книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Пусть х — сумма интересующего нас ряда:

* = Т + Т + ¥ + Т+ + ••• •

Умножив обе части равенства на 2, получим

2* = 1 + т + т + 1г + ••• •

Нетрудно видеть, что в правой части последнего ра­ венства после 1 стоит первоначальный ряд. Следова­ тельно,

2х = 1 + х,

откуда

х = \ .

Теперь, воспользовавшись полученными знаниями, попы­ таемся проанализировать другую апорию Зенона: «Ахил­ лес быстроногий не может догнать черепаху».

Предположим, что Ахиллес бежит вдесятеро быстрее, чем ползет черепаха, и в начале состязания черепаха имеет 100 м форы. К тому времени когда Ахиллес про­ бежит 100 м, черепаха успеет проползти 10 м. Когда же Ахиллес пробежит и эти 10 м, черепаха уползет вперед на 1 м. Если на преодоление каждого отрезка пути (дли­ ной в 100, 10, 1 м и т. д.) Ахиллес будет затрачивать одно и то же время, он никогда не догонит черепаху. Если же оба участника состязания будут двигаться с по­ стоянными скоростями, Ахиллесу непременно удастся настичь черепаху. Какое расстояние он успеет пробе­ жать к этому моменту? Ответом (в метрах), очевидно, служит сумма ряда

100+ 1 0 + 1 + 0 ,1 + 0,01 + . . . .

Ясно, что она равна 111,111 ... , или ПР/э м. Предполо­ жим теперь, что Ахиллес бежит со скоростью, всемеро превышающей скорость черепахи, которая и на этот раз имеет 100 м форы. Сколько придется пробежать Ахил­ лесу, прежде чем он догонит черепаху?

(Мы оставляем в стороне вопрос'о том, как совре­ менные математики разрешают апории Зенона *. Ра-

* См., например, статью С. А. Яновской «Преодолены ли в со­ временной науке трудности, известные под названием «апории 'Зе­ нона»? в сб. «Проблемы логики» (М., изд-во АН СССР, 1963,

стр. 116—136). — Прим, перев.

10

Рис. 1. Бесконечная последовательность вписанных друг в друга квадратов.

зумеется, ответ здесь существенно зависит от того, какой смысл вкладывается в слово «разрешать». Апории -Зе­ нона поднимают слишком глубокие вопросы, связанные со структурой пространства и времени и анализом по­ нятия движения, чтобы отмахиваться от них или отве­

во многих сборниках задач на смекалку, также легко решаются с помощью объясненного выше искусствен­ ного приема. Предположим, что идеально круглый мяч, падая с высоты 1 м, каждый раз подпрыгивает на вы­ соту, составляющую 7з от предыдущей. Если бы каждый подскок длился 1 с, мяч прыгал бы вечно. Однако вре­ мена подскоков убывают вместе с высотой, образуя схо­ дящийся ряд, поэтому мяч в конце концов перестает подпрыгивать, хотя (теоретически) успевает совершить бесконечное число подскоков. Надо полагать, что чи­ татель без труда сможет определить путь, который

11

успевает пройти идеальный мяч, прежде чем он оконча­ тельно перестанет подпрыгивать.

Неиссякаемым источником рядов рассматриваемого нами типа служат геометрические задачи. Пусть сто­ рона самого большого квадрата на рис. 1 имеет единич­ ную длину. Построим бесконечную последовательность квадратов, вписанных друг в друга таким образом, что вершины каждого последующего квадрата совпадают с серединами сторон предыдущего квадрата. Чему равна площадь всей бесконечной последовательности квадра­ тов? Очевидно, она равна 1 плюс сумма уже знакомого нам ряда (У2 + 4Л + •••)• Иными словами, полная пло­ щадь, занимаемая членами бесконечной последователь­ ности квадратов, равна 2. Лишь немногим труднее за­ дача, предложенная в 1905 г. на ежегодной математи­ ческой олимпиаде в Венгрии. Единичный квадрат разделен на девять равных квадратов, как для игры в крестики и нолики. Центральный квадрат закрашен в черный цвет. Каждый из восьми остальных квадратов в свою очередь разделен, как и исходный квадрат, и каждый центральный квадрат из девяти квадратов «вто­ рого поколения» закрашен в черный цвет. Описанная процедура повторяется неограниченное число р аз*. Чему равен предел площади части исходного квадрата, за­ крашенной в черный цвет (рис. 2)? (Ответы на этот и другие вопросы помещены в конце главы.)

Если ряд не сходится, то его называют расходя­

кого-нибудь ряда меньше предыдущего и все члены по­ ложительны? Должен ли такой ряд непременно схо­ диться? Трудно поверить, но ответ на этот вопрос отри­ цателен. Рассмотрим, например, ряд

известный под названием гармонического ряда. Каждый последующий член этого ряда меньше предыдущего: в пределе члены ряда стремятся к нулю. Тем не менее сумма гармонического ряда неограниченно возрастает!

* Предельная фигура называется «ковром Серпинского». О ее удивительных свойствах рассказывается в книге А. С. Пархоменко «Что такое линия» (М., Гостехиздат, 1954). — Прим, перев.

12

Чтобы доказать это несколько неожиданное утвержде­ ние, сгруппируем члены ряда по два, четыре, восемь

больше Ve, поскольку каждый из входящих в нее членов,

каждой последующей группы также больше ’Д, а по­ скольку число таких групп неограниченно велико, рас­ сматриваемый ряд должен быть расходящимся. Гармони­ ческий ряд действительно расходится, но это происходит удручающе медленно. Например, сумма первых 100 его членов лишь немного больше 5. Чтобы частичная сумма гармонического ряда достигла 100, необходимо взять более 2100 его членов! (Более точно: сумма 2143 первых

Рис . 2. Ковер берлинского.

Чему равен предел части квадрата, закрашенной в черный двет?

13

Р и с . 3. Парадокс сдвинутых кирпичей.

Расстояние между левыми гранями верхнего и нижнего кирпичей может быть сколь угодно велико.

членов гармонического ряда еще меньше 100, а сумма 2144 его членов уже больше 100.) Число это так велико, что нам даже трудно себе его представить. Если каж­ дый член гармонического ряда напечатать на квадра­ тике из бумаги со стороной в 1 см (дроби, выражающие «далекие» члены гармонического ряда с большими но­ мерами, нам пришлось бы набирать микроскопическими цифрами, иначе они не уместились бы на квадратике, но подобное затруднение мы считаем несущественным), то 2100 квадратиками можно было бы покрыть весь земной шар, причем не в один, а примерно в 400 млрд, слоев!

Гармонический ряд возникает и в еще одной занима­ тельной задаче. Если один кирпич уложен на другой, то максимальное расстояние, на которое можно сдвинуть верхний кирпич так, чтобы он не упал с нижнего, будет достигнуто, когда центр тяжести верхнего кирпича бу­ дет проектироваться на боковую грань нижнего кирпича (как показано стрелкой А на рис. 3). Если теперь оба

14

наших кирпича мы поместим на третий, то максималь­ ный сдвиг будет достигнут в момент, когда их общий центр тяжести будет проектироваться на боковую грань нижнего кирпича (как показано стрелкой В на рис. 3). Продолжая укладывать кирпичи с максимально воз­ можным сдвигом, мы получим искривленную колонну, изображенную на рис. 3. Спрашивается, насколько ле­ вая грань верхнего кирпича может быть сдвинута относительно левой грани нижнего кирпича? Может ли верхний кирпич быть сдвинут относительно нижнего на длину кирпича?

Оказывается (как ни трудно в это поверить), что сдвиг верхнего кирпича относительно нижнего может быть сколь угодно велик! Действительно, верхний кир­ пич сдвинут относительно предыдущего на 1/2 своей дли­ ны, второй сверху кирпич сдвинут относительно третьего на ’Д, третий относительно четвертого — на ‘/б своей длины и т. д. Если бы запас кирпичей был неограничен­ ным, то расстояние между левыми гранями самого верх­ него и самого нижнего кирпичей выражалось бы сум­ мой ряда

2 + Т + 1Г + -я + • • • •

Ряд этот представляет собой не что иное, как обычный гармонический ряд, все члены которого умножены на ‘/г- Поскольку сумма гармонического ряда превосходит лю­ бое заранее заданное число, ее половина также нео­ граниченно возрастает. Иными словами, ряд расходится и, следовательно, расстояние между левыми гранями верхнего и нижнего кирпичей может быть сколь угодно большим. Поскольку гармонический ряд расходится мед­ ленно, чтобы достичь даже небольшого сдвига, необхо­ димо очень много кирпичей. Возьмите колоду из 52 карт и положите ее на стол так, чтобы более короткая сто­ рона нижней карты совпала с краем стола. Как пока­ зывают подсчеты, карты можно сдвинуть так, что обрез верхней карты будет выступать над краем стола немно­ гим более 2*Д длины карты (рис. 4).

Гармонический ряд обладает многими любопытными свойствами. Если вычеркнуть все его члены, содер­ жащие цифру 9, то оставшиеся члены образуют схо­

15

дящийся ряд. Сходящийся ряд получится и в том случае, если мы возведем знаменатель каждого члена гармонического ряда в одну и ту же степень п, где п > 1. Изменив знаки (на минус) у членов, стоящих на четных местах, мы также получим сходящийся ряд

сумма которого равна In 2 — числу, несколько меньшему 0,7.... Принимают ли частичные суммы этого ряда когданибудь целые значения (разумеется, отличные от 1)? Ответить на этот вопрос было бы несложно, если бы существовала простая формула, выражающая частичную сумму п первых членов этого ряда как функцию числа п, но такой формулы нет. Однако с помощью довольно тонких рассуждений, использующих соображения чет­ ности, можно показать, что частичные суммы рассматри­ ваемого ряда не принимают целочисленных значений, отличных от 1. (Доказательство этого утверждения было известно еще в 1915 г., а может быть и раньше. Подроб­ нее см. в American Mathematical Monthly за январь

1934 г., стр. 48.)

Р и с 4. Колода карт с максимальным сдвигом.

16

! Ч - 8 + 16 + ... , сумма которого стремится к + оо. Если же члены того же ряда сгруппировать попарно, начиная с первого члена, то есть (1 — 2) + (4 — 8) + ... , то полу­ чится расходящийся ряд — 1— 4 — 16 — 64— ... , сум­ ма которого стремится к —оо! Удивление, вызванное не­ обычными свойствами бесконечных рядов, достигло наи­ высшей точки в 1854 г., когда Риман, известный ныне как один из создателей неевклидовой геометрии, дока­ зал поистине замечательную теорему. Суть ее сводится к следующему: если сумма бесконечного ряда изме­ няется при перестановке или перегруппировке его чле­ нов, то ряд называется условно (или неабсолютно) схо­ дящимся в отличие от абсолютно сходящегося ряда, на сумме которого никак не сказываются любая переста­ новка членов и расстановка скобок. Условно сходящий­ ся ряд всегда содержит отрицательные члены: ведь если бы все его члены были положительными, то такой ряд непременно был бы расходящимся. По доказанной Ри­ маном теореме члены любого условно сходящегося ряда (например, приведенного выше ряда, сумма которого была равна In2) можно всегда переставить так, что его сумма совпадет с любым заранее заданным конеч­ ным числом, рациональным или иррациональным, или даже будет равна + оо или —оо.

Расходящиеся ряды с положительными членами так­ же могут вызвать серьезные трудности, если мы взду­ маем применять к ним правила, справедливые лишь для конечных или сходящихся рядов. Пусть, например,

х = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + . . .

(заметим, что все члены ряда, стоящего в правой части этого равенства, положительны). Тогда

2л: = 2 + 4 + 8 + 16 + . . . .

Нетрудно видеть, что правая часть нового равенства от­ личается от правой части исходного равенства лишь от­ сутствием 1. Следовательно, 2 х = х — 1, откуда х = — 1. Итак, мы «доказали», что + о о = — 1. Нельзя не согла­ ситься с Абелем, который писал в 1828 г.: «Расходя­ щиеся ряды — это измышление дьявола. При любом до­ казательстве опираться на них должно быть стыдно».

18

ОТВЕТЫ

Если скорость Ахиллеса в 7 раз больше скорости черепахи и черепаха сначала имеет 100 м формы, то полное расстояние, кото­ рое успевает пробежать Ахиллес, прежде чем догонит черепаху, равно сумме ряда

Каждый член этого ряда в 7 раз меньше предыдущего. Восполь­ зуемся уже известным нам приемом: обозначим сумму ряда че­ рез х и умножим правую и левую части равенства

Итак, прежде чем догнать черепаху, Ахиллес успевает пробежать

найти, что сумма этого ряда равна 1. Итак, когда, совершив беско­ нечное число подскоков, мяч остановится, пройденный им путь будет равен 2 м.

Венгерская задача о вычислении площади заштрихованной час­ ти квадрата сводится к вычислению суммы ряда

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, зна­ менатель которой равен */»• Для отыскания ее суммы можно вос­ пользоваться нашим искусственным приемом или, что в сущности то же самое, готовой формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

гх

х - 1 ’

где г — знаменатель прогрессии (равный 8/9), а х — ее первый член (равный ‘/е). Таким образом, искомая сумма равна 1. Следова­ тельно, если мы условимся называть операцией разбиение квадра­ тов очередного поколения на 9 равных квадратов и штриховку центрального квадрата, то при неограниченном увеличении числа

19