книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

стремиться к нулю. Первая дробь 2/i = 2 дает очень

нального числа Y 2 мы получим,, если обратимся к не­ прерывным дробям:

/ 2= 1 + 1

2 + 1 ,

2 + 1

"2 + 1

Начав с самого верха и образовав так называемые «подходящие дроби» ( 1 , 1 + V2, 1 + 7 з и т. д.), мы по­ лучим все ранее_упоминавшиеся рациональные прибли­

жения числа У 2: 1, 3/ 2, 4/з, 71ь, ‘%, Х11лг- По мере того как расстояние между узлами решетки и прямой умень­ шается, соответствующие узлам дроби дают все лучшее

приближение числа / 2 .

Изучение прямых с иррациональными угловыми ко­ эффициентами естественно подводит нас к следующему

дем прямую. Будет ли эта прямая содержать хоть один узел решетки, отличный от (0 , 0 ) ?

Если поместить в начале координат бильярдный шар и пустить его по главной диагонали (биссектрисе угла между осями координат), то он будет проходить лишь те узлы решетки, которым соответствуют дроби, равные единице (tg45° = 1). Предположим теперь, что мы рас­ сматриваем не всю плоскость, а лишь прямоугольники произвольных размеров, ограниченные снизу и слева осями координат, стороны которых выражаются целыми числами. Представим себе, что каждый такой прямо­ угольник— это бильярдный стол. Будем считать, что бильярдный шар упруго отражается от бортов и ка­ тится по поверхности стола, расчерченного на квадраты («покрытого решеткой целых чисел»), без трения. С по"

60

мощью метода отражений * нетрудно показать, что не­ зависимо от размеров стола шар, пущенный из начала координат под соответствующим углом, после конечного числа отражений от бортов попадает в один из трех остальных углов стола.

Последнее утверждение можно усилить. Независимо от того, под каким углом шар пущен из начала коор­ динат, он в конце концов попадет в один из углов бильярдного стола, если точка его первого соударения с бортом отстоит от любого из концов борта на рас­ стояние, выражающееся рациональным числом. Если же точка первого соударения шара с бортом отстоит от конца (какого именно — безразлично) борта на рас­ стояние, выражающееся иррациональным числом, то траектория шара никогда не пройдет ни через один из узлов решетки. Поскольку углы бильярдного стола при­ надлежат к числу решеточных узлов, шар никогда не попадет ни в один из углов бильярдного стола, отличных от начала координат. Иррациональных точек на любой прямой бесконечно больше, чем рациональных. Следо­ вательно, вероятность того, что идеальный (точечный) шар, выпущенный из начала координат под выбранным наугад углом, отразится от первого же борта в точке, отстоящей от любого из концов на отрезок, длина ко­ торого выражается рациональным числом, бесконечно близка к нулю. Представим себе, что весь бильярдный стол расчерчен на мельчайшие клетки, стороны которых пересекают оси х и у в точках с рациональными коор­ динатами. Тогда шар, пущенный наугад из начала ко­ ординат, будет вечно двигаться по бильярдному столу, никогда не проходя по одному и тому же участку своего пути дважды и не задевая ни одного узла решетки!

Рассмотрим лишь простейший случай: шар, движу­ щийся по диагоналям — прямым, составляющим с бор­ тами угол в 45°. Сразу же возникает интересный воп­ рос. Можно ли заранее предсказать, в какой из трех (отличных от начала координат) углов бильярдного стола попадет шар, если размеры стола известны? Разумеется, мы всегда можем начертить траекторию шара и узнать ответ, но если, например, стол имеет размеры 10,175 X

* См., например, Г. Ш т е й н г а у з , Математический калейдо­ скоп, М. — Л., Гостехиздат, 1949, стр. 29.

61

X I 1,303, то графическое решение становится громоздким и утомительным.

Если длина или ширина стола выражаются нечет­ ным числом, то ответить на вопрос о том, в какой из его углов попадет бильярдный шар, можно с помощью остроумной проверки на четность. Предположим, что оба размера стола нечетны. Отметим жирными точками

дить только по отмеченным узлам решетки. Из трех уг­ лов стола, отличных от начала координат, жирной точ­

(Читатель легко может убедиться в этом, построив тра­ екторию шара.) Если длина одной стороны стола четна, а другой — нечетна, то, расставив жирные точки так же, как и в предыдущем случае (рис. 35,6 и в), мы увидим, что шар попадет в тот угол, который принад­ лежит четной стороне, выходящей из начала координат.

Непредвиденное затруднение возникает, когда мы пе­ реходим к рассмотрению четно-четного стола (длины обеих сторон которого выражаются четными числами): жирные точки в этом случае стоят во всех четырех его углах (рис. 35,а). В какой из трех углов, не совпадаю­ щих с началом координат, попадает шар? Немного по­ экспериментировав на листе бумаги в клеточку, вы убе­ дитесь, что в зависимости от соотношения сторон шар может попасть в любой из трех углов. Можно ли сфор­ мулировать арифметическое правило, позволяющее ука­ зывать угол, в который попадет шар для любого четно­ нечетного стола?

Следующее любопытное обстоятельство может под­ сказать путь к решению этой задачи: ближайший к на­ чалу координат узел решетки, принадлежащий одно­ временно траектории шара и большей из сторон стола,

и в). В этом случае ближайший к началу координат узел решетки, принадлежащий одновременно траекто­ рии шара и большей из сторон стола, удален от (0,0)

62

Р ис . 36. «Оптический бильярд» Завроцкого для нахождения об­ щего наибольшего делителя двух чисел.

на 2, то есть на расстояние, вдвое превышающее о. н. д. длин бортов бильярдного стола.

Это свойство траектории бильярдного шара, пущен­ ного под углом в 45° внутри прямоугольного участка ре­ шетки целых чисел, навело Анде Завроцкого на мысль о создании оптического устройства для отыскания об­ щего наибольшего делителя двух чисел. Принципиальная схема его прибора изображена на рис. 36. Четыре зер­ кала с нанесенными на их края равномерными шкалами образуют стенки прямоугольного ящика. Длины сторон можно менять, подбирая их так, чтобы они совпадали с теми числами, о. и. д. которых требуется найти.

Через небольшую щель луч света попадает в про­ странство между зеркалами, отражается под углом в 45° от «начала координат» (угла ящика, служащего на­ чалом отсчета обеих сходящихся в нем шкал) и продол­ жает свой путь, отражаясь то от одной, то от другой стенки до тех пор, пока не попадет в один из трех остальных углов ящика. Ближайшая к началу отсчета

64

Рис . 38. Аффинное преобразование ре­ шеточного многоугольника.

более простые фигуры, мы всегда сможем вычислить их площадь, однако этот метод очень утомителен. К счастью, пло­

щадь решеточного многоугольника можно вычислить более простым и гораздо более приятным способом. Вос­ пользуемся для этого следующей замечательной тео­ ремой:

Площадь любого простого многоугольника с верши­ нами в узлах решетки вычисляется по формуле

где Ъ— число узлов решетки, лежащих на контуре мно­ гоугольника, а с — число узлов решетки, попавших внутрь многоугольника. За единицу площади прини­ мается площадь «элементарной (единичной) ячейки» решетки.

Согласно Штейнгаузу *, эта изящная теорема была впервые открыта Г. Пиком и опубликована им в 1899 г.

водном чехословацком журнале. Теорема Г. Пика от­ носится к аффинной геометрии (играющей важную роль

вматематическом аппарате теории относительности).

Это означает, что утверждение теоремы останется в силе, даже если мы будем растягивать и перекашивать решетку. Например, теорема Пика применима к «иска­ женному Г-образному решеточному многоугольнику, изображенному на рис. 38. Этот многоугольник, так же как и его прототип на рис. 37, содержит 24 узла ре­ шетки на границе и 9 — внутри нее. По формуле Пика его площадь равна 12 + 9 — 1 = 2 0 , если за единицу принять площадь «элементарной ячейки» (на рис. 37 она изображена справа). Правильность этого резуль­ тата легко проверяется прямым подсчетом элементар­ ных ячеек, заключенных внутри многоугольника. Дока­

ford — London, 1950. Русский перевод выполнен с первого издания.

66

качестве полезного (и не лишенного приятности) упраж­ нения. Один из вариантов доказательства можно найти в книге Г. С. М. Кокстера *.

Невольно напрашивается мысль о том, что теорема Пика должна допускать простое обобщение на случай многогранников с вершинами в узлах трехмерной куби­ ческой решетки, однако рис. 39 позволяет быстро рассеять эту иллюзию. На рисунке изображена элементарная ячей­ ка трехмерной кубической решетки, одна из вершин кото­ рой совпадает с началом координат. Рассмотрим реше­ точный тетраэдр с вершинами в точках (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) и (1,1,1). Если вершину тетраэдра перенести в точку (1,1,2), то объем его увеличится. В то же время ни на его ребрах, ни на его гранях, ни внутри его не появится ни одного нового узла решетки. Более того, мы видим, что, перемещая вершину тетраэдра вверх по вертикали, объем тетраэдра можно сделать сколь угодно большим, при этом число узлов решетки, заключенных внутри тетраэдра, а также лежащих на его ребрах и гранях, останется неизменным! Однако если ввести еще одну, вспомогательную, решетку, то

Г. С. М. К о к е т е р, Введение ви геометрию1 c o m e i у п , Мi ’ l ., изднс -во «Наука», 1966, стр. 300—302.

** Подробности приведены в статье Дж. Рива «Об объеме ре­ шеточных полиэдров», опублико­ ванной в Proceedings of the Lon­ don Mathematical Society, 7, № 7, 378—395 (1957).

4W

едините 12 узлов плоской решетки так, чтобы получился Т-образный многоугольник, аналогичный изображенному на рис. 37, но площадью в 10 квадратных единиц. (Из формулы Пика следует, что внутри такого многоуголь­ ника должно содержаться ровно 5 узлов решетки.)

ОТВЕТЫ

Прямая, выходящая из начала координат с угловым коэффи­

На «четно-четном» бильярдном столе шар, выпущенный из на­ чала координат под углом в 45° к бортам, проходит через узлы решетки, координаты которых отличаются на величину, равную удвоенному о. н. д. длин бортов стола. Отметив эти узлы жирными точками (рис. 40), мы увидим, что лишь один из трех возможных

68

Р и с. 42. Решение задачи о Т-образ­ ном многоугольнике.

углов окажется занятым такой точ­ кой. В него-то и попадет шар. Пра­ вило, позволяющее заранее указы­ вать угол, в который попадет шар, формулируется просто. Разделим длины сторон на их о. н. д. Если оба полученных числа нечетны, шар по­

падет в угол стола, лежащий на противоположном началу коорди­ нат конце диагонали. Если одно из чисел четно (оба получив­ шихся числа не могут быть четными одновременно), то шар по­ падет в угол, лежащий на соответствующей этому числу стороне, которая проходит через начало координат. Эти правила допускают обобщения на случай траектории, составляющей с осью х произ­ вольный угол, тангенс которого рационален.

Формулы, позволяющие определять длину траектории шара и число соударений, интуитивно ясны из рис. 41, идея которого за­ имствована из уже упоминавшейся книги Штейнгауза «Математи­ ческий калейдоскоп». Независимо от целочисленных размеров пря­ моугольника мы всегда можем построить квадрат, взяв достаточно большое число его «копий» и расположив их вплотную друг к другу (рис. 41). Длина стороны наименьшего из построенных таким об­ разом квадратов совпадает с общим наименьшим кратным длин сторон рассматриваемого треугольника.

Теперь каждый из прямоугольников мы будем рассматривать как зеркальное отражение смежного прямоугольника, имеющего с ним общую сторону. Тогда диагональ квадрата, соединяющая

рата, будет представлять собой не что иное, как «распрямленную» траекторию шара. Вырезав из тонкой бумаги те прямоугольники, по которым пролегает траектория шара, сложив их по пунктирным линиям и посмотрев на свет, мы увидим, что диагональ превра­ тится в ломаную — подлинную траекторию шара на поверхности бильярдного стола (рис. 41).

Поскольку диагональ AD квадрата есть в то же время гипо­ тенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, каждый из катетов которого равен общему наименьшему кратному длин сторон прямоугольника, то длина траектории равна этому общему наимень­

шему кратному, умноженному на У~2.

Точки на диагонали (за исключением ее концов) соответствуют отражениям шара от бортов бильярдного стола. Нетрудно видеть, что число столкновений определяется формулой

а + Ъ

о. н. д. ’

69