книги из ГПНТБ / Гальперин А.С. Прогнозирование числа ремонтов машин

автомобилей, тракторов

и других машин) после

несколь­

ких

восстановлений

(ре­

монтов)

списываются,

т. е. выбывают из систе­

мы,

отслужив,

таким

об­

разом,

полный

срок Т

своей

службы .

Хотя этот срок опре­

деляется

некоторыми

нор­

матив ны м и

вел и чина м и,

фактически

он

всегда

имеет

отклонение

в

ту

или

иную

сторону

от

установленного

значе­

ния, т. е. имеет

некоторое

рассеивание

около

сред­

него значения Тс.

Следо­

вательно,

полный

срок

службы

молено

рассмат­

ривать

как

случайную

Рис.

3.

График

функции

поста­

величину,

определенным

вок

и

интенсивности

поставок

образом

распределенную

во

времени.

Это

рассеивание

характеризуется

функцией

распре­

деления

Fc(t)

или

плотностью

распределения

fc(t)

(рис. 4),

причем

ас

(26)

Функция Qc(t),

я в л я ю щ а я с я дополнением

к

функции

распределения

срока службы

Fc(t),

представляет

собой

ф у н к ц и ю

долговечности

элемента:

- Q c

( 0

=

1 - ^ ( 0 =

(27)

параметры

вновь

поступающих

в нее

элементов

такие

ж е , как

и

у ранее

поступивших.

Таким

образом,

в" ста­

тической

системе

распределения

доремонтных,

межре ­

монтных

и полных

сроков

службы

остаются

неизмен­

ными.

Н а з о в е м систему динамической если распределения

указанных

выше сроков

с л у ж б ы

со

'временем

изменя­

ное изменение больше соответствует реальным

объектам,

так как конструктивные усовершенствования

или

изме­

нения технологии производства новых машин

происхо­

дят не непрерывно, а лишь в некоторые моменты

вре­

мени. Поэтому при рассмотрении в дальнейшем

задач,

связанных с расчетом

ожидаемого

числа

восстановле­

ний (ремонтов

или

з а м е н ) ,

а т а к ж е

ожидаемого наличия

элементов в динамической

системе,

будем

весь

проме­

жуток времени, д л я которого призводится расчет,

раз ­

бивать на интервалы,

в к а ж д о м из которых

параметры

распределения

сроков

службы вновь поступающих ма­

шин практически

постоянны.

Пусть в начальный

момент /о=0

функционирования

системы в

ней

имеется

п 0 элементов. С интенсивностью

v(t)

в

нее поступают

новые элементы, которые, отслу­

ж и в

срок

с л у ж б ы

в

соответствии

с распределением,

плотность

которого

fc(t),

выбывают. Тогда функция

на­

личия

(ожидаемое

число наличных элементов

в

системе

в момент

t) N(t)

представится в виде

N(f)

=

nQQe(t)

+

jv(t—t)Q*Wdx.

(28)

6

О ж и д а е м о е

число

списанных

элементов за

время t

будет 'иметь

вид

Nc

(t) =

n0Fc

(t) +

\ v { t -

x) Fc ( T )

dx,

(29)

6

а интенсивность списания

Vc (0 =

«„/с (0 +

J » (t ~

"О / с «

dx,

(30)

о

Обозначим

через

R(t)

математическое

о ж и д а н и е

числа

восстановлений

(ремонтов)

в

статической

систе­

ме за время t, а через

r(t)—интенсивность

восстанов­

лений в ней

(среднее

число

восстановлений

в

системе

в единицу времени в момент

t). Тогда для

этих

величин

можно

написать следующие

в ы р а ж е н и я :

г (t) =

nQQc

(t) h (t)

+

f v (t -

x) Qc (т) h (г) dx,

(31)

6

где

h(t)

соответствует

уравнению (19) или (20) в зави­

симости от того, какому процессу

(простому

или

обще­

му)

подчиняется восстановление элемента; т — перемен­

ная

интегрирования

по

времени;

t

t

х •

R (t) =

n0

J Q C

( T ) h ( T )

dx +

j

[ v (x-x)

Qc (x) h (x) dxdr,

(32)

0

0

0

где

x — переменная

интегрирования

по времени. .

В дальнейшем

для

расчетов потребности

в

ремонте

вательно,

в

таких

з а д а ч а х

следует

принимать

началь ­

ное

число

объектов

(элементов)

равным

нулю,

т. е.

п0 = 0. Тогда

зависимости (31) и (32)

примут

более

про­

стой

вид:

=

t

(33)

r{t)

\v(t-x)Q,{x)h{x)dx;

R

(()

=

j ' Г v (x — x) Qc (x) h (x) dxdx.

(34)

6

0

Однако

и

в

таком виде

трудно

использовать

их

д л я

денных уравнений

и вычислению

соответствующих функ­

ций с помощью Э В М .

Из

предыдущего

изложения

следует,

что

функцио­

нальные зависимости д л я ожидаемого числа

ремонтов

представляют собой

в ы р а ж е н и е

д л я

математических

ожиданий

(для

средних значений)

этого

числа,

имею­

щего

некоторый

разброс,

характеризующийся,

как

обычно

принято

это делать,

соответствующей

диспер­

сией. Дисперсию

W(t)

числа

восстановлений

в

системе

(ремонтов

в парке

машин)

можно

получить

суммирова­

нием

в ы р а ж е н и й

(24)

или

(25)

по

всем элементам .

Это

приводит

к весьма

с л о ж н о м у

в ы р а ж е н и ю

д л я

дисперсии

системы, которое не приводим. В программе

д л я

Э В М

предусмотрено ее вычисление и печатание

полученных

результатов.

Д л я

простого

процесса

восстановления

элемента,

когда распределения доремонтных и межремонтных

сро­

ков с л у ж б ы одинаковы,

т.

е.

f(t)=g(t),

функция

восстановления

H(t)

д л я

больших

значений

времени /

(когда число замен или ремонтов

достаточно велико)

становится асимптотически

линейна

(см.

рис.

2)

и

мо­

ж е т

быть

приближенно представлена

формулой

Я ( 0 «

+

- ,

(35)

где

Г

м

и

значение

и

дисперсия

межре ­

— среднее—

монтного

срока.

П ри

этом

число

восстановлений

асимптотически

нормально с

дисперсией:

D(t)^^L.

(36)

м

Это выражение дает возможность определять

раз ­

брос

числа

восстановлений

при

больших

I,

не

вычис­

ляя

функции

(24).

Как в простом, так и в общем процессе

восстанов­

ления плотность

восстановления

h(t)

элемента

при

до­

статочно

больших

t т а к ж е стабилизируется

(см. рис. 2),

становясь равной обратной величине средней

продолжи ­

тельности времени м е ж д у отказами

(обратной

величи­

не межремонтного срока с л у ж б ы ) :

'

м

(37)

Формулы

(35) — (37)

позволяют

определять

важней ­

шие

характеристики процесса

восстановления

элемента

без решения сложных уравнений, если время

протека­

ния

процесса

достаточно

велико

(порядка

нескольких

средних

межремонтных

сроков

службы

Г м ) .

К сожалению,

аналогичных

асимптотических в ы р а ж е ­

ний

д л я

процесса восстановлений

в системе

элементов

написать

не представляется

возможным, поэтому

при­

ходится

пользоваться основными

зависимостями

(31) —

тенсивности,

рассеивания

этих величии около

средних

значений

и

ожидаемого

наличия элементов в

системе

на любой

момент времени ее функционирования.

К а к у ж е

отмечалось,

время безотказной

работы

(до-

ремонтные

и межремонтные

сроки

службы)

представ­

ляет собой

случайные

величины,

некоторым

образом

рассеянные

около

своих

средних

значений, а

поэтому

з а д а в а е м ы е

в виде

функций

распределения

F(t) и

G(t)

сроков) или

соответствующих им плотностей

распреде­

ления f(t)

и

g(t).

П о физическому смыслу описываемые случайные ве­

личины

могут

быть только положительными .

Очевидно

т а к ж е ,

что

их

распределения носят не дискретный,

а не­

прерывный

характер .

Мы не рассматриваем способ отыскания функций рас­

пределения

доремонтных и межремонтных сроков

для

шин. Это

самостоятельная и очень в а ж н а я

з а д а ч а

ста­

тистического анализа,

выполнение

которой

требует

дли­

тельных

и обширных

наблюдений

в различных условиях

и зонах

эксплуатации . Методика

обработки

таких

ма­

Целесообразно указать, какие

из

свойств распределе­

ний и их параметров оказывают

наибольшее

влияние

на результаты расчета, как влияют

изменения

тех

или

иных параметров распределений

на

эти результаты,

ка­

распределений

наработок.

Д а д и м краткую

характеристику

практически

наибо­

лее

распространенных

законов

распределения

и у к а ж е м

вид

преобразования

в безмерную или однопараметриче-

скую форму соответствующих им плотностей

распреде­

ления.

Показательное

распределение.

Плотность

распреде­

ления может быть представлена в виде

/(0

= Яе~",

(38)

где К— некоторый положительный napaMeip.

Математическое

ожидание случайной

величины

(ее

среднее значение),

подчиненной

показательному

закону

распределения,

равно

l/к,

среднеквадратическое

откло­

нение т а к ж е 1Д, следовательно,

коэффициент

вариации

V

(отношение

среднеквадратического

отклонения

сг

к математическому

ожиданию

М)

всегда

равен

еди­

нице:

М =

—;

о =

—;

V = - ^ =

1.1

(39)

М

П р е о б р а з о в а н и ем

x—Kt

это распределение

приво­

дится к безразмерному

виду

/ ( * ) =

е - *

(40)

ские

и

электронные

лампы,

некоторые

д е т а л и ) .

Н а

рис.

5

представлен

график

плотности f(t)

этого

рас-

f(t)

пределения и интенсивности

отказов

—

— .

Распределение

Вейбулла.

l-F(t)

В задачах,

связанных

с на­

дежностью, часто

используют распределение Вейбулла,

функция которого

может быть представлена в виде

F(f)=l—e-'**.

(41)

Очевидно, плотность

распределения

в

этом случае

имеет

вид

f{t)

= acta-le-c<a

(42)

или

/(0 =

« .

(43)

м

(44)

Г 1 + —

_ П

1 +

_1_

(45)

Коэффициент вариации У равен

V

-

(46)

Сложность

аналитического

в ы р а ж е н и я

этого

рас­

пределения и его параметров

д е л а ю т

его не очень

удоб­

ным для исследований. П о вычисленным на

основе экс­

среднеквадратического

отклонения

а довольно

громоздко

определять

параметры

распределения а и

с.

В т а б л .

1 приведено

несколько

значений

п а р а м е т р а с

ния

М.

Таблица 1

Значения параметра с в распределении

Вейбулла при различных

значениях среднего М и

параметра

а или коэффициента

вариации V

м

V »

0,3,

V х 0,25,

V а 0,2,

V к

0,15,

V и 0, 1 ,

(Х = 3,714

а = 4,50

а =

5 ,83

а =

7,8Я

а = 12,143

5,2609

10-2

2,9281

10-2

1,1246

Ю - 2

2,6298-10-3 1,3232-10-*

1,1736

10-2

4,7220

Ю - з

1,0578

Ю -

3

1,0773- Ю - * 9,6481-10-'

3,8849

1,2939

Ю - з

1,9769

Ю -

4

1,1164.10-5

2 , 9 3 3 0 - Ю - 8

1,7730

Ю - з

4,7408

Ю - 4

5,3827

Ю - 5

1,9239-10-е 1,9498-10-»

9,0305

ю - *

2,0867

1 0 - '

1,8592

Ю - 6

4,5730.10-'

2,0772-10-w

f(x) =

o w e - 1 e - ^ a .

(47)

Н а рис.

6

приведены

графики плотности

распределе­

ния срока

службы

головки

цилиндров

трактора Т-75,

подчиненного

распределению

Вейбулла

с

параметрами

о = 1 , 5 5 , ш = 0,95-

Ю - 5 ПО].

а — от

реального аргумента

I; 6 — от безразмерного ар­

гумента х

*

Нормальное

распределение.

Н а и б о л ь ш е е распростра­

'

/ ( ' )

=

— ^ r - e

_

,

(48)

у 2 я а

где а0 — среднее значение

случайной

величины;

о —

среднеквадратическое

отклонение случайной величины,

описанию и использованию которого посвящено

доста­

точно много

книг.

Использование

нормального

закона

д л я

описания

распределений

доремонтных,

межремонтных

или пол­

ных сроков

с л у ж б ы объектов

налагает

некоторые

огра­

ничения

на

его

параметры . Т а к

как срок с л у ж б ы — ве-г

личина

неотрицательная, то

положение

кривой

распре-

деления относительно

начала координат не

может

быть произвольным (рис. 7).

Поэтому в практических расчетах этот закон

можно

использовать,

когда

коэффициент вариации

сроков

с л у ж б ы меньше

0,4.

5

,

10 t

Рис. 7. График плотности нормального

распределения

Подставляя в формулу

(48)

t/a =

х,

aja

= х0,

(49)

получим безразмерное

однопараметрическое

распре­

деление

_

(*-*о)'

/ W = - 7 ^ - e

2

.

(50)

У

2л

1

(log t—ai-

/(0 =

(51)

to

V2n

М =

а+ •

Р2

(52)

а2 = е 2 а + ^ (еР! — 1),