книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

твердого тела, определяемого ортогональным тензором B000 (t), получающимся из тензора Л0оо(0, если положить COQo(t)=0, и деформационного движения, определяемого шестью компонента­ ми метрического тензора Gij(t), по которым с помощью формул (32) строятся коэффициенты связности Г,-Д входящие в (34). Отметим, что если обобщенные координаты г00о(0 и Б00о(/). ха­ рактеризующие «абсолютно твердую» составляющую движения в фиксированный момент времени являются постоянными числа­ ми, определяющими фиксированный вектор г0оо и тензор В0оото обобщенные координаты Gjj, характеризующие деформационное движение, в фиксированный момент времени представляют со­ бой функции сопутствующих координат q;. Однако здесь следу­ ет учесть, что величины в ц не могут быть заданы произвольно

вым). Другими словами, дифференцируемая функция г(г0) мо­ гла бы существовать, если' бы тело в деформированном состоя­ нии заполняло некоторое воображаемое трехмерное риманово пространство. В реальном же евклидовом пространстве такой функции не существует. Однако эта формально введенная мо­ дель среды может описывать твердые тела с дислокациями. С геометрической точки зрения такая среда будет обладать тем свойством, что дифференцируемая кривая в пространстве D0 мо­ жет перейти в недифференцируемую кривую в пространстве D.

§3. Модель жидкости

1.Вводные замечания. В данном параграфе будут рассмотре­ ны модели сплошных сред, в которых дифференцируемость функции г(г0), а следовательно, и существование тензора-аффи­ нора А, вообще говоря, не предполагаются. Если в таких моде­ лях зафиксировать в пространстве начальных состояний некото­ рую непрерывную кривую, то ее образ в деформированном про­ странстве D может оказаться всюду разрывной кривой.

2. Модель ламинарной вязкой жидкости. Сплошную среду бу­ дем называть ламинарной вязкой жидкостью, если при г= г0 функция г(г0) однозначно-дифференцируема, т. е. существует производная A=dr/dr0. Учитывая, что v = drjdt при г0= const, и опираясь на дифференцируемость г по t достаточное число раз, можно утверждать, что функция v(r) однозначно-дифференциру-

2П

ема. Б каждый момент времени существует сопутствующая, а точнее — мгновенно-сопутствующая система координат qu при­ чем при г= г0 остаются справедливыми геометрические и кине­ матические соотношения совместности перемещений и поворотов,

записанные в виде (2—21), (2—26), (2—27), (2—29), (2—32) — (2—44).

Ввиду непрерывной дифференцируемости по времени функ­ ции г(г0, t) из сказанного выше следует, что аффинор А предста­ вим в виде

так что аффинор А мало отличается от единичного. Аналогичные представления имеют место и для аффиноров С, В (А = С • В) , которые также мало отличны от единичного. Поэтому тензоры Гг и й,- являются бесконечно малыми порядка е, причем dA/dq* = = Гг, dBjdqi = Qi. Условия геометрической совместности переме­ щений в этом случае вместо (2—21) принимают вид

Условия геометрической совместности поворотов вместо (2—27)

Учитывая, что Гг | г ^ г~ Гг- А ~ АГ;= ( | Гг^дг)Г,-, можно вос­ пользоваться формулой (2—14); тогда вместо (2—28) и (2—34) имеют место представления

Наконец, формула (2—32) упрощается следующим образом:

21

Так как divv= /i (dv/dr) = /j (ш) + / 1(dC-\/dt) и Ji (со) =0 ввиду кососимметричности тензора со, то

div v = - j f [J\ (C-i)]-

А так как / 3 (А) = 1+У) (A_i) = 1 + /i (С_i)+ /i (£_i) и (B_i) = = 0, то /3 (A )= /i (C-i)-f-l- С учетом этого первое кинематиче­ ское соотношение совместности перемещений принимает вид

симметричность тензора со, придем к следующим кинематическим соотношениям совместности перемещений:

со, т. е. соХа = со • а.

Соотношения (12) эквивалентны лишь двум скалярным ра­ венствам, так как div rot v = 2div со = 0, и, следовательно, из трех проекций со9г лишь две являются независимыми. Значит, усло­

вия (11) и (12) образуют три скалярных соотношения кинема­ тической совместности перемещений.

Кинематические соотношения совместности поворотов вместо (2—44) принимают вид

Рассмотрим вопрос об аналитической формулировке связей

вламинарной вязкой жидкости.

Всоответствии с формулой (7) и с учетом (8) движение ис­ следуемой среды может быть воспроизведено в каждом беско­ нечно малом интервале времени посредством обобщенных коор-

22

динат гооо, Вооо, определяющих абсолютно твердую составляю­ щую перемещения элементарного объема и шести компонент метрического тензора Gij. Для того чтобы не быть связанными бесконечно малым интервалом времени, можно от перемещений в (7) перейти к скорости, продифференцировав (7) по времени с учетом малости Г*; тогда

оо

Кроме того, из (8) следует

Таким образом, скорости точек рассматриваемой среды в лю­ бой момент времени могут быть воспроизведены с точностью до скорости абсолютно твердого движения, определяемого векто­

рами vooo и со посредством шести величин Gej, являющихся ком­

должны удовлетворять шести дифференциальным соотношениям, получающимся в результате подстановки (16) в (4). Отсюда вы­ текает аналитическая формулировка связи, выражающая факт

детерминированности величин Gij, а именно

к декартовой, равная матрице декартовых координат аффинора А, близка к единичной.

Наконец, формула (17) может быть записана так:

23

следует 6Dev G = 0, б/ i (G) = 2/3(A) =0, т. e. 6divv = 0. Отметим случай несжимаемой жидкости (divv^O ):

которую будем считать существующей, но не обязательно одно­ значной на всем множестве г. При этом будем допускать, что в каждой точке пространства г совмещено некоторое континуаль­ ное множество точек г0(£) со скоростями v(£), где | — параметр,

цируема по г при фиксированном %. Подчеркнем, что складывать эти скорости нельзя, так как они приписаны различным индиви­ дуализированным точкам жидкости, совмещенным в одной точке пространства. Однако в каждой точке пространства можно вве­ сти среднюю скорость, или скорость «центра масс» совмещенных индивидуализированных точек:

v , = f v ( c ) ^ ,

о

которая в силу сделанного выше предположения будет одно­ значно-дифференцируема по г.

Наложим на функцию v(r, |) ограничение, состоящее в тре­ бовании существования предела

1

Л т0 - J r j f v - r f s - d i v v

5 0

во всех точках пространства г. Из существования div v следует,

Сплошную среду, для которой в каждой точке пространства существует единственное значение div v, будем называть идеаль­ ной жидкостью. Аналитическое выражение связи для идеальной жидкости принимает вид

Подчеркнем, что как скорость v, так и тензоры A, A, G, G в иде­ альной жидкости, вообще говоря, многозначны. Однозначность

гарантируется лишь для величин d/dt(dV/dVo), 1з{А), Jz(G). Как

ив предыдущем случае, здесь связь является неголономной.

Всилу (21) существует взаимно-однозначное соответствие между индивидуализированными объемами dVо и dV, заданными

вD0 и D, если состояния D0 и D отличаются бесконечно малым

24

интервалом времени. Другими словами, если в пространстве на­ чальных состояний Do зафиксировать некоторый элементарный объем dVо, то через бесконечно малый интервал времени он пе­ рейдет в элементарный объем dV пространства D таким обра­ зом, что все точки, находившиеся внутри объема dVo, останутся внутри объема dV\ но если в объеме dVо зафиксировать некото­ рую непрерывную кривую или поверхность, то в объеме dV точки этой кривой или поверхности могут оказаться «рассыпанными» так, что из них уже нельзя будет составить непрерывную кривую или поверхность.

Если идеальная жидкость несжимаема (divv^O ), то вместо связи (21) имеет место связь

d/dt(dV/dV0) в области положительных значений остаются неде­ терминированными. Это обстоятельство соответствует тому, что при увеличении элементарного объема несжимаемой идеальной жидкости последний превращается в совокупность свободных точек (разбрызгивание).

Очевидно, что в идеальной жидкости сопутствующей системы координат не существует. Однако можно построить некоторую условную мгновенно-сопутствующую систему координат qf', опи­ раясь на детерминирование в каждой точке идеальной жидкости средней скорости vc и учитывая, что эта скорость обладает таки­ ми же свойствами, как и скорость v для модели ламинарной вязкой жидкости. Тогда останутся в силе соотношения (1) — (16),

Эта разность определяет скорости относительного движения «совмещенных» в одной точке пространства индивидуализиро­ ванных точек жидкости по отношению к своему «центру масс». Скорости в каждой точке являются функциями |, т. е. много­ значны. Возникновение таких недетерминированных связями ско­

ростей является результатом недетерминированности Dev G, в си­

25

§4. Модели гибких тел

1.Одномерное гибкое тело (нить). Будем называть спло ную среду одномерным гибким телом (нитью), если в каждой точке г0 пространства начальных состояний Do существует такое единственное направление т, вдоль которого функция r(r0, t) дифференцируема в любой момент времени. Тем самым детер­ минировано одно из собственных направлений и соответствую­ щее ему собственное число метрического тензора A-A* = G. Сравнение нити с твердым телом и идеальной жидкостью пока­ зывает, что в твердом теле детерминированы все инварианты

метрического тензора, в идеальной жидкости — лишь третий его инвариант, а в нити — одно из собственных направлений и соот­ ветствующий этому направлению инвариант. Из определения ни­ ти следует, что в любой момент времени существует лишь одна сопутствующая координата q\ = q с касательной т, совпадающей с детерминированным собственным направлением аффинора А.

Итак, под нитью можно понимать индивидуализированную дифференцируемую кривую, перемещающуюся в пространстве в соответствии с уравнением

где ф — криволинейная координата на кривой.

В качестве ф можно было бы взять сопутствующую коорди­ нату q, однако, как выяснится в дальнейшем, это не всегда удоб­ но.

На функцию (1) будем накладывать следующие ограничения': 1) функция (1) кусочно-дифференцируема по ф и t; 2) из нера­ венства ф!=#=ф2 должно следовать неравенство г(ф1) =т^г(ф2), что исключает возможность самокасания и самопересечения; 3) ес­ ли нить замкнута, то уравнение (1) должно обладать свойством г(ф) = г (ф + kl), трЫ — длина замкнутого контура нити, k — лю­ бое целое число.

Если дф/д<7> 1, то элемент нити удлинен; если дф/д<7< 1, то эле­ мент нити укорочен; если d^jdq=\, то элемент нити сохраняет начальную длину.

ния и и коэффициент удлинения f связаны кинематическим соот­ ношением совместности

26

В целом функция ф= ф (q, t) определяет движение нити вдоль фиксированной формы и может быть названа функцией течения нити.

Свяжрм исходный декартовый базис еь е2, е3 с базисом есте­ ственного трехгранника кривой г (ф, t) ортогональным тензором В так, что

тор Дарбу й так, что й • а= Й Х а, и, следовательно, проекциями на оси естественного трехгранника т3 и Ti вектора Й являются кривизна й 3 и кручение Й! кривой г (фД). Тензору то (0 соот­ ветствует вектор угловой скорости то, с которой поворачивается элемент нити ф= 0. Можно ввести и кососимметричный тензор m (ф, t) , соответствующий вектору угловой скорости со поворота текущего элемента нити: dB/dt-us ■В, B= M t (m) •В (ф). Тен­ зоры й и со связаны кинематическими соотношениями совмест­ ности поворотов

сте с фиксированной формой нити и относительной скорости те­ чения и вдоль фиксированной формы нити.

Для ускорения точек a=d2r/dt2 (9 = const) возможно следующее представление:

Результирующее движение нити синтезируется из течения вдоль фиксированной формы, определяемого функцией течения ф (q, t), абсолютно твердого движения, определяемого вектором поступа­ тельного перемещения г0 (t) и ортогональным тензором В0 (t),

27

идеформационного движения, связанного с изменением формы

иопределяемого тензором Q или сопутствующим ему вектором Дарбу Q:

Таким образом, положение .нити в пространстве и ее движение могут быть описаны обобщенными координатами r0 (t) , В 0 (t ), й (фД). Ф (7,/), и, следовательно, нить имеет конечное число обобщенных координат, а значит, и конечное число обобщенных степеней свободы. Аналитическая формулировка связи для нити приобретает вид

точке г0 пространства начальных состояний Do существует такое единственное направление тз, что функция г(г0, t) дифференци­ руема в любой момент времени вдоль плоскости, перпендикуляр­ ной тз. Тем самым детерминированы два собственных направле­ ния и два соответствующих им собственных числа метрического тензора G = A - A * . Следовательно, существуют две сопутствую­ щие координаты qi, q2 с касательными ть то, перпендикулярны­

ми т3.

Итак, под пленкой можно понимать индивидиуализированную дифференцируемую поверхность, перемещающуюся в простран­ стве в соответствии с уравнением

гауссовых координат можно было бы выбрать сопутствующие координаты q\, q2, но, как и в случае нити, это не всегда удобно.

На функцию (8) будем накладывать такие же требования, как и на функцию (1), т. е. будем считать эту функцию кусочно­ дифференцируемой по фь фг, t и однозначной. Если же поверх­ ность замкнут?^ то функция (8) должна быть периодической по одной или двум координатам фг.

Рассмотрим геометрические и кинематические соотношения в пленке, предполагая существование и непрерывность смешан­ ных производных от г по qi. Положим в уравнении (8), что га­ уссовы координаты фь ф2 являются сопутствующими, и опреде­ лим аффинор А', сопоставляющий единичный декартовый базис е,- и сопутствующий базис ti = dr/dqlt х2 = дт/dq2, тз=!М (N — век­

28

(2—19). Геометрические соотношения совместности перемеще­ ний и поворотов здесь вместо (2—21) и (2—27) принимают вид

рых аффинор А' и вектор перемещений г могут быть построены по коэффициентам связности Гг, однако соотношения (2—32) и (2—33) уже не имеют места. Дело в том, что по формулам (2—, 32) для случая поверхности могут быть выражены через коорди­

ней геометрии поверхности и связаны с параметрами ее формы, т. е. внешней геометрии, а именно:

внутренней геометрии; тем самым формула Гаусса накладывает ограничение на изменение формы, согласуя его с изменением метрики. Формулы (14), называемые формулами Петерсона — Кодацци, накладывают два дифференциальных ограничения на

29