книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

Отсюда получаем скорость распространения поперечной волны рассматриваемой поверхности в направлении скорости разрыва ив и условие «размывания» этой поверхности:

Здесь vni — проекция vn на направление скорости ив. Последнее условие упрощается, если разделяемые области жидкости имеют одинаковые плотности: uni<wB. Меняя ролями вихревую и потен­ циальную составляющие скорости, получаем аналогичные ре­ зультаты для поверхности тангенциального разрыва потенциаль­ ной составляющей скорости:

а при равенстве р' = р" последнее условие принимает вид oBi< u n.

классические уравнения движения сплошной среды при физиче­

единственным. Примером тому могут служить задачи об обтека­ нии твердого тела идеальной несжимаемой жидкостью.

Рассмотрим вначале задачу о плоском стационарном безот­ рывном обтекании твердого тела безграничным потоком идеаль­ ной (невесомой) несжимаемой жидкости.

Известно (см. [16]), что такая задача при заданной по вели­ чине и направлению скорости на бесконечности v<*>имеет бесчис­ ленное множество решений, зависящих от выбора величины цир­ куляции скорости Г. И только в том случае, когда на задней кромке обтекаемого тела расположена угловая точка, можно, ис­ ходя из постулата Жуковского — Чаплыгина, определить величи­ ну циркуляции Г, а следовательно, выделить единственное реше­ ние задачи. При отсутствии на профиле угловой точки постулат уже не применим и для выделения единственного решения при­ ходится привлекать дополнительные предположения.

Обратимся к принципу наименьшего принуждения в форме (II—1—4), согласно которому истинное движение жидкости ми­ нимизирует функционал

100

где а — часть плоскости, занятая жидкостью. Тогда искомая, цир­ куляция Г* определится из условия

Ф ^ , Г*) = inf Ф (■ово, Г).

Отсюда, как частный случай, вытекает постулат Жуковско­ го— Чаплыгина; действительно, при наличии на обтекаемом те­ ле угловой точки циркуляция Г* должна принять такое значе­ ние, чтобы интеграл в (25) не расходился, т. е. ускорение не об­

R о

Из равенства дФ/дГ = 0 следует, что принуждение Ф достига­ ет экстремума лишь при Г =0, причем из неравенства 52Ф/дГ2>0 при Г = 0 следует, что этот экстремум является минимумом. Сле­ довательно, задача об обтекании круга имеет единственное реше­ ние в классе непрерывных функций, причем это решение соответ­ ствует безциркуляционному обтеканию.

Докажем существование единственного решения задачи об обтекании произвольного плоского профиля без угловых точек в классе непрерывных функций. Для этого воспользуемся выра­ жением для комплексно-сопряженной скорости, получаемой из (26) соответствующим конформным преобразованием. Учитывая, что циркуляция Г по-прежнему будет линейно входить в это вы­

ражение, получаем Ф = А4Г4+ А3Г3-f А2Г2+ А4Г + А0 > О,

причем коэффициенты А* зависят от v«, и от вида обтекаемого профиля.

Пусть А4=т^ 0. Тогда уравнение <ЗФ/дГ=0 является кубическим относительно Г и, следовательно, имеет по крайней мере один вещественный корень. Этот корень должен соответствовать ми­ нимуму Ф, так как Ф->-оо при Г-^-оо. Если же уравнение <ЗФ/5Г=0 имеет три вещественных корня, то два из них соответ­ ствуют минимумам Ф, и из этих корней следует выбрать тот, при котором принуждение Ф наименьшее.

Пусть А4= 0. Тогда и А3 = 0; в противном случае Ф<0 при Г-9— оо, что невозможно. Если А2ф 0, то из равенства дФ/дТ = 0

101

получим Г= —А\/2А2. Этот корень соответствует минимуму Ф, так как Ф->-оо при |Г|-*-оо. Если А2 = 0, то и i4j = 0; в противном случае Ф <0 при Г-»— оо, что невозможно; но тогда принужде­ ние Ф окажется вообще не зависящим от циркуляции Г. В этом случае вопрос о единственности решения остается открытым.

Таким образом, существование единственного решения дока­ зано.

Заметим, что решения с безотрывным обтеканием, получае­ мые при условии divv = 0, сохраняют смысл лишь при р^О , так как в действительности div v^O (см. гл. II, § 3, п. 3). В качестве иллюстрации рассмотрим полуокружность, описываемую урав­ нением x2+ y2 = R2 (х'<0) и обтекаемую потоком, имеющим на бесконечности скорость Vco, параллельную оси х. Нетрудно прове­ рить, что комплексно-сопряженная скорость

контура. Введем вспомогательный контур г* (s), охватывающий тело так, что |г * |^ |г |. Очевидно, что любое решение задачи об обтекании контура г* (s) является одновременно и решением исходной задачи, но уже в более широком классе функций, допу­ скающем разрывы поля скоростей вдоль некоторых линий (в дан­ ном случае вдоль контура г* (s)). Поэтому имеет место оценка ф * ^ ф , где Ф* определяет принуждение в случае отрывного об­ текания. Варьируя г* (s) и величину тангенциального разрыва скорости вдоль этого контура так, чтобы достигнуть inf ф*, при­ дем к искомому отрывному обтеканию. В частном случае может, конечно, оказаться, что г* (s) = г (s), и тогда имеет место безот­ рывное обтекание/

Особый интерес при исследовании отрывного обтекания пред­ ставляет случай, когда минимизирующим для Ф* оказывается тангенциальный разрыв скорости вдоль г* (s), равный величине самой скорости на этом контуре; при этом между контурами г* (s) и г (s) образуется застойная зона (ц=0), а поэтому в силу уравнения Бернулли величина скорости вдоль контура г* (s) должна быть постоянной. Последнее обстоятельство позволяет

102

находить такого рода отрывные обтекания посредством уравне­ ния Эйлера (II—3—5) с учетом равенства divv = 0 и граничных условий v„ = 0, |w |= const при г = г* ( 5), где v„ — составляющая скорости жидкости, нормальная к контуру г* (s). Однако и в этом случае единственное решение можно выделить лишь то­ гда, когда известны заранее точки отрыва (например, при обте­ кании тела с угловыми точками). В противном случае следует обратиться к принципу наименьшего принуждения и. искать точ­ ки отрыва г+ из условия

ф (г+. = inf Ф (г+*, г>те),

где г+ * — возможные точки отрыва на контуре г (s).

Непосредственное практическое использование решений с от­ рывным обтеканием осложнено тем, что, как это следует из пре­ дыдущего пункта, линии тангенциальных разрывов скорости не­ устойчивы; следовательно, описанные выше решения будут не­ устойчивы в классе кусочно-непрерывных функций, т. е. сколь угодно малые случайные возмущения скоростей, перпендикуляр­ ные к линии разрыва, приведут к возникновению «всюду разрыв­ ного» поля скоростей. Действительно, в соответствии с (II—3—5) недетерминированные связями движения жидкости со скоростями vr (пульсационные движения) могут появиться или в силу специфических граничных условий, как в случае пе­ ресечения двух потоков (гл. II, § 3, п. 3), или в силу «всюду раз­ рывных» начальных условий, которые в рассматриваемом случае имеют место из-за неустойчивости линии тангенциального

vr (пульсационных скоростей) в соответствии с (I—3—23). В ка­ честве конкретного примера возьмем пластинку, обтекаемую по­ током, перпендикулярным к ее плоскости. Точками отрыва в этом случае являются концы пластинки, а застойная зона, в со-' ответствии с [16], простирается от тыльной стороны пластинки до бесконечности, неограниченно расширяясь. Для описания явле­ ний, возникающих после потери устойчивости границы застойной зюны, можно воспользоваться уравнениями, вытекающими из ми­

считая, что р = р (г, t), v= v (г,t,Q , O sS ^^l, т. е. полагая, что состояние каждой точки пространства характеризуется множест­ вом скоростей, образующих континуум v (£). Начальные значе­ ния v(£) обязаны своим происхождением случайным факторам, благодаря которым оказалась нарушенной устойчивость границы

103

застойной зоны, и, следовательно, при выборе этих значений дол­ жны быть привлечены статистические соображения.

11. Движение гибкой нити в идеальной жидкости. Проект руя уравнения движения гибкой нити в виде (II—2—9) с учетом сил инерции на оси естественного трехгранника, получаем

формой; и — скорость течения нити вдоль фиксированной формы; со — угловая скорость вращения элемента нити; F — внешние силы, отнесенные к единице длины; Qb Q3 — кручение и кривиз­ на формы нити.

К этим уравнениям следует добавить кинематические соотно­ шения совместности перемещений и поворотов в проекциях на те же оси:

а также связи между течением и, удлинением нити f, натяжени­ ем Г и начальной плотностью р0:

системы координат); F® — следящие силы негидродинамическо­ го происхождения, например пондеромоторные силы; будем по­ лагать, что F(2) = F<2>(oi°, v2°, t>3°); F<3>— силы гидродинамическо­ го происхождения.

Если считать жидкость идеальной и искать решение задачи о взаимодействии ее с нитью в классе дифференцируемых функ­ ций, то единственной силой гидродинамического взаимодействия

104

с нитью будет сила инерции присоединенных масс жидкости. Счи­ тая элемент нити прямым круговым цилиндром с исчезающе ма­ лым радиусом, найдем выражения для этих сил:

Здесь v' — скорость жидкости «на бесконечности», р '— плотность жидкости, отнесенная к единице длины нити.

Исследуем распространение разрывов формы нити [Qi], [Q3] и ее удлинения [/], используя систему (27)—(33) с учетом соот­ ношений совместности на фронте разрыва (см. гл. I, § 2, п. 4).

Из (27) и (32) сразу получим

О

Таким образом, скорость распространения упругой продоль­ ной волны в нити, движущейся в жидкости, имеет такой же вид, как и при движении в вакууме.

Рассмотрим несколько случаев.

1°. Пусть ь2 фО. Тогда распространяющиеся разрывы круче­ ния [Qi] невозможны, а для волны разрыва кривизны получим скорость

2°. Пусть v2 —0, Цз/= 0. Тогда для волны разрыва кривизны сохранятся выражения (35) и (36). Для получения скорости рас­ пространения разрывов кручения вместо превратившегося в тож­ дество второго уравнения в (34) получим новое соотношение, продифференцировав по ф. уравнение (29):

{(р + рОX2- (2ри— р 'О X - (Т — рц2) - « } [Q,] = 0.

105

т“ 2?Р'

Р+ Р' + « f 4(?Т7) (Р'®°1 - 4Р«)}- (HI—6—37)

Отметим, что это уравнение нелинейно относйтельно разры­ вов кривизны и кручения. Поэтому вначале ограничимся исче­ зающе малыми величинами этих разрывов, линеаризируя (39) по [Q i] и [П з]. Полученное линеаризованное уравнение будет точным для слабых разрывов формы нити, т. е. для [ d Q i/д ф ], [д £ 2 з/д ф ]. Решая линеаризованное уравнение (39) совместно с первым из уравнений (34), после несложных, но громоздких преобразова­ ний придем к характеристическому уравнению относительно скорости Я,4 для совмещенной волны кривизны и кручения формы нити, переносящей бесконечно малые сильные разрывы, или, что то же самое, конечные слабые разрывы формы нити:

106

Пользуясь преобразованием Феррари для уравнения четвер­ той степени с последующим решением вспомогательного кубиче­ ского уравнения по формулам Кардана, можно получить точные формулы для скорости Я4 и условия потери устойчивости формы нити в виде элементарных функций от исходных параметров. Од­ нако ввиду чрезвычайной громоздкости и плохой обозримости этих формул приводить их нецелесообразно.

Обратимся'к случаю конечных разрывов формы, для чего решим совместно нелинеаризованное уравнение (39) с первым соотношением в (34); после преобразований придем к следую­ щему уравнению относительно скорости распространения Я4' этих разрывов:

А \ \ / + Л '8Х / + Л '2Х / + Л',Х'4 + Л'о = 0.

Это уравнение уже не является'характеристическим, так как его коэффициенты зависят от величины переносимых волной разры­ вов. Для записи этих зависимостей можно воспользоваться фор-.

Распространение конечных разрывов формы с внехарактери-' стическими скоростями может'привести к возникновению удар­ ных волн формы нити, появляющихся в результате «накопления» слабых разрывов формы. Условием для возникновения ударных волн формы является неравенство dXjdQi>-0.

Полученные результаты допускают некоторые интерпретации. Положим, например, в формуле (35) Г= 0, F 2)=0, т. е. перейдем от нити к некоторой континуальной совокупности ничем не свя­ занных между собой точек, образующих непрерывную кривую. Положив р/= 0 в (35), убеждаемся, что такая кривая в вакууме неустойчива (т. е. точки, образующие кривую, должны «рассы­ паться». Если же р '^ 0 , то при соблюдении вполне реального неравенства

107

или

эта совокупность становится устойчивой и в ней появляется упру­ гая волна формы только вследствие гидродинамических сил. Бо­ лее того, такой континуум в жидкости может быть даже сжат с сохранением устойчивой формы при соблюдении неравенства

или

+ ! ) + / > ? # .

Здесь р = — Т — отрицательное натяжение (давление). В связи с этим последние неравенства могут интерпретироваться как ус­ ловия устойчивости формы затопленной струи исчезающе малой толщины и имеющей плотность р, отнесенную к единице длины. Для затопленной ст-руи, имеющей ту же плотность, что и окру­ жающая жидкость, условия устойчивости формы упрощаются:

-п0! > 2и + 2 ] / ” 2(п2 -|-Д ) или v°i < 2« — 2 j / ' 2 (u2+ -y -)-

Здесь р — давление в струе.

12. Тонкая оболочка в идеальной жидкости. Рассмотрим об лочку, конечная толщина которой на несколько порядков меньше остальных размеров так, что ограничивающие ее поверхности можно отождествить со срединной поверхностью. Положим, что

ЖИДКОСТЬЮ, НО С ПЛОТНОСТЬЮ Р 2 и скоростью и2. Оболочку будем считать упругой, имеющей модуль Юнга Е, коэффициент Пуас­ сона v и объемную плотность р. Пользуясь приемом, изложенным в п. 8, придем к характеристическому уравнению для скорости распространения поперечной волны оболочки А.:

Р^2 + Pi Q-— Mi)2 + РзO' — мг)2 = Тп + Д/ (2 (v + 1)),

где щ, и2— проекции щ и и2 на нормаль к фронту волны, Тп — нормальное напряжение, действующее на площадке, касательной к фронту волны. Отсюда

108

Условие потери структурной устойчивости поверхности оболочки запишется так:

= —Тп~^0, где р — давление. Физической реализацией такой мо­ дели может явиться битый лед, снизу обтекаемый жидкостью, а сверху воздухом. В этом случае условие потери устойчивости принимает вид

р+ р^ + р"- > л п“Ч + 2А12щи2+ А 22и22.

Отсюда следует, что это условие облегчается при встречном (по отношению к течению воды) ветре.

13. Идеальная электропроводящая жидкость в магнитно поле. Ограничиваясь случаем бесконечной электропроводимости,

всоответствии с [9] запишем

р[dv/dH- (v-V) v]= —gradp— rotBXB, dB/df=rot (vXB),

divB = 0, ф /d^+divp v=0,

где В — магнитная индукция.

Найдем скорости распространения разрывов rot v и rot В. Для этого спроектируем исходные уравнения на нормаль п к поверх­ ности разрыва с касательной т и, учитывая, что в силу последних двух уравнений [ди,/дт]=0, [дБ./с?т]=0, а в силу кинематических

соотношений на фронте разрыва [с?/с?/г]= 0 (так как [д/Зт]=/=0), получим

Из этой формулы следует, что при ВХп = 0 упругость волн раз­ рывов rotv и rot В исчезает, а соответствующие дифференциаль­ ные уравнения из гиперболических превращаются в параболи­ ческие.

Уравнение движущейся поверхности разрыва R (q\, q2, t) может быть найдено как решение системы

У р ■§-= ± |В — (В.п)п|-п, |п| = 1, п - ||- = 0 (1= 1 , 2),

если эта поверхность задана при ^=0, т. е. Ro=R (q\, q%, 0). Поло­ жим, что в невозмущенном состоянии щ = 0, а В и R0 подобраны

так, что dR/df-Ю при 00. Тогда в полной аналогии с «эф­ фектом кнута», рассмотренном в § 4, п. 4, можно утверждать,.

109