книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

на две конгруэнтные по­ ловины, а на рис. 9, г — развертка правильного октаэдра, составленная кз гексиамондов.

На рис. 10 показаны составленные из гекси­ амондов фигуры, обла­ дающие двусторонней симметрией или осью сим­ метрии третьего порядка.

Задача об удвоении — построении точных копий каж­ дого из гексиамондов, увеличенного вдвое, с помощью 4 из 12 гексиамондов — легко решается для всех 12 фигур. Все гексиамонды, кроме пистолета, короны и омара, можно получить, составляя различными способами по­

для сфинкса и яхты (копии этих фигур не уравнове­ шены и содержат элементарных треугольников одного цвета на 6 больше, чем другого). Копии всех остальных гексиамондов уравновешены, и способы утроения каж­ дого из них, кроме бабочки, известны. Утроение бабочки, по-видимому, невозможно, но доказать неразрешимость этой задачи пока не уда­

лось.

На рис. 11 показано ре­ шение так называемой «за­ дачи о трех близнецах».

Рис. 12. Одно из решений задачи о составлении ромбоида З Х 11 из гексиамондов.

30

ОТВЕТ

Ромбоид З Х П можно составить из гексиамондов несколькими способами, но ни в одном из известных в настоящее время вариан­ тов не используется «летучая мышь». Одно из таких решений пока­ зано на рис. 12.

ГЛАВА 3

ТЕТРАЭДРЫ В ПРИРОДЕ И В АРХИТЕКТУРЕ

Любые четыре точки (Л, В, С, D) пространства, не лежащие в одной плоскости, можно рассматривать как вершины четырех треугольников (рис. 13). Эти тре­ угольники образуют грани простейшего из многогран­

зывается правильным. Правильный тетраэдр представ­ ляет собой простейшее из пяти правильных Платоновых тел. Оно настолько просто, что было известно еще древ­ ним египтянам, а математики приступили к его изуче­ нию одновременно с изуче­

31

наиболее «острыми» многогранными углами при верши­ нах, частицы, имеющие форму тетраэдра, по мнению пи­ фагорейцев, должны образовывать наименее устойчивую из четырех стихий — земли, воздуха, огня и воды, — об­ ладающую к тому же наибольшей проникающей способ­

ностью.

Со времен пифагорейцев наши знания об окружаю­ щем мире неизмеримо возросли, и все же их гипотеза о частицах, имеющих форму тетраэдра (так же, как и многие другие догадки), в известном смысле оказалась пророческой: тетраэдрические структуры часто встре­ чаются в микромире. Например, атом углерода, без ко­ торого, как известно, невозможны ни органические мо­ лекулы, ни сама жизнь, всегда соединен химическими связями с четырьмя другими атомами, колеблющимися вокруг вершин тетраэдра, в центре которого расположен исходный атом углерода. Так, молекула широко из­ вестного растворителя — четыреххлористого углерода — представляет собой тетраэдр, в вершинах которого на­ ходятся атомы хлора, а в центре — атом углерода. Тет­ раэдральной структурой обладают и решетки многих кристаллов, в том числе кристаллическая решетка ал­ маза. При замерзании воды ее молекулы под действием водородных связей располагаются в вершинах и цент­ рах тетраэдров. Тетраэдральной кристаллической решет­ кой обладает и одна из важных разновидностей медных <руд; ее даже называют тетраэдритом, поскольку она часто встречается в природе в виде крупных хорошо развитых кристаллов, имеющих форму тетраэдра.

Одинаковыми квадратами, прилегающими друг к другу, как клетки шахматной доски, можно покрыть плоскость. Точно так же все пространство можно за­ полнить одинаковыми кубами. Поскольку одинаковые равносторонние треугольники позволяют замостить плос­ кость ничуть не хуже, чем квадраты, может показаться, что и одинаковыми правильными тетраэдрами можно заполнить сплошь все пространство. Это кажется на­ столько очевидным, что долгое время «способности» тет­ раэдра не вызывали никаких сомнений. В своем трак­ тате «О небе» Аристотель утверждал (не приводя при этом никаких доказательств), что правильными тетра­ эдрами можно заполнить пространство. В действитель­ ности же из всех Платоновых тел свойством заполнять

32

пространство обладает лишь куб. Если бы этим свой­ ством обладал тетраэдр, то упаковочные коробки и ящики такой формы уже давно соперничали бы с при­ вычными кубическими емкостями.

Небезынтересно отметить, что правильными тетраэдр рами и октаэдрами (октаэдром называется правильное тело, ограниченное восемью треугольными гранями) можно заполнить все пространство, если располагать их так, как показано на рис. 14, справа. Никакими дру­ гими правильными телами, кроме тетраэдра и октаэдра, заполнить пространство невозможно. Заметим также, что каждый треугольник в решетке, изображенной на рис. 14, справа, служит одновременно гранью и тетра­ эдру, и октаэдру, а к каждой вершине решетки примы­ кают восемь тетраэдров и шесть октаэдров. Эта изящ­ ная решетка нашла широкое применение в строительных конструкциях, созданных архитектором Р. Б. Фуллером. Например, ферма системы Фуллера (сам изобретатель предложил называть ее «октетом») состоит из алюми­ ниевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму правильных тетраэдров и октаэдров. (Увлекательное задание для внеклассных занятий — построить модель таких сот из большого числа одинаковых по длине соломинок или тонких пластмас­ совых трубочек.) Знаменитые «геодезические» сетчатые перекрытия Фуллера по существу представляют со­ бой тетраэдральные решетчатые конструкции, в кото­ рых (так же, как и в «октете») максимальная жесткость достигается при минимальных весе и стоимости.

Фуллер был не единственным (и даже не первым) из известных американских изобретателей, с энтузиазмом относившихся к идее использования рациональной кон­ струкции тетраэдра: его высокой прочности при малом весе. После того как Александр Г. Белл приобрел все­ общую известность как один из изобретателей телефона, его воображение почти целиком поглотили тетраэдры. Дело в том, что в 90-х годах прошлого века все по­ пытки построить самолет, способный оторваться от земли и продержаться некоторое время в воздухе, заканчивались неудачей из-за отсутствия достаточно мощных моторов. Белл полагал, что проблему поле­ тов можно решить, если построить огромный воздуш­ ный змей в виде обтянутого шелком тетраэдрального

молока, сливок и кефира все больше вытесняют стеклян­ ную тару.

Я полагаю, что не выдам военной тайны, если открою еще одно применение тетраэдра в совершенно иной об­ ласти. Во время второй мировой войны использовалось устройство для прокалывания автомобильных шин, изо­ браженное на рис. 16 (его можно было бы рассматри­ вать как модель атома углерода!). У такого «ежа» одна колючка обязательно торчит вверх. Ежей разбрасывали по дорогам, и, как показала практика, благодаря форме они прокалывали шины на максимальную глубину. •

Четырехмерный аналог тетраэдра называется пентатопом. Если центр равностороннего треугольника соеди­ нить отрезками прямых с вершинами, то получится проекция на плоскость каркаса правильного тетраэдра. Точно так же, соединив отрезками прямых центр тетра­ эдра с четырьмя вершинами, мы получим проекцию на трехмерное пространство каркаса пентатопа (рис. 17). Нетрудно заметить, что у пентатопа имеются 5 вершин, 10 ребер, 10 треугольных граней и 5 «клеток» в форме тетраэдра. На проекции, изображенной на рис. 17, мы видим четыре маленькие клетки и одну большую. В са­ мом пентатопе, если он правильный, все клетки конгру­ энтны. Любые пять точек в четырехмерном простран­ стве, не лежащие в одной и той же трехмерной гипер­ плоскости, служат вершинами некоторого пентатопа, а

36

каждое подмножество из четырех вершин служит вер­ шинами одной из его тетраэдральных клеток. Если пять точек расположены в четырехмерном пространстве так, что расстояние между любой парой из них одинаково, то пентатоп, имеющий вершины в этих точках, правиль­ ный. Правильный пентатоп — одно из 6 правильных вы­ пуклых тел, существующих в четырехмерном простран­ стве.

Подобно тому как плоская развертка поверхности тетраэдра состоит из центрального треугольника, к каж­ дой стороне которого примыкает по такому же тре­ угольнику, трехмерная «развертка» гиперповерхности пентатопа имеет вид звездчатого тетраэдра: она состоит из центрального тетраэдра, на каждой из граней кото­ рого воздвигнуто еще по такому же тетраэдру (рис. 18). Если бы мы могли складывать фигуры в четырехмерном пространстве, то пакет для гипермолока имел бы форму пентатопа!

Одно странное и мало известное свойство тетраэдра (ни одно из Платоновых тел, кроме тетраэдра, этим свойством не обладает) лежит в основе удивительного

Ри с . 18. Трехмерная развертка пентатопа.

37

фокуса — распознавания света на ощупь. Прежде всего построим модель правильного тетраэдра (его грани должны быть того же размера, что и равносторонние треугольники на рис. 19). Быстрый и удобный способ посторения такой модельки предложил математик Чарлз У. Тригг. Вырежьте из плотной бумаги или тонкого кар­ тона фигуру, изображенную на рис. 20, перегните ее вдоль всех ребер в одну сторону (например, так, чтобы все внутренние линии превратились только в «хребты» или только в «долины») и из незаштрихованных тре­ угольников сложите тетраэдр. Заштрихованные тре­ угольные клапаны введите в щели, образовавшиеся вдоль некоторых ребер тетраэдра. У вас получится моделька тетраэдра, при изготовлении которой не было использовано ни капли клея. Поставьте модельку на черный треугольник (рис. 19; каждая из цифр на ри­ сунке означает определенный цвет). Повернитесь теперь к доске спиной и попросите кого-нибудь из зрителей перекатить тетраэдр на любое из треугольных полей доски (с одного поля на другое тетраэдр следует пере­ катывать, переворачивая его через ребро, совпадающее с их общей стороной). Когда зритель сочтет себя до­ статочно потрудившимся и остановится, он должен за­ помнить цвет того треугольника, на котором оказался тетраэдр, и, сосчитав медленно до 10, передвинуть тет*

38

раэдр (не переворачивая его!) в исходное положение — на черный треугольник. После этого вы поворачиваетесь, берете тетраэдр, ощупываете его нижнюю грань и назы­ ваете цвет последнего треугольника, на котором он стоял перед возвращением.

Секрет фокуса в равной мере основан на использова­ нии как геометрических свойств тетраэдра, так и одного жульнического приема из арсенала карточных шулеров. Если шулеру в разгаре игры необходимо пометить ка­ кую-нибудь карту, он как бы невзначай пачкает палец и незаметно в определенном месте на ее полях оставляет отпечаток. На краях карт, неоднократно бывших в упо­ треблении, такой отпечаток едва заметен и неотличим от других грязных пятен. Возьмите карандаш и, сильно надавливая грифелем на бумагу, зачертите сплошь не­ большое пятно. Поводите по графиту кончиком пальца и осторожно поставьте отпечаток в угол одной из гра­ ней тетраэдра. Отпечаток должен быть очень слабым, чтобы его никто, кроме вас, не заметил.

«Тайно» помеченный тетраэдр поставьте на черный треугольник так, чтобы отпечаток вашего пальца оказал­ ся у верхней из вершин грани, обращенной к остальной части доски с треугольниками. Положение отпечатка в конце фокуса можно рассматривать как своего рода кодированное сообщение о цвете последнего треуголь­ ника, на котором стоял тетраэдр. Делая вид, будто вы ощупываете нижнюю грань тетраэдра, в действительно­ сти вы просто смотрите на модель. Отпечаток вашего пальца может быть в одном из четырех положений, каж­ дое из которых соответствует своему вполне определен­ ному цвету (рис. 21). Выяснение причин, по которым этот фокус можно показы­ вать, не боясь «осечек», пре­ доставляется читателю в ка­

честве самостоятельного уп­ ражнения.

Рис. 20. Развертка для быстрого изготовления тетраэдра.

89