книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

Известно [5], что из трех собственных чисел этого тензора лишь одно является вещественным, а два других — мнимыми, т. е.

\ = е1\ = X3 = l (i = V ^ A ) , (1 -2 -7 )

причем одно из собственных направлений, а именно е3°, соответ­

инвариант тензора В, равный сумме диагональных членов матри­ цы его координат.

Ограничение (6), как и ограничения (5), исключает из рас­ смотрения зеркальные отображения Do в D, при которых правый

Заметим, что собственные числа всякой матрицы являются комплексно-сопряженными с собственными числами транспони­ рованной матрицы, и поэтому собственные числа матрицы (А)х • (А)ж* не только вещественны, но и положительны, так как равны квадратам модулей собственных чисел исходных матриц. В силу этого существование операций, имеющих место в (8), не вызывает сомнений, и, следовательно, поставленная задача ре­ шена с помощью формул

Но поскольку квадратный корень из собственных чисел матрицы (А)ж- (А)ж* имеет два вещественных значения [6], то ясно, что представление (9) не единственно. Для единственности представ­ ления достаточно потребовать выполнения ограничений (5), в силу которых из решения выбирается та матрица, у которой все собственные значения положительны.

Однако рассмотренные соотношения сразу же приводят к вы­ воду о том, что не всякий аффинор осуществляет физически воз­ можные движения. Действительно, для существования аффино­ ра А, осуществляющего физически возможные движения, нужно

1C

еще гарантировать выполнение ограничения (6), а это при вы­ полнении (5) возможно лишь при условии

в силу которого необходимо, чтобы третий инвариант аффинора А был положительным.

чение (10) нельзя рассматривать как связь, так как оно лишь ис­ ключает из рассмотрения зеркальные и вырожденные отображе­ ния D0 в D и не сужает класса физически возможных движений.

Исследуем дифференциальные свойства аффинора А. Поло­ жим, что Л=Л(т]) — некоторая дифференцируемая функция пе­ ременной tj. Производная dAjdr\, как известно [7], образует двух­ валентный тензор. В силу (10) возможно следующее представле­ ние:

равномерно сходящийся по т] в любом конечном интервале изме­ нения т) [6], причем (/) — единичная матрица.

Следовательно,

где I — единичный тензор.

Заметим, что если имеет место равенство

0 -2 -1 3 )

11

т. е. матрица (Г^)* коммутирует со своим интегралом, то матрицант может быть записан так:

тензором В* понимается тензор, матрица декартовых координат которого транспонирована по отношению к матрице декартовых

к равенству (17), что и показывает кососимметричность тензора Q . Отсюда же следует вырожденность этого тензора det(Q1) ) х=

собственное направление е3° определяется однозначно, а собст­ венные направления ei° и ег°— с точностью до поворота относи­ тельно е3°. Кроме того, все три собственных направления взаим­ но ортогональны.

Выясним физический смысл тензора £2^. Для этого восполь­

зуемся соотношениями (16) и (15), в силу которых для беско­ нечно малых т) и ф имеет место равенство собственных направле­ ний и чисел тензоров В и 7+ £2v

12

поворота элементарного объема относительно мгновенной осие3° при бесконечно малом изменении гр Заметим, что мгновенная ось е3°, вообще говоря, не совпадает с осью конечного поворота,

Исследуем теперь поле аффинора в пространстве D, т. е. бу­ дем считать, что этот аффинор зависит от сопутствующих коор­ динат qu <7г, Яг точек пространства D. Таким образом, Л = =Л(<7ь <7г, qz). При этом будем предполагать существование не­ прерывных смешанных производных третьего порядка от г по qi (такое предположение, в силу сказанного в § 1, п. 3, не означа­ ет введения дополнительной связи в модель твердого тела).

Предстоит выяснить, всегда ли можно по заранее заданному полю тензора-аффинора А воспроизвести функцию г(г0). Исходя из (3), можно записать:

Здесь ег- и п — орты декартового и сопутствующего базисов. Для того чтобы было возможным по аффинору А воспроизве­

сти функцию г= г(г0, t), необходимо, чтобы соотношения (20) были интегрируемы, т. е. чтобы смешанные производные от г по

вают возможность воспроизвести функцию г= г(г0) по аффинору А с точностью до постоянного вектора г(0, 0, 0) = г0оо, а именно

13

Эти соотношения гарантируют то, что замкнутая кривая, задан­ ная в D0, переходит в замкнутую кривую в D. Действительно, из

(3) следует, что

Но равенство (24) следует из (21), а равенство (23), выполняю­ щееся в силу (24), свидетельствует о том, что замкнутый в D0 контур остается замкнутым и в Д .

Соотношения (21) допускают еще одну геометрическую ин­ терпретацию, для получения которой введем коэффициенты связ­ ности в соответствии с формулами {7]

Таким образом, смешанные (один раз ковариантные и один разконтравариантные) сопутствующие координаты тензоров Г* яв­ ляются коэффициентами связности сопутствующей системы коор­ динат.

Введем тензор кручения S пространства D, сопутствующие координаты которого выражаются через коэффициенты связ­

Однако нетрудно видеть, что соотношениями (21) или (26) не исчерпываются дифференциальные ограничения, накладываемые на аффинор А. Действительно, нужно еще обеспечить независи­ мость от порядка дифференцирования третьих смешанных про­ изводных от А по qu qj, qk, причем при выполнении (21) это сво­ дится к независимости от порядка дифференцирования вторых смешанных производных от А по qi, qj. Таким образом, необхо­ димо, чтобы выполнялись условия интегрируемости соотношений dA/dqi = Ti • A (i= l, 2, 3), которые принимают вид

14

Соотношения (27), эквивалентные восемнадцати скалярным ра­ венствам, позволяют воспроизвести функцию А (qu q2, q3) по функциям r,-(<7i, q2, q3) (г = 1, 2, 3) с точностью до тензора Лооо=Л(0, 0, 0,). Учитывая (12), можно записать

где

^з(12) = (0> 0, <7з), Г,2(1) = Г2 (О, ^2i ^з)> ri = Pi (^1 Я2 Яз)-

Вясним геометрический смысл соотношений (27). С этой целью используем представление (19) и подставим выражение для Г, в (27). После несложных выкладок получим, что из (27) следует

-3?Г + 2 <-а / = - з 1 + а Г е .- (; - W = 2.3), (1 -2 -2 9 )

3)' ( '- 2 - 3 ° )

Соотношения (29) представляют собой не что иное, как гео­ метрические условия совместности поворотов элементарных объ­ емов при движениях твердого тела. Смысл их состоит в следую­ щем. Пусть в пространстве D0 задан некоторый замкнутый диф­ ференцируемый контур, составленный из координатных линий. Зафиксируем в каждой его точке координатный базис е,. Вслед­ ствие дифференцируемости этого контура можно, начиная с не-' которой точки, обойти контур так, что начальный и конечный базисы е, совпадут. Такому обходу в пространстве D соответст­ вует обход соответствующего замкнутого контура (он будет зам­ кнут в силу (21)) сопутствующим базисом т,-, причем соотноше­ ния (27) или (29) гарантируют, что в той точке, где совпали ба­ зисы е*, совпадут и базисы тг-. Другими словами, соотношения (27) или (29) гарантируют, что дифференцируемая кривая в D0 перейдет в дифференцируемую кривую в D.

Наконец, дадим еще одну геометрическую интерпретацию со­ отношений (27). Умножая тензорное равенство (27) слева и справа на базисные векторы тг-,и учитывая формулы (25), при­ дем к условиям

дТпп дТпп

'Rl ‘-‘ ----- щ г ----- Щ - + Т\ - ТР» - Т"1,-Г1,11 = 0. (1 -2 -3 1 )

выражающим факт равенства нулю трижды ковариантных и один раз контравариантных сопутствующих координат тензора кривизны пространства D (тензора Римана — Кристоффеля [7].

Следовательно, вместо (27) можно записать R = 0. Итак, со­ вокупность соотношений (21) и (27), или, что то же самое, соот­ ношений (26) и (29), образует ту группу дифференциальных ог­ раничений, которым должен удовлетворять аффинор А, чтобы по его полю А(г0) можно было воспроизвести функцию г(г0).

15

Заметим, что соотношения (21) и (27) эквивалентны 24 ска­ лярным условиям, накладываемым на 27 коэффициентов связно­ сти ГгД а соотношения (26) и (29) — двенадцати скалярным ус­ ловиям, накладываемым на пятнадцать величин Сц, Q*,-71; и в том и в другом случае «свободными» остаются три величины. Такое совпадение не случайно, оно соответствует тому, что исходный вектор г задается лишь тремя координатами, поэтому образован­ ные от него производные по qi, число которых больше трех, дол­ жны удовлетворять дополнительным условиям, число которых на три меньше числа самих производных.

Контравариантные координаты Gа образуют матрицу, обратную матрице ковариантных координат, т. е. (G^) = (Gfj)-1. Поль­ зуясь символами Крнстоффеля 2-го рода, можно все коэффици­ енты связности выразить через ко- и контравариантные компо­ ненты метрического тензора G:

сти к шести дифференциальным условиям второго порядка отно­ сительно шести координат метрического тензора вц:

и учитывая (32), можем констатировать, что вектор г= г(г0) строится по шести скалярным функциям Gij, удовлетворяющим шести дифференциальным условиям (33), с точностью до посто­ янного вектора г00о и постоянного тензора Л0ооПоэтому в каче­ стве аналитической формулировки связи для модели твердого тела можно принять

где 6 — символ вариации.

16

Итак, аналитическая формулировка связей в модели твердо­ го тела сводится к детерминированности шести компонент мет­ рического тензора сопутствующей системы координат, причем если используется форма (35), то следует учитывать ограниче­ ния (33).

3. Кинематические соотношения в модели твердого тела. Бу дем предполагать для любых моделей сплошной среды диффе­ ренцируемость функции г(г0, t} по времени нужное число раз и тем самым исходить из существования вектора скорости v =

= dr/dt при r0= const. Приравнивая смешанные производные от

Но, учитывая (11), (15), вместо dA/dt можно записать dA/dt =

вую скорость поворота элементарного объема тела и соответст­ вует вектору угловой скорости со ( | со j = / 2(fit) =72(со)). Поэтому (37) может быть заменено одним из двух соотношений:

Однако из приведенных соотношений лишь три скалярных условия являются независимыми, их можно записать в трех ва­ риантах:

Остальные условия в кинематических соотношениях совместно­ сти' перемещений являются следствиями геометрических соотно­ шений совместности перемещений (21) и (26).

Приравнивая смешанные производные от А или В по q\ и t, придем к двум эквивалентным вариантам кинематических соот­ ношений совместности поворотов:

. - те-

Приравнивание аналогичных смешанных производных по t, q2 и i, q$ дает условия, являющиеся следствием вышеприведенных

всилу геометрических соотношений совместности поворотов (27) и (29). Кинематические соотношения совместности (41) и (43) эквивалентны двенадцати скалярным условиям и содержат две­ надцать кинематических величин Гг и v. Аналогичные соотноше­ ния (42) и (44) эквивалентны шести скалярным условиям и со­ держат шесть кинематических величин со, v. Вектор ускорения

втвердом теле определяется одним из следующих способов:

4. О разрывах в модели твердого тела. В предыдущих пун тах для модели твердого тела предполагалась дифференцируе­ мость функции г(г0). Однако можно несколько ослабить это ог­ раничение, потребовав, чтобы функция г(г0) была дифференци­ руема почти везде, т. е. чтобы разрывы производных dr/dqi и dr/dt могли существовать лишь при переходе через некоторую, вообще говоря, движущуюся относительно среды поверхность, а при движении вдоль этой поверхности —отсутствовали. По­ следнее предположение существенно, так как именно оно позво­ лит достигнуть однозначности разрывов на точках соответствую­ щей поверхности (т. е. 6' [<Эг/д<7г]= 0) .

Итак, зафиксируем в некоторой точке М элемент поверхности разрыва с единичной нормалью N и совершим преобразование декартовых координат с матрицей Аф так, чтобы новые коорди­

наты фь фг, фз> вообще говоря, подвижные, имели в зафиксиро­ ванный момент времени to в точке М единичный ортогональный

Здесь символ l- ] означает разность между значениями соответ­ ствующей величины при переходе через поверхность разрыва. Таким образом, если рассмотреть скалярное поле хг- в бесконеч­ но малой окрестности, окружающей точку М, то [IgradXil] =ht. По этому [dxi/dqj]= hi п • N (i, /= 1, 2, 3). Подчеркнем еще раз, что непременным условием существования и единственности этих разрывов явилось наличие в точке М такой поверхности, вдоль касательных направлений к которой производные dr/dqi остают­ ся непрерывными. Такие разрывы в дальнейшем будем называть детерминированными.

18

Допустим теперь, что вышеупомянутая поверхность разрыва движется. Скоростью ее в точке М в фиксированный момент времени назовем величину ^N = N • dty]/dt. Рассмотрим функции Xi—Xi (фь фг, фз, t), описывающие изменения декартовых коор­ динат тех точек пространства, которые лежат на зафиксирован­ ной поверхности разрыва в момент времени to. Так как в силу сделанного выше предположения разрывы производных при дви­ жении вдоль поверхности разрыва отсутствуют, то

Формула (47) устанавливает связь между разрывами производ­ ных г по координатам <7< и по времени t при переходе через по­ верхность разрыва.

Заметим, что и в последнем выводе было использовано то об­ стоятельство, что в направлениях, касательных к самой поверх­ ности разрыва, все производные непрерывны.

Все проделанные выводы справедливы, строго говоря, лишь при условии, что сама поверхность разрыва в точке М непрерыв­ на, т. е. не имеет угловой точки, что дает возможность детерми­ нировать в ней нормаль N. Однако эти выводы принципиально не изменяются и в том случае, если поверхность разрыва в точ­ ке М имеет локальный разрыв при условии, что при подходе к точке М в любом из возможных направлений по поверхности разрыва нормаль N имеет определенный предел, зависящий, во­ обще говоря, от соответствующего направления. В этом случае полученные выше формулы будут иметь смысл лишь при указан­

5. Обобщенные координаты. Обобщенными координатами бу­ дем называть независимые функции, однозначно определяющие состояние сплошной среды. Число таких обобщенных координат естественно назвать числом обобщенных степеней свободы. Обобщенные координаты модели твердого тела легко устанавли­ ваются из формулы (34) . Действительно, в силу этой формулы движение твердого тела может быть синтезировано из поступа­ тельного перемещения как абсолютно твердого тела, определяе­ мого вектором Гооо(^), мгновенного вращения как абсолютно

2* 19