совместности пере­ мещений и поворотов типа (9) и (10):

Кодацци. Их запись в полугеодезической системе фь ф2 принима­ ет вид

32

Для аффинора А' геометрические соотношения совместности пе­ ремещений и поворотов в силу (22) и (23) могут быть записаны в виде

Для получения кинематических соотношений введем скорости

где v — абсолютная скорость точек пленки, v° — переносная ско­ рость этих точек вместе с поверхностью пленки, и — относитель­ ная скорость точек по отношению к пленке, т. е. по отношению к полугеодезической системе координат грь ф2. Так как

to v=v° + u. Теперь кинематические соотношения совместности перемещений и поворотов принимают вид

Здесь u= u (фь ф2), так что операции div и и rot и берутся по по­ верхности пленки, со' — вектор, соответствующий кососимметрич­ ному тензору со', определяемому из соотношения

такую двумерную модель гибкого тела, в которой сопутствующая система координат определена в любой момент времени, но фор­ ма соответствующей поверхности недетерминирована. Для этого достаточно оставить недетерминированной элементарную пло­ щадь поверхности, т. е. величину

~ _ дт дт

12~ dqx ‘ dq2 ’

и уравнение связи вместо (16) записывать так:

ние единичного вектора касательной к нити т=5г/дф может быть определено по отношению к системе фь фг тензором поворота от­ носительно нормали N, причем

где ср — угол поворота касательной к нити т относительно норма­

Таким образом, тензор В' может быть построен по геодезиче­ ской кривизне нити посредством (35) и с учетом (37) и (38) с точностью до своего значения в исходной точке ф= 0.

3* 35

Теперь вместо формулы (6) для нити на поверхности можно получить

ф(<7. О

Г= Г009+ J м (Sф) • Л+ (Гф) d-q■А00 (0 • В \ (t) е,. (I - 4-39)

ляющий поворот элемента нити ф= 0 относительно соответствую­ щей нормали к поверхности пленки N (ф= 0); А00 (t) — значение тензора А0 при ф= 0.

Итак, уравнение движущейся на пленке нити в силу (39) мо­

Здесь, как и в (4), v°= dr {^,t)!dt. Кососимметричный тензор со соответствует угловой скорости поворота элемента нити относи­ тельно нормали и имеет полугеодезические координаты в виде следующей матрицы:

причем <ог =d(p/dt, так что в силу кинематических соотношении совместности поворотов

Кинематическое соотношение совместности перемещений для те­ чения нити вдоль своей фиксированной формы сохраняется в ви­ де (2). Аналитические выражения связей, определяющих сово­ купность нити и пленки, состоят из уравнений связи для пленки, взятых в одной из форм (16), (32) или (33), уравнений связи для нити (7) и дополнительного уравнения 8[(дг/<3ф) • N]= 0, вы­ ражающего факт движения нити по поверхности пленки.

§5. Модели составных тел

1.Определения. Приведенные выше модели сплошных ср рассматривались как континуумы, составленные из множества

точек. Введенные в предыдущем параграфе одномерные и дву­ мерные модели гибких тел позволяют строить трехмерные среды как континуальные совокупности кривых или поверхностей. В первом случае получаем модели волокнистых, во втором слу­ чае слоистых тел.

36

2. Модель волокнистого тела. Волокнистым телом будем на­ зывать множество нитей, образующих трехмерный континуум. Если это множество никак не упорядочено, т. е. отсутствует та­ кая упорядоченность, которая является инвариантом движения, то волокнистое тело распадается на совокупность свободных (не взаимодействующих) нитей. Положим, что совокупность нитей, образующих волокнистое тело, допускает построение семейства дифференцируемых поверхностей ф! = const, где ф! = ф — дуговая координата, входящая в уравнение нитй (4—1) (причем 15г/<9ф | = 1). Допустим далее, что положение точек пересечения каждой нити с каждой построенной поверхностью молено упоря­ дочить координатным способом, что равносильно существованию сопутствующих координат ф2 = ^2, фз= 7зТогда существует си­ стема координат, инвариантная относительно движения и состоя­ щая из двух сопутствующих координат ф2 = 92. фз—cjz и одной координаты фь не являющейся сопутствующей и связанной с q\ соотношением ф1= ф 1 (<7ь0Такую модель будем называть твер­ доволокнистым телом. Ясно, что если скорость течения нити вдоль фиксированной формы отсутствует, т. е. и= 0, то ф] = <71 и твердоволокнистое тело превращается в твердое деформируемое тело. Если же и=4=0, то сопутствующей системы координат, ин­ вариантной относительно двшкения,' в волокнистом теле не су­ ществует. Систему координат фь ф2, фз будем называть квази­ сопутствующей. Введем в твердоволокнистом теле аффинор А, сопоставляющий декартовому базису егквазисопутствующий ба­ зис дг/дфг=Тг°=Л-е, (т2°= т2, тз°=тз, Ti°=;4=Ti). Для аффи­ нора А остаются справедливыми выражения (2—21), (2—27) — (29), (2—32), связанные с геометрическими соотношениями сов­ местности перемещений и поворотов:

37

Формулы для кинематических соотношений совместности пе­ ремещений и поворотов несколько отличны от таковых для твер. дого тела. Как и в случае нити, положим здесь v = v°+ и, где

причем v — абсолютная скорость точек тела, v° — переносная ско­ рость точек тела вместе с волокнами-нитями, и — скорость отно­ сительного течения точек по волокнам.

Для скорости v° имеют место соотношения

При использовании формул (10) следует иметь в виду соот­ ношения совместности, связывающие Gij и получаемые подста­ новкой (4) в (3). Заметим, что в отличие от модели твердого те­ ла здесь остаются недетерминированными величины

Ослабим введенные в твердоволокнистом теле связи, потре­ бовав, чтобы сопутствующие координаты ф2 = 92, фз= 9з имели место лишь в бесконечно малом интервале времени, т. е. были мгновенно-сопутствующими. При этом в качестве ф2 и ф3 можно выбрать полугеодезические координаты поверхностей ф1= const. Полученная таким образом модель представляет собой вязково­ локнистое тело. Геометрические соотношения совместности пере­ мещений и поворотов могут быть для этого тела записаны так:

причем dr/dq2=A ■<7г/5ф2, dr/dqs=A • 5г/<Зф3. Кинематические со­ отношения совместности перемещений и поворотов остаются в ви­ де (6), (8), (9)'с учетом (7).

Формулу (5) здесь удобнее записывать «в скоростях»: 4>з Фз

V — V000 + ш000 X (г Гооо) + J | ^ 3 (12) ез +

где tJji =ipi (<7i, t). Ускорение а может быть дано в виде

Аналитическая формулировка связи для вязковолокнистого тела записывается так:

И здесь в отличие от модели вязкой жидкости остаются недетер­

скорости v°, лежащая в плоскости, касательной к ф! = const при

Здесь связь между волокнами наиболее слабая и состоит в де­ терминированности в бесконечно малом интервале времени тех индивидуализированных площадей, которые получаются в сече­ ниях i|)i = const. В этом случае остается лишь одна сопутствую­ щая координата <71, в то время как сопутствующих координат q2 и qz вообще не существует. Вместо них, конечно, можно ввести

39