книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

что сколь угодно малые возмущения Аоп° и ДВп°, возникшие при t<t*, будут стремиться к бесконечности при а решение си­ стемы уравнений магнитной гидродинамики станет некорректным

взакрытом интервале [0, t*].

14.Турбулентная модель жидкости. Обратимся к уравнени

о

которое не зависит от | и отличается от уравнения Эйлера сла­

Совокупность уравнений (42), (43) эквивалентна исходному уравнению движения турбулентной жидкости. Применяя к обеим частям (42) операцию rot, придем к уравнению

отличающемуся от уравнения Гельмгольца — Фридмана слагае­ мыми, обращающимися в нуль при vr=0. Из этого уравнения следует, что при выполнении условий теоремы Гельмгольца о вихрях в данном случае helm Qc=?^=0, т. е. сохраняемость вихре­ вых линий и интенсивности вихревых трубок поля vc, вообще, го­ воря, не имеет места.

110

Аналогичным путем из (43) получим

Поэтому достаточным условием сохраняемости вихревых линий

вводить и в многочисленных приложениях интеграла Бернулли, например, в формуле Сен — Венана и Ванцеля или изоэнтропической формуле. Помимо (44) можно получить еще-один инте­ грал, вытекающий из (43) :

к поверхности разрыва из (42) с учетом уравнения баланса мас­ сы следует

Из последних двух соотношений приходим к формуле для ско­ рости звука:

X- «% = ± l A f - + J (П )2*<Я = а+. (Ill 6 45)

’n

111'

Таким образом, скорость звука оказалась больше классической. При условии

новый тип упругих волн, аналогичных волнам сдвига в упругом теле. С этой целью спроектируем уравнения (42) и (43) на нор­ маль п к поверхности разрыва с касательной т. Учитывая, что в силу уравнения баланса массы [д~Ос-1д%]= 0, а в силу кине­

матических соотношений на фронте разрыва [д/<Э/г]=0, если [<Э/дт]#0, получим

i

■Величину pjо {'Or')2dg можно отождествить с модулем сдвига G,

компенсирующим в турбулентной модели идеальной жидкости отсутствие упругих касательных напряжений. Подчеркнем, что полученный результат справедлив как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости, причем не зависит от ее вязкости. Одна­ ко необходимым условием существования упругих волн является

112

вихревой характер возмущенного движения жидкости, так как в'противном случае из равенств [dvcldn] —[<3^ /дп] — 0 будут сле­

Исследуем устойчивость поверхности тангенциального разры­ ва скорости vc, допуская проницаемость этой поверхности для vr.

где N — нормаль к поверхности разрыва, [orN]= —Х[аз], [ио^Г—

= (и—X) [OcN]"

Для скорости распространения X упругой волны формы по­ верхности тангенциального разрыва vc получим формулу

энергии пульсационного движения жидкости (2 Jо{vrn)2<2£>«2)

последняя становится устойчивой. Эта формула дает возмож­ ность проследить за механизмом образования турбулентности идеальной жидкости при появлении тангенциального разрыва скорости и привести некоторые количественные оценки.

Рассмотрим плоскопараллельный поток несжимаемой иде­ альной жидкости, имеющей скорость о0, направленную по оси*. Пусть в некоторый момент на оси х возник тангенциальный раз­ рыв скорости, равный и (причины возникновения тангенциаль­ ных разрывов были рассмотрены в п. 10). В соответствии с § 2, п. I и § 4, п. 2 при сколь угодно малых начальных возмущениях скорости, перпендикулярных оси х и имеющих вид До°= = (1/X) exp Xxi, мгновенно возникают конечные возмущения типа До=Л sin Хх. Так как начальные возмущения носят случайный характер, то существует вероятность появления сколь угодно ма­ лых Да0, а следовательно, сколь угодно больших X. При этом период изменения Да по х становится сколь угодно малым. В пре­ деле (Х->-оо) возмущения До представимы в виде постоянной для всех х многозначной функции До = ог=Л sin2n£ (| пробегаетвсе значения от 0 до 1). «Период» этой функции по х равен 0, так

как все свои значения она пробегает при каждом фиксированном х. Для нахождения конкретного распределения пульсационных скоростей До°(£) в начальный момент времени следовало бы привлечь статистические соображения ввиду случайного харак­ тера последних. Тогда для нахбждения поля скоростей при ^>0 можно было бы воспользоваться уравнениями (42) и (43). Но

будем рассуждать иначе. Для сохранения устойчивости возник- 1

шего тангенциального разрыва необходимо, чтобы 2§vrx2

о

Наименьшим принуждением образовавшееся течение будет об- 1

ладать в случае, если vc = v°, 2 jv r2dl=u.2. Тогда из (44) найдем

о

дополнительный перепад давления Др, который должен затрачи­ ваться на продвижение турбулизовавшейся жидкости:

Подчеркнем, что все рассуждения проведены без привлечения вязкости жидкости.

Аналогичным путем можно проследить и за другими случаями возникновения турбулентности. Действительно, с математической точки зрения одним из признаков появления турбулентности яв­ ляется потеря упругости воли сдвига, переносящих возмущения rotvc, а точнее, мнимая скорость распространения этих волн. Особенно наглядно это обстоятельство иллюстрируется приме­ ром с возникновением конвекции (п. 4). Появление поля пульса­ ционных скоростей определенной интенсивности в силу (46) вос­ станавливает упругость сдвиговых волн, и турбулентная модель жидкости, описываемая уравнениями (42), (43), становится ди­

случае брать предельные значения vT, гарантирующие упругость сдвиговых волн, а следовательно, устойчивость движения по от­ ношению к вихревым возмущениям.

Несколько иным выглядит механизм возникновения турбу­ лентности на гребнях гравитационных волн в модели мелкой воды. Для плоского варианта этой модели в потенциальном слу­

чае из (42) и (43) следует:

1

где p= p(r]-f/i), p = gp/2(r\-{-h)2. Здесь h(x) — невозмущенная глубина, r\{x, t) — возмущенная свободная поверхность, х — на-

114

правление распространения волн, X— скорость распространения волн. Добавляя к этим соотношениям вытекающее из теории мелкой воды условие

зависимости X от т] происходит опрокидывание волн, сопровож­ дающееся турбулизацией их гребней, т. е. возникновением ско­ ростей vr). В то же время движение с турбулизовавшимися греб­ нями становится устойчивым, так как падение X из-за уменьше­ ния высоты волн компенсируется возрастанием X вследствие по­

Fn = yrotB X B , где В ^индукция магнитного поля. Останавли­

и (43) на нормаль п к поверхности разрыва с касательной г и учитывая, что в силу уравнения баланса массы и второго равен­ ства в (48) [ducVdrJ^O, [д5т/дт]=0, а в силу кинематических со­ отношений на фронте разрыва [<3/д/г]=0, получим

1

Отсюда

Сравнивая эту формулу с (46), молено констатировать, что магнитная индукция увеличивает упругость волн разрыва rotvc

115

и далее сохраняет их упругость при и,-=0. Полученный результат хорошо согласуется с известным из магнитной гидродинамики фактом стабилизирующего влияния магнитного поля, повышаю­ щего устойчивость ламинарных течений лшдкости.

З а м е ч а н и е . Уравнения (42), (43) и баланса массы при физически оправданных граничных условиях могут все лее иметь бесчисленное миолеество решений, как и уравнение Эйлера (см. п. 10), если рассматривать, например, задачу об обтекании твер­ дого тела. Такая ситуация возникает из-за того, что на границе обтекаемого тела молено однозначно задать лишь нормальную составляющую скорости, в то время как касательная составляю­ щая v^° остается неопределённой. Так как произвольное задание v 1° не противоречит ни граничным условиям, ни исходной систе­ ме уравнений, появление мнолеества решений на мнолеестве {vT0} неизбелено. Для выделения из этого мнолеества ' единственного решения следует обратиться вновь к принципу наименьшего принуледения, выбирая такое vx+°, которое минимизирует принуледение Ф на {vt0}, т. е.

®(v0T+) = inf ®(v°t).

Напомним, что в п. 10 именно таким путем выделялось един­ ственное решение для плоского безвихревого обтекания, так как в этом случае неопределенность Vt° проявлялась в неопределен­ ности циркуляции Г.

Отметим также, что при решении уравнений (42), (43) для задач, в которых причиной появления vr является потеря устой­ чивости однозначного поля скоростей (например, возникновение, конвекции, размывание поверхности тангенциального разрыва), начальные и граничные значения vr имеют вероятностную приро­ ду. Для решения таких задач в детерминированной постановке мол<но рассуждать следующим образом: появление vn в соответ­ ствии с приведенными выше результатами, стабилизирует двилсение лшдкости, делая его устойчивым в классе многозначных фун­ кций v(g); пусть {vr*} — мнолсество начальных и граничных ус­ ловий, при которых во всех точках исследуемой области эта устойчивость имеет место; тогда истинный вектор vr+* молено найти из минимизации принуждения

Ф(vr+*) = inf Ф (vr*).

15.Упрощенная .турбулентная модель жидкости. Эта модель может быть получена на базе уравнений (42), (43) в результате

приближенной аппроксимации: vr(g) = v r° sign (g— 0,5), где vr° не зависит от g, т. е. замены многозначного поля скоростей дву­ значным. Тогда

116

В этом приближении движение жидкости характеризуется двумя векторными полями: vc й vr. Подчеркнем, что векторы скоростей vc и vr можно складывать только «энергетически» (i\ е. vc2 + vr2 =

= 2 Эц/р).

Посредством введенной модели исследуем сильные разрывы. параметров в турбулентной жидкости. Для этого выпишем дина­ мические соотношения на поверхности сильного разрыва, выте­

Здесь n" = v-n — проекция скорости v на внешнюю нормаль п к поверхности разрыва, w — тепловая функция, А'=А— vn, где А— скорость перемещения поверхности разрыва.

Интегрируя (50) по £ от 0 до 1, получим

[ рУ ] = 0 , РУ [ v *\ = [ р ] + р v rn ° [г»,л° ] ,

Для ненулевых разрывов, т. е. при [Ас']#0, имеем

Эта формула отличается от классической добавочным слагае­ мым, исчезающим при t>r=0.

117