книги из ГПНТБ / Гальперин А.С. Прогнозирование числа ремонтов машин

Н а

рис. 8 приведен

график логарифмически

нормаль ­

ного

распределения

срока службы новых

двигателей

автомобилей З И Л - 1 3 0

[61.

WO

ZOO

300

WO t,mt/c.xM

Рис. 8.

График

плотности

логарифмически

нор­

мального

распределения срока службы

автомо­

бильных

двигателей

Основное

влияние

на

число

восстановлений

элемен­

та

оказывает

математическое

ожидание .

Что

ж е ка­

сается

дисперсии,

то, по

сути

дела,

значение

имеет

не

она

сама,

а

коэффициент

вариации

V — alM.

Более

того, -влияние

V заметно только на начальном

участке

вычисляемых

функций.

В практических

расчетах рассматривают

процессы

восстановления не отдельных элементов, а их

совокуп­

ности, образующие в к а ж д ы й

- момент

времени

систему,

изменяющую во времени свой

состав.

Поэтому

процесс

заметной ошибки в вычисление функции

восстановления

R(t)

и

интенсивности восстановления

r(t)

системы,

которая

непрерывно

пополняется новыми

элементами .

К а к

показывают исследования, при

расчете

числа вос­

становлений (замен

или ремонтов)

или

интенсивности

теми ж е

значениями М и

V мало влияет на

величину

искомых

функций. Это в а ж н о е обстоятельство

позволяет

в перспективных расчетах

по предлагаемой

методике

обходиться теми распределениями, которые более

удоб­

ны для реализации

вычислительного

процесса.

Если доремонтные, межремонтные и полные

сроки

соответствуют показательному,

эрланговскому,

гамма

или нормальному

распределениям,

то уравнения и

функции, описывающие процесс

восстан'овления

в этих

зывается при использовании

распределения

Вейбулла .

Проведенные

исследования

показывают,

что при

ко­

эффициенте вариации

сроков

службы,

меньшем

0,35,

вполне возможна

замена

распределения

Вейбулла

нор­

мальным с теми

ж е математическим ожиданием и

дис­

персией. Ошибка в вычислении

числа

восстановлений

или интенсивности

их

при такой

замене

практически

отсутствует. Кроме

того,

к а к

показывают

наблюдения,

комбайнов и

др.) имеют

распределения,

близкие к

нормальному .

Составленная

нами программа

для Э В М '

позволяет

использовать

в

качестве исходных

распределений

нор­

мальное

или

Вейбулла . Н а

рис.

9

для сравнения

при­

ведены

кривые

распределения,

соответствующие

нор­

мальному и

распределению Вейбулла д л я одних и тех

ж е значений

математического

ожидания и

дисперсии.

восстановления

H(t)

или плотности

восстановления

h(t),

соответствующие

этим

распределениям,

практи­

чески

совпадают. Таким образом, о б р а б а т ы в а я

экспе­

риментальные ряды значений

сроков

службы,

главное

внимание в рамках рассматриваемой методики

следует

уделить точному

определению

математического

ожида ­

ния и

тех параметров

распределений,

через

которые

оно в ы р а ж а е т с я . В однопараметрическом

показатель­

ном

распределении п а р а м е т р является

единственной

величиной, определяющей

интересующие

нас

функ­

ции.

Длительность работы

многих

машин

часто

изме­

ряется не промежутками

времени между последователь­

ными

восстановлениями

(заменами

или

ремонтами),

S

70

75

20

t

Рис.

9. Графики

плотностей

распределения,

интенсивпостей

восстановления и

функций

восстановления,

сответствующих

нормальному распределению

( М О . М О .

н

распреде­

лению

Вейбулла

( М О . ' ^ ( О .

# г ( 0 )

а их

наработками

за этот

период,

выраженными, на­

ты, в гектарах убранной или

обработанной

площади,

в километрах пробега и т. д. Однако д л я

перспективных,

расчетов, проводимых для некоторого промежутка

пла­

нирования, измеряемого в годах, необходимо

информа ­

цию о доремонтных и межремонтных наработках

пере­

водить в единицы измерения

времени

(годы) '.

Д л я

Приведем окончательный результат

(для

положи­

тельных значений случайных величин X

и

У)

со гх

F(z)

= ^f1(x)fi(y)dxdy.

(56)

6 6

Дифференцируя

это

выражение,

получим

плотность

распределения

величины Z:

оо

f(z)=

\xf1(x)fu(zx)dx.

(57)

6

Рассмотрим

частные

случаи,

когда

плотности

рас­

пределения

f\(x)

и

случайных

величин X

и

У соот­

ветствуют

некоторым конкретным

законам .

• Показательные

распределения.

Пусть

А'

и

У

рас­

пределены

по

показательному

закону

с

плотностями:

/ 1 ( х ) = Я е - ^ ;

/ 2 (//) = б е - 6 " ;

х>0,

у>0.

(58

' W - T T T i ? -

( S 9 )

Гамма-распределения.

Случайные

величины

X

и

У

имеют

плотности

распределения:

Д (д-) =

л-^-'е-'»1 ';

/ . (г/) =

^ - ' е - " " ; )

п к

'

Г (a)

'~KJ>

Гф)

J

(60)

х >

0,

у

>

0.

I .

Плотность

распределения

случайной

величины

Z

в

этом

случае представится

в

виде

f ( z ) = =

/-(« + P ) m V .

^

( 6 1 )

Нормальные

распределения.

Если

случайные

вели­

чины X

и

У

распределены

по

нормальному

закону

с

плотностями

( Л - - 7 - , ) '

_ ( I / — Г А ) '

I

20?

1

f i W =

-

^

e

;

/,(,,)

= — - — е

~

,

)/2я.

0!

X >

0,

у >

У 2п ст2

О,

(62)

приводим из-за

его громоздкости)

_

( Г . г - Г , ) »

/(г) «

2

1

е

" 1°2 +

1 > .

(63)

У 2^}/

( с т | - | - а ^ ) 3

Как видим, это распределение уж е не симметричное.

Приведенные

формулы (59),

(61),

(63)

в ы р а ж а ю т

плотность распределения величины Z через

параметры

распределений величии X и Y.

Рассмотрим следующий пример. Годовая

наработка

некоторого агрегата,

в ы р а ж е н н а я

в тысячах

часов, соот­

параметрами: среднее

значение 7] = 4,

среднеквадрати -

ческое отклонение о\ = \. Его доремонтная

наработка

т а к ж е соответствует

нормальному

распределению с па­

раметрами 72 = 5, 0"2=1.

Необходимо найти распределение доремонтного срока

службы этого агрегата, выраженного в

годах

эксплуа­

тации. В соответствии

с условием

можем

плотности рас­

пределений

годовой и

доремонтной наработок записать

в виде

'

-

-<-^:ь • |

(Л—4)-

/ i (х) —

zzr~ е

2 — Д л я годовой

наработки;

Плотность

распределения доремонтного срока служ­

бы f(z) на основании (63)

будет иметь вид

(4г-5) =

4

~Г 5

г

2(1+г2 )

У 2зг

У (1 + 2«)з

З н а ч е н ия

f(z),

вычисленные

для

некоторых

зна­

чений Z (рис. 10),

следующие:

2 . . . 0

0,2

0,5

0,8

1,0

1,2

Дг)2-10—6 . . .

0,001

0,051

0,566

0,990

1,040

Z . . . 0

1,5

2,0

2,5

3

4

/Гг)2-10-ч. . ,

0,690

0,203

0,060

0,028

0,004

И м е я в качестве исходных данных

распределения

межремонтных

(доремонтных

или

полных) и

годовых

наработок,

подчиненных

иным

законам,

можно

найти

распределение

межремонтного

(доремонтного

или

полного)

срока

. службы

в

соответствии

с

форму­

лой

(57).

В практических расчетах часто требуется найти

не

само распределение срока службы, а л: ишь

его

парамет ­

ры:

среднее значение

или

дисперсию.

В

этом

случае

м о ж н о воспользоваться

следующими

свойствами

рас­

а)

Математическое

ожидание

функции

случайных

аргументов приближенно равно

функции от

математи ­

ческих

ожиданий этих

аргументов. В нашем

примере

z „ ~ ^ - ,

(64)

ром периоде перспективного

планирования .

Сведем вычислительный процесс такого прогнозиро­

вания

к

операциям,

выполняемым

электронно-вычис­

лительной

машиной,

так

что

в

рабочей части

методики

будут

описаны

главным

образом

сведения,

необходи­

мые при

подготовке

исходной

информации

и

приведе­

ния ее к вггду, удобному

д л я обработки на Э В М .

^

Необходимо

определить

число

ремонтов,

которые

понадобится

выполнить

в к а ж д о м

году

в

промежутке

с ti-ro

по to-h год, и

о ж и д а е м о е

наличие

машин

на ко­

нец к а ж д о г о

года этого

периода

в системе

(парке

одно­

родных

м а ш и н ) ,

которая

в течение

всего

времени

функ­

сивностью v(l).

При этом распределения

доремонтных,

межремонтных

и

полных

сроков службы,

описанные

соответствующими

в ы р а ж е н и я м и

д л я

плотностей

f(t),

g(t)>

fc(t),

изменяются в зависимости от времени поступ­

ления машин

в систему

(это

соответствует

некоторым

изменениям качества вновь выпускаемых

машин

и их

годовой

нагрузки) .

Анализируя сформулированную задачу, у б е ж д а е м с я ,

что

р а с с м а т р и в а е м а я система

является

динамической,

т а к

как распределения сроков с л у ж б ы

зависят от

вре­

мени поступления

элементов

(машин)

в

систему.

Процесс восстановления к а ж д о г о элемента

(последо­

вательность ремонтов машины)

является

общим,

так

к а к

распределение

доремонтных

сроков

службы f(t)

от-

риваемую

систему,

развивается

во

времени,

величина

наличного

состава

парка и число

ремонтов, п о д л е ж а щ и х

проведению в t-м году, формируется

под влиянием числа

машин, поступивших в систему

за

предыдущий

период

риоду,

который должен быть

не меньше разности мо­

ментов

t\ и t0:

б

(68)

можно

определить следующим

образом.

Рис. П. Формирования расчетного периода

Если средний срок

службы

машин,

поступивших в

момент U, до их списания равен

Тс,

а

среднеквадрати -

ческое отклонение

этого срока стс

; то,

очевидно,

через

промежуток

времени,

равный

Тс

+

3ас,

практически все

эти машины будут списаны.

Поэтому,

если

расчет ведется

д л я

момента

времени

i\, то за начало отрезка б можно взять любой

момент

(рис. 11), удовлетворяющий

неравенству

f 0 < ^ - ( 7 , c

+ 3ac ).

(69)

Тогда величина отрезка, предшествующего периоду

планирования, в соответствии

с

формулой

(68)

опреде­

лится как

б > Тс

+

Зас.

(70)

Если необходимо получить

результаты

расчета

у ж е

для первого

года планового

периода / ь

то

следует

иметь

информацию

о поставках

-и

распределениях

сроков