книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

= 6ij, причем орт dr/dqi направим по нормали N. При таком вы­ боре сопутствующей системы координат [dr/dq2,з]=0, так как

N-dr/dq2 = 0, N-dr/dq3 = 0', —X [dr/d^] —[dr/d(] = [v]. Здесь v — ско­ рость, t.— время.

Последние равенства вытекают из соотношений совместности на фронте разрыва. Обозначим проекции векторов dr/dqi и v на

а величины [и2], [нз] — фронты поперечных волн разрывов скоро­ стей и деформацицй рассматриваемой среды.

Здесь р — плотность, £ (...) — сумма членов, содержащих произ­ ведения трех и более скачков [а£],

Если варьирование в (5) произвести таким образом, чтобы ва­

Для существования ненулевых скачков [а,] необходимо равен­ ство нулю определителя:

i (Т у) — 1= Cl-

Отсюда следует, что скорости А, распространения бесконечно ма­ лых разрывов скоростей и деформаций в упругом теле определя­ ются через собственные значения А.0 симметричной матрицы (уу), составленной из вторых производных от потенциальной энергии по скачкам [й£] при нулевых значениях последних, т. е.

90

( Ш - 6 - 6 )

причем 1тЯ,10 = 0 вследствие симметричности матрицы (уц). Используем вновь тот факт, что характеристическое уравне­

ние любой линейной системы дифференциальных уравнений не изменится, если его продифференцировать п раз по одному из аргументов. Это означает, что те же характеристические скоро­ сти (6) будут иметь волны разрывов величин d2r/dq}2, причем разрывы [д2г/дд\2] могут и не быть малыми. Поэтому если имеет место одно из неравенств

то в силу результатов § 2 можно утверждать, что производные д2г/dqidqj становятся всюду разрывными, т. е. функция г (г0,t) не является дважды дифференцируемой по г0, а это означает разрушение структуры идеально упругого тела.

Поэтому при выполнении хотя бы одного из неравенств (7) следует от классических уравнений движения переходить к ми­ нимизации (II—1—7), сохраняя в качестве ограничений лишь те связи, которые оказались неразрушенными в силу (7).

2. Энергетический смысл потери структурной устойчивост

Как следует из предыдущего пункта, потеря структурной устой­ чивости связана с появлением отрицательных собственных значе­ ний матрицы, составленной из вторых производных от потенци­ альной энергии по величинам [а,-]. А это означает, что потенци­ альная энергия, рассматриваемая как функция скачков [а,], при­ обретает максимум. Другими словами, чтобы некоторая линей­ ная комбинации а* параметров щ стала нигде не дифференци­ руемой, достаточно, чтобы потенциальная энергия, рассматрива­ емая как функция [а*], имела максимум при [а*]=0. Если нера­ венство (7) имеет место для г= 1, 2, 3, то Эп приобретает абсо­ лютный максимум и любая линейная комбинация параметров становится нигде не дифференцируемой. Если неравенство (7) имеет место для /'=1, 2, то Эп приобретает максимум лишь вдоль тех направлений, которые лежат в плоскости, образованной глав­ ными векторами матрицы {уц), соответствующими ^i° и Хг°. Если неравенство (7) имеет место лишь для t= 1, то Эп приобретает максимум вдоль направлений, параллельных собственному век­ тору, соответствующему ?ц0.

Заметим, что полученные результаты формально можно обоб­ щить и на тот случай, когда матрица (уц) несимметрична, т. е. когда внутренние напряжения не имеют потенциала. При этом собственные значения Xi°, входящие в (6), могут быть мнимыми. Поэтому условие (7) сохраняется лишь для вещественных Х,°. Для мнимых или комплексных значений Xj° всегда имеются та­ кие Хь для которых Im А,г-<0, что является достаточным для по­ тери структурной устойчивости. Ясно, что возникновение таких

91

движений здесь уже не имеет такой простой энергетической ин­ терпретации, как в рассмотренном выше случае.

Наконец, остановимся на случае нулевых значений Х*0. Из (7) следует, что эти значения образуют границу области структур­ ной неустойчивости. Интересен вопрос о том, принадлежит ли эта граница области неустойчивости. Ответ на этот вопрос не может быть однозначным. Примером тому является случай, рас­ смотренный в § 4, п. 4, где показано, что при достаточно быстром стремлении Х°->0 (при q^-qo) граница принадлежит области не­ устойчивости, а в противном случае — не принадлежит. Следова­ тельно, в каждом конкретном случае нулевые значения Х° долж­ ны исследоваться особо. Заметим, что приведенная здесь энерге­ тическая интерпретация остается справедливой и для рассмот­ ренных ранее одномерных и двумерных тел. Действительно, не­ трудно убедиться в том, что

т_ <?2[ЭП]

а[ар ’

где Т — натяжение, Эп — потенциальная энергия формы, завися­ щая от натяжения: [Эп]= у Г [а ]2, причем [а] = [а3] в случае плен­

ки и [а] = ] / [а2]2+ [а 3]2 для нити.

3. Модель линейно-упругого изотропного тела. Положим, ч

линейно-упругое изотропное тело подчиняется закону Гука. В об­ ласти малых деформаций и напряжений [13]

[ э „ ] = ( р + 4 х) ^ '] 2+ 4 - м [ ^ ] 2 + [а3]2)

(р, X— коэффициенты упругости Ламе). Поэтому

Здесь Е, v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Следова­ тельно, при v>0,?, Е > 0 или v<[0,5, Е < 0 становится мнимой скорость распространения продольных волн и теряется устойчи­ вость связи 6^(dV/dV0) =0.

В этой области следует переходить от классических уравне­ ний динамики к минимизации функционала (II—1—7) в классе функций, удовлетворяющем связям 5£(Dev вц) =0.

Рассмотрим модель упругого тела в предположении, что ма­ лыми являются только касательные напряжения, действующие на площадке qlt q3 (модель тонкой оболочки). Тогда

92

причем £(...) — сумма остальных членов, не зависящих от [а3]. Поэтому

Неравенство в (9) выполняется в случае, когда сжатие в тонкой оболочке превышает модуль сдвига.

где Т] и Т2— главные напряжения в рассматриваемой точке тон­ кой оболочки, то в этой точке найдутся такие направления п, касательные к поверхности оболочки, что в сечениях, перпенди­ кулярных п, нормальное напряжение будет меньше модуля сдви­ га. Следовательно, выполнение хотя бы одного из неравенств (10) является необходимым и достаточным условием существо­ вания направлений, для которых имеет место неравенство (9).

Если же оба неравенства (10) выполняются одновременно, то в любом сечении будет иметь место условие (9).

При выполнении условия (9) следует от классических урав­ нений динамики переходить к минимизации функционала (II—1—7) с учетом того, что разрушаются, т. е. становятся недерминированными, связи

93

а следовательно, форма срединной поверхности оболочки. Если внутри тонкой оболочки протекает жидкость, то с учетом форму­ лы § 4, п. 1 получим

лыми являются не только касательные напряжения на площад­ ках qu <7з, как в предыдущем случае, но еще и касательные на­ пряжения на площадках q\, q2 (модель тонкого стержня). Тогда, как и в случае тонкой оболочки, получим

94

Таким образом, если в тонком стержне сжатие превышет модуль сдвига, становятся недетерминированными связи

и следует от классических уравнении движения переходить к ми­ нимизации функционала (II—1—7) с учетом оставшихся детер­ минированными связей.

Если внутри тонкого стержня протекает жидкость, то в пол­ ной аналогии с тонкой оболочкой получим вместо (13) и (14) формулы

Р+ Р' 2(р + р')(1 + '0

4.Модель идеального газа. Если ввести в идеальном газе у ловно-сопутствующую систему координат (см. гл. I, § 3, п. 3), то все результаты пп. 1, 2 этого параграфа остаются справедли­ выми и для идеального газа.

Для удельной потенциальной энергии газа справедливо соот­

ношение

Неравенство (16) имеет место, например, на восходящей ветви изотермы Ван-дер-Ваальса. В обычных условиях это неравенство может выполняться при интенсивном принудительном отводе теп­ ла от газа.

При выполнении неравенства (16) разрушается единственная связь в газе S5divv=0 и он превращается в систему свободных

точек.

Если рассматривается идеальный газ в поле силы тяжести в состоянии адиабатическом, но не изоэнтропийном, т. е.

95

неоднородностью и имеющих характеристическую скорость рас­ пространения поперечных разрывов вектора скорости v,

+

где g — ускорение свободного падения, z — координата,-направ­ ленная вертикально вверх, 0 — угол между z и направлением нормали к фронту волны. При выполнении условия

сколь угодно малые начальные возмущения приводят к конвек­ ции, в результате которой возникают течения с недетерминиро­ ванными составляющими скоростей vr, конечными по величине.

5. Модель вязкоупругого тела. Элементарная работа напря­ жений в вязкоупругом теле зависит не только от величин ait но и от производных по времени д1ai/dil. Поскольку в настоящее время существует большое количество модификаций моделей вязкоупругого тела, ограничимся лишь общим утверждением: классические уравнения движения вязкоупругого тела становятся неприменимыми, если среди скоростей распространения разры­ вов старших производных появляются такие, для которых

Im ^<0.

6.Модель вязкой жидкости. Элементарная работа напряже­ ний в вязкой жидкости зависит от первых производных dat/dt. Поэтому соответствующее характеристическое уравнение имеет нулевые корни. Как уже отмечалось в п. 2, такой предельный случай требует более детального исследования, при котором су­ щественную роль начинают играть граничные и начальные усло­ вия. Примером этому является возникновение турбулентного движения в вязкой жидкости, изучение которого может быть про­ ведено в соответствии с гл. II, § 3, п. 4.

7.Модели составных тел. В волокнистом теле структура во­ локон разрушается при тех же условиях, что и для изолирован­ ной нити, ввиду отсутствия касательных напряжений в сечениях,

содержащих волокна, т. е. здесь имеют место условия Т<0 и ’ (4—20). Если модель упруговолокнистая, то потеря устойчивости структуры сечений, перпендикулярных волокнам, происходит при выполнении условий (6) для потенциальной энергии как функции [а2] и [а3].

В слоистом поле структура слоев разрушается при тех же условиях, что и для изолированной пленки, т. е. при выполнении неравенства Тп<0. Если модель упругослоистая, то потеря ус­ тойчивости структуры происходит и при условии (6) для потен­ циальной энергии как функции [а3].

8. Поверхность раздела двух сред. Рассмотрим вначале слу­ чай, когда граница раздела является поверхностью и разделяет среды 1 и 2. Зафиксируем на этой границе точку и в бесконечно

96

малой окрестности ее введем две сопутствующие или условносопутствующие системы, координат q/, q", отнесенные соответ­ ственно к средам 1 и 2. Будем полагать, что относительно каж­ дой из выбранных систем в бесконечно малом интервале време­ ни выполняются условия dr/dqi-dr/dqj = 8ij, причем орты dr/dqi,

dr/dqi" направлены по нормали N к фронту волна разрыва, ле­ жащей в касательной плоскости к поверхности границы, а орты dr/dq3', dr/dq3" — по нормали п к этой поверхности.

Запишем принцип Гамильтона в форме (3), выбирая объем Vo так, чтобы он включал в себя границу раздела. Тогда

причем скачки [v/] и [v/'] независимы во всем объеме V0, за ис­ ключением границы. Связь между [и/] и [v"] на границе вытека­ ет из ее непроницаемости.

Действительно,

Здесь «I, «2, «з — компоненты относительной скорости между сре­ дами 1 и 2 на границе.

Следовательно,

к связи [из"]= [Уз/]+М1W I

Таким образом, на двумерной границе раздела связанными оказываются лишь скачки тех составляющих скоростей, которые нормальны к границе раздела. Поэтому для границы раздела по­ лучим

Таким образом, потеря структурной устойчивости поверхности раздела двух сред (размывание границы) происходит при вы­ полнении неравенства

9. Линия раздела п сред. Перейдем к случаю, когда граница раздела является линией и разделяет п сред. В полной аналогии с предыдущим случаем введем п сопутствующих или условно-со­ путствующих систем координат q^k\ предполагая выполнение ус­ ловий dr/dqiW■dr/dqjM ^8ц для каждой из этих систем вблизи некоторой зафиксированной точки в бесконечно малом интерва­

бинормали к линии границы в зафиксированной точке. Тогда

л 3 п з

Здесь учтено, что в силу непроницаемости линии границы раз­

нормальных и бинормальных к границе раздела составляющих скоростей.

+ 2 T33(ft) [e,(1)]. fe=l

Введем собственные значения Xi° и к2° матрицы с элементами

Заметим, что эти значения вещественны вследствие симметрич­ ности матрицы. Тогда потеря структурной устойчивости линии

98

границы раздела (размывание) происходит при выполнении од­ ного из неравенств

ная комбинация параметров [а^\, [а3] неустойчива. Если неравен­ ство (21) выполняется лишь для г = 1, то неустойчивой является такая линейная комбинация этих параметров, которая линейно

Для случая границы раздела между двумя идеальными жидко­

ми словами, граница раздела двух идеальных жидкостей всегда неустойчива. Однако последнее обстоятельство теряет силу, если вследствие поверхностного натяжения на границе раздела обра­ зуется тонкий, практически двумерный слой. В этом случае всту­ пают в силу формулы для пленки, и граница раздела может не потерять устойчивости благодаря силам поверхностного натяже­ ния (Тп>0). Подчеркнем, что в выражениях для потенциальной энергии на границе раздела слагаемые, содержащие объемную плотность, при переходе к пределу обратятся в нуль.

В то же время из (24) следует, что в однородной идеальной жидкости скольжение слоев («тангенциальные» разрывы) неус­ тойчиво и приводит к пересечению слоев, перемешиванию, турбулизации *.

Рассмотрим поверхность тангенциального разрыва вихревой

условия непроницаемости границы для вихревой составляющей скорости vB получим [цвз//]=[Увз/]+ «в [а3'], где «в — тангенциаль­

* По этой причине неустойчива вихревая пелена, на которой тангенциаль­ ный разрыв скорости равен интенсивности пелены.

7* 99