книги из ГПНТБ / Гальперин А.С. Прогнозирование числа ремонтов машин

одними и

теми ж е функциями1

и уравнениями .

На

осно­

вании теории восстановления,

тесно

связанной

с

теори­

ей надежности и теорией случайных

процессов,

уста­

навливают

закономерности процесса

отказов

элементов

и методов

их прогнозирования. Э т а ,

теория

вводит в

сматриваемых

элементов,

используя

д л я этой

цели

методы теории вероятностей и математической

стати­

стики.

Одним из основных понятий теории надежности яв­

ляется понятие об отказе или безотказности.

П о д

безотказностью

будем

понимать

способность

элемента

сохранять

работоспособность в

течение

определенного

промежутка времени.

Отказом

будем

считать

утерю

элементом

работоспособности,

т. е.

нарушение

рабо­

чего состояния,

независимо от

причин,

вызвавших

эту

утерю. Не

менее в а ж н ы м

понятием

является

понятие

становление

работоспособности

элемента

в

результате

его замены,

ремонта или

проведения

технического

ухода.

П а р к машин

или станков

какого-либо

хозяйства, ве­

домства или

административного

района

можно

рас­

сматривать

как

некоторую

систему,

элементы которой

(машины,

станки) могут выходить

из строя

(отказы­

вать) в различные случайные моменты времени.

К а ж ­

дый отказ требует или замены машины,

или

ее

ремон­

та, или некоторой ее регулировки.

Вынужденный останов исправной машины д л я про­

филактического осмотра или д л я выполнения

некото­

рых работ

по техническому

уходу т а к ж е

можно

рас­

сматривать

как

отказ. Процесс

наступления

моментов

Н а д о

иметь

в виду, что

если

в процессе решения

по­

ставленной

задачи

необходимо

рассматривать

только

определенного вида ремонты или только замены,

или

работы по

техническому

уходу,

то

тогда

- под

отказом

следует понимать только эти работы . Такое

обобщение

понятия

отказа

мы

используем

для

экономии

изложе ­

ния при

установлении

математических

зависимостей,

придавая

последним

большую

общность. Так, напри­

мер, если

решается

з а д а ч а

по

определению

числа

ка­

ные

воздействия. Если

ж е

определяется

число текущих

ремонтов, то под отказом следует

иметь в виду момен­

ты проведения текущих ремонтов и т. д.

Такое рассмотрение

позволяет

д л я

изучения

и

рас­

чета разных событий использовать одни и

те ж е

мате­

матические

зависимости.

Л и ш ь исходная

информация

о распределениях

сроков

между

этими

событиями

бу­

дет

различной.

В

большинстве практических

задач

рассматри ­

вается не один элемент, а совокупность

однородных

элементов.

Система

называется

однородной,

если

все параметры и

вероятностные

характеристики

эле­

ментов, входящих

в систему, одинаковы. Этому условию

удовлетворяют однотипные

машины, агрегаты, узлы

или

каждого

элемента является неотрицательная с л у ч а й н а я '

величина

т, н а з ы в а е м а я длительностью

безотказной

ра­

боты.

Длительность

безотказной

работы — продолжи ­

тельность времени с момента начала эксплуатации

эле­

мента до первого отказа, или продолжительность

вре­

мени

м е ж д у двумя

последовательными

отказами .

Если

в качестве обобщенного понятия

отказ

рассматривается

вого ремонта

принято

называть доремонтиым сроком,

а срок службы

между

последовательными ремонтами —

межремонтным

сроком

службы,

можно пренебречь и считать, что восстановление

проис­

ходит

мгновенно. Если ж е время восстановления срав­

нимо

с временем работы, то д л я тех целей, д л я

которых

за момент отказа и восстановления следует

принимать

один -и тот ж е момент — время наступления

отказа. Так,

при расчетах ожидаемого числа ремонтов

некоторого

чать

в межремонтный

период,

т. е. за

межремонтный

срок службы следует принимать время

м е ж д у

д в у м я

следующими друг за другом моментами

выхода

объек­

та в

ремонт.

"

Г/

Хг

ts

Хк

° t„

tj

t2

t3

-

,

4

t

Рис.

1.

Схема

процесса

восстановления

элемента

Н а рис.

1 приведена

схема

процесса

восстановления

элемента. В

начальный

момент

/ о = 0

начинает эксплуа­

тироваться новый элемент. Допустим,

что в

момент

t\ =

= Т |

этот элемент отказал

и был заменен

новым

(или

отремонтированным)

с

длительностью

безотказной

ра­

мент

tz, равный

сумме

продолжительности

х\

безотказ­

ной

работы

до

первого

отказа и

продолжительности Т 2

безотказной

работы

после

первого отказа

до

второго:

t2

=

tj_ -\- Тг-

Пусть

этот

процесс

продолжается

дальше .

Т а к а я

длительность

безотказной работы м е ж д у

(k—1)-м

и

k-u

отказом

(или

восстановлениями)

будет

равна

т/,,

а сам k-й

отказ (восстановление)

произойдет

в

момент

t;u равный сумме всех длительностей безотказной

работы

т; до

k-ro

отказа:

равной

некоторому

определенному

значению.

Н а

нее

оказывает влияние

р я д факторов,

в том числе

неодина­

ковая

надежность

элементов, организационные

меро­

но, неодинаковость условий эксплуатации .

Поэтому

эти

сроки

службы

имеют

некоторый

разброс

около

сред­

него значения, т. е. являются случайными

величинами .

Таким образом, время

безотказной

работы, к а к

и

лю­

бая другая

случайная

величина,

может

быть

з а д а н о

функцией распределения

или

плотностью

распределе­

ния. В дальнейшем мы будем различать

распределения

времени

до

первого

отказа

(распределение

доремонт­

пого

срока

службы)

и

распределения

времени

между

двумя

последовательными

отказами

(распределение

межремонтного

срока

с л у ж б ы ) . При этом

будем считать,

что все распределения времени м е ж д у отказами

одина­

ковы

(все межремонтные

сроки

службы

распределены

одинаково) . Такое допущение возможно,

так к а к

прак­

тически

эти

распределения

отличаются

незначительно.

Введем

обозначения

для

функции

распределения

вре­

мени

до

первого отказа

(доремонтпого

срока) F(t),

д л я

функции распределения времени между отказами

(меж ­

ремонтного

срока)

G(t).

Соответственно

плотности

распределения

обозначим

через f(t),

g(t).

Напомним,

что функция

распределения

длительно­

длительность не превышает

величины

t:

^ ( 0 = ' Р { т < * } ,

(12)

где Р — символ вероятности.

f(t)

Плотность ж е распределения

есть

производная

от функции распределения и ее

можно представить

/(0 = - ^ .

*(0

= -

^ .

(13)

В свою очередь, функция распределения

есть инте­

грал от плотности распределения:

/ ? ( 0 = { / ( т ) ' Л ,

G(t)

= ^g(x)dx.

(14)

х принимает лишь

положительные

значения.

Кроме времени

безотказной

работы, элементы харак ­

теризуются еще

одной числовой

величиной — надеж ­

ностью. Надежность о т р а ж а е т

способность элемента к

дежности

через

Q(t),

можно

написать

следующее

соот­

ношение:

Q(t) =

P{x>t)

= l - f ( 0

=

lf(x)dx.

(15)

clQ (О

(16)

Имеет

место

последовательность

случайных

вели­

чин

T I ,

Т 2 , •-,

Xk (см. рис. 1). В

теории восстановлени

эта

последовательность

получила

название

процесса

восстановления.

Таким

образом,

процесс

восстановления

элемента

котором моменты отказов

th чередуются со

значениями

тА времени безотказной работы.

Р а з л и ч а ю т несколько

видов процесса

восстановле­

ределением

потребности

в

ремонте

машин

. и

обо­

рудования.

хн,

•••}

Если

система случайных

величин

{ть

тг,

является

независимой и

одинаково

распределенной,

то

процесс

называется

простым

процессом

восстановле­

ния. Это

означает,

что замена элемента

осуществляется

-идентичным

ему элементом

(например,

перегоревшая

электролампа

заменяется

такой ж е

новой)

или

после

ремонта

элемент полностью

восстанавливает

первона'

чальные

свойства. В этом случае распределения

сроков

службы

после

каждого

восстановления

остаются

одни

Личины

среднего

значения

межремонтного

срока,

естественно,

увеличивается

интенсивность

восстановле­

ния.

В работе

[14]

приведены

основные

функциональные

зависимости

между у к а з а н н ы м и величинами как

для

процесса

восстановления

элемента,

так

и для

системы

элементов, в которой происходит изменение

количест­

венного состава их за счет поступления

новых

и

списа­

ния отслуживших

полный

срок

службы,

а т а к ж е

даны

выводы

некоторых

зависимостей.

Мы

приводим

основные

уравнения

и

функции, не

углубляясь в их выводы.

Чтобы

в дальнейшем

различать

формулы,

относя­

щиеся к

простому

процессу

восстановления,

когда

рас­

наковы,

т.

е. f(t)—g(t)

от

формул д

л я

общего

процес­

са, когда

распределения

доремонтных

.сроков f(i)

отли­

чаются

от

распределений

межремонтных

сроков

g(t),

ности

восстановления

в

простом

процессе

соответст­

венно

символы

<P(t)

и

ф(0,

сохранив

обозначения

H(t)

и

h(t)

д л я

тех ж е

величин

в общем

процессе вос­

становления.

Связь

между

плотностью

восстановления

элемента

и плотностью

распределения времени

безотказной

рабо­

ты д л я

простого

процесса

в ы р а ж а е т с я

известным

урав ­

нением

-

<

t

Ф ( 0 - Д 0 + [ / ( ' - т ) Ф ( т ) Л : ,

(19)

6

а д л я

общего

процесса

уравнением

А(0

=

Д 0 +

\g(t-x)h{x)dx.

(20)

6

Первое

слагаемое

в

правой

части

этих

уравнений

представляет

собой

ожидаемую

интенсивность

восста­

новлений

элемента

(ожидаемое

среднее число

восста­

новлений в единицу времени в момент

t)

в связи

с п е р - .

вым отказом. Н о

так

как за

время t

восстановленный

один

раз

элемент

с

некоторой

вероятностью

может от­

к а з а т ь

и

быть

восстановленным

второй, а

затем

третий

и т. д.

раз,

то

второе

слагаемое

приведенных

уравнений

дает величину ожидаемой интенсивности

восстановлений,

следующих за

первым

(повторные

восстановления).

В общем случае эти уравнения не имеют точного

ана­

литического решения за исключением частных

случаев,

когда

плотности распределения

f(t)

и g(t)

имеют

про­

стейший вид. Поэтому д л я

их

решения,

как

пра­

вило,

используют

приближенные

численные

методы,

что

и было

сделано

при

реализации

этих

решений

на ЭВМ .

Ф(()

или H(t)

Функции восстановления

для

простого

или общего процесса могут быть получены

интегрирова­

нием

ср(7) или

h(t),

так

как

t

t

Ф ( * ) =

f<p.(T)<fr,

H{f)=[h{i)dx).

(21)

Ф (/) =

F (0 + J Ф (t -

т) / (т) dx

(22)

о

и

H{()=@(t)+jn{t-T)g(x)dx

(23)

о

соответственно для

простого

и

общего

процессов

вос­

становления.

Н а рис. 2 приведены графики указанных выше

фук-

ций. Характерной особенностью функций ф(7) или

h(t)

является

их колеблемость

с

постепенным

переходом

к постоянному значению, равному обратной

величине

среднего

срока службы между

отказами

(среднего

зна-.

чения

межремонтного срока

с л у ж б ы ) . Функции ж е

0(t)

и И (t)

со временем

становятся

линейными.

Поскольку число отказов за время t [величина

v(t)]

является

случайной

величиной,

то

уравнения

(19)—(23)

величина в

к а ж д ы й

момент

времени

имеет некоторое

рассеивание

около

среднего

значения,

характеризую ­

щееся дисперсией.

D (0 =

Н (t) — Н

(0

t

{(—

2

2

f Ф

т) dtf (т)

(24)

- f 6

для общего

процесса восстановления и

t

D(t)

= 0 (i) — Ф- (t)

- I -

2 f Ф (* — т) с!Ф (т)

(25)

6

Рис. 2. Графики функций,

описывающих

процесс

восстановления

элемента

Уравнения

(19) — (25)

математически

описывают

процесс

восстановления

отдельного

элемента. При

этом

мы пока

н е - н а л а г а л и никаких -ограничений

на

срок

его

службы . Т а к а я

модель

процесса

восстановления

может

иметь место,

например,

при

замене

перегоревших

элек­

тронных

и л и

электрических

ламп

или

каких-либо

дру­

гих элементов, которые могут заменяться

(восстанавли­

ваться заменой)

неограниченное

число раз.

Однако наибольший

практический

интерес

представ­

ляют такие

совокупности элементов

(системы), в

кото­

рых после нескольких восстановлений

функционирование

к а ж д о г о элемента прекращается, В этом

случае

про­

цесс восстановления отдельного

элемента

ограничен

во

дельной

машины

(например, трактора

или комбайна)

не зависимой от работы

других машин,

следовательно,

их доремонтные и межремонтные сроки службы

взаимно

независимы. Это дает возможность рассматривать

про­

цесс восстановления в системе как совокупность

(сумму)

взаимно

независимых

процессов восстановления

от­

дельных

элементов

и, следовательно, получать

те

или

Поставки

новых

машин

определяют

соответствую­

щими

п л а н а м и и поэтому

могут быть

представлены

в

ви­

де некоторой функции от времени

или таблицей

годо­

вых поставок. Будем в дальнейшем

через

M(t)

обозна­

чать

функцию

суммарных

поставок

(число

машин, по­

ставленных

за

время

t

от начала

функционирования

п а р к а ) , а через

v(t)—их

.интенсивность, т. е. число ма­

шин,

поставляемых

в

единицу времени

в момент

t

(рис. 3). Будем предполагать, что

поступление

новых

машин происходит во времени непрерывно. Хотя

в

дей­