книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

В заключение приведем несколько задач о тетраэд­ рах. Решить все эти задачи нетрудно, но некоторые из решений будут довольно неожиданными.

1.Правильный тетраэдр рассечен шестью различными плоскостями. Каждая плоскость проходит через одно из ребер тетраэдра и середину противолежащего ребра и делит тетраэдр на две равные части. На сколько частей делят тетраэдр все шесть плоскостей?

2.Всякий ли треугольник, вырезанный из бумаги, можно перегнуть вдоль трех прямых так, чтобы получил­ ся (не обязательно правильный) тетраэдр? Если нет, то сформулируйте условия, при которых из треугольника можно сложить тетраэдр.

3.По стене комнаты, имеющей форму правильного

тетраэдра, из точки А в точку В ползет жук (рис. 22). Ребро тетраэдра имеет в длину 20 футов. Каждая из то­ чек А и В лежит на высоте, опущенной из вершин тре­ угольников, служащих соответственно боковой гранью и основанием тетраэдра, на противолежащую сторону на расстоянии 7 футов от вершины. Какова длина кратчай-

40

Ри с. 22. Задача о жуке.

шего маршрута между точками А и В, которым может следовать жук?

4.Чему равно наиболь­ шее число точек, которые можно разместить на сфе­ ре так, чтобы расстояния между любыми двумя точками были равны?

5.От каждой верши­

ны правильного тетраэдра с длиной ребра 2 см от­

секается по правильному тетраэдру с длиной ребра 1 см. Форму какого геометрического тела будет иметь остаток от большего из тетраэдров?

6.Существуют ли 4 различных числа такого рода, что если их сопоставить граням тетраэдра, то сумма чисел, соответствующих любым трем граням, сходящимся в одной вершине, будет одинакова? Существуют ли 6 раз­ личных чисел, которые можно было бы сопоставить реб­ рам тетраэдра так, что сумма чисел, соответствующих любым трем ребрам, сходящимся в одной вершине, была бы одинакова? В обоих случаях числа могут быть как рациональными, так и иррациональными.

7.Чему равна длина ребра наибольшего правильного

тетраэдра, который можно поместить в коробку, имею­ щую форму куба с ребром длиной 1 дм?

8.Сколько различных тетраэдров можно построить из четырех правильных треугольников, каждый из кото­ рых окрашен в свой цвет? Два тетраэдра считаются оди­ наковыми, если, поворачивая один из них, можно добить­ ся такого положения, при котором аналогичные грани тетраэдров будут окрашены в одинаковые цвета. Тетра­ эдры, получающиеся один из другого путем зеркального отражения, считаются различными.

9.Если каждая из граней правильного тетраэдра окрашена либо в красный, либо в синий цвет, то, очевид­

но, существует лишь 5 различных вариантов раскраски:

41

тетраэдр с красными гранями, тетраэдр с синими гра­ нями, тетраэдр с одной красной гранью, тетраэдр с одной синей гранью и тетраэдр с двумя красными гранями. Сколько различных вариантов тетраэдров можно по­ строить, если каждая из граней выкрашена в красный, белый или синий цвет? Как и в предыдущей задаче, те­ траэдры, отличающиеся лишь положением в простран­ стве, считаются одинаковыми. Те из читателей, кто более основательно изучал математику, могут испробовать свои силы и попытаться вывести формулу для числа различ­ ных тетраэдров в том случае, когда каждая грань окра­ шена в один из п цветов.

ОТВЕТЫ

1. Шесть плоскостей, каждая из которых проходит через одно из ребер и середину противолежащего ребра тетраэдра, делят тетраэдр на 24 части. Эту задачу нетрудно решить, если заметить, что секущие плоскости разбивают каждую грань тетраэдра па 6 треугольников (рис. 23), каждый из которых служит основанием тетраэдра с вершиной в центре большого тетраэдра.

2; Из любого бумажного треугольника, все углы которого ост­ рые, можно сложить тетраэдр.

3. Кратчайший маршрут жука из А и В показан на развертке тетраэдра, изображенной на рис. 24. Он на 0,64... фута короче крат­ чайшего пути, проходящего лишь по двум граням тетраэдра и не имеющего общих точек с третьей гранью.

4. Наибольшее число точек, которые можно расставить на сфере так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было одинаковым, равно четырем. Эти точки служат вершинами пра­ вильного тетраэдра, вписанного в данную сферу.

5. Если от вершин правильного тетраэдра с ребрами длиной 2 см отсечь правильные тетраэдры с ребрами длиной 1 см, то ос­ тавшаяся часть большого тетраэдра будет иметь форму правиль­ ного октаэдра.

Рис. 24. Кратчайший путь из Л в В.

42

43

гранями и три тетраэдра с красно-бело-синими гранями, у которых имеются по две грани одного и того же цвета. Формула для под­ счета числа различных тетраэдров (напоминаем еще раз, что два тетраэдра, переходящие друг в друга при поворотах, считаются тождественными, а два тетраэдра, переходящие друг в друга при зеркальных отражениях, — различными) при условии, что каждая грань может быть окрашена в п различных цветов, имеет вид

п * + 11п2

12

ГЛАВА 4

СЕМЬ КОРОТКИХ ЗАДАЧ

Задачи этой главы в делом несколько проще, чем аналогичные подборки задач, опубликованные в двух предыдущих сборниках.

1. Задача Кольриджа. Кто бы мог подумать, что поэт Сэмюэль Кольридж интересовался занимательной математикой? Тем не менее в его записных книжках, опубликованных в 1957 г., имеется следующая запись: «Задумайте любое число, удвойте его, прибавьте 12, то, что получится, разделите на 2 и вычтите задуман­ ное число. У вас получится 6». Через несколько лет по­ сле того, как была сделана эта запись, Кольридж при­ вел свой простой фокус в газетной статье, посвященной проблемам обучения малышей началам арифметики.

Встречается в записных книжках поэта и еще одна запись, относящаяся к занимательной математике. Вот она: «Предположим, что.некто забрел в сад, в котором имелось три калитки, и решил пройти через них, не пропустив ни одной. Набрав некоторое количество яб­ лок, он отдал половину всех яблок и еще пол-яблока человеку, стоявшему у первой калитки (у каждой ка­

44

Пятак

Рис . 27. Всегда ли пятак может загнать гривенник в ловушку?

лока — человеку, стоявшему у третьей калитки, и при этом не разрезал ни одного яблока».

Интересно, сколько времени потребуется читателю, чтобы найти наименьшее число яблок, удовлетворяющее условиям задачи Кольриджа?

2. Детям до 16 лет... Представьте себе, что перед вами человек, к лодыжкам которого крепко-накрепко привязаны концы трехметровой веревки. Можно ли, не разрезая и не развязывая веревки, снять с этого чело­ века брюки, вывернуть их наизнанку (не снимая с ве­ ревки) и снова надеть их на него «по всем правилам» (то есть не меняя положения верха и низа брюк) ? Рекомендуем ответить на этот «неприличный» топологи­ ческий вопрос теоретически, не прибегая к эксперимен­ тальной проверке.

3. Оптимальная стратегия. Игра с двумя участни­ ками, изображенная на рис. 27, служит особенно на­ глядной иллюстрацией одного принципа, часто имею­ щего решающее значение в эндшпиле таких игр, как шашки, шахматы, и других математических игр на

45

специальных досках. В начале игры пятак лежит на кружке 2, а гривенник — на кружке 15. Играющие де­ лают ходы по очереди, один из них передвигает пятак, другой — гривенник. Ход состоит в том, что монету пере­ мещают вдоль черной линии на соседний кружок. Тот, кто передвигает пятак, ходит первым. Он стремится за­ хватить монету своего противника, поставив в резуль­ тате очередного хода пятак на кружок, занятый гривен­ ником. Чтобы победить, он должен достичь своей цели прежде, чем успеет сделать седьмой ход. Если после шести ходов он не сумеет захватить гривенник, ему засчитывается поражение.

Существует простая стратегия, придерживаясь кото­ рой один из противников всегда может выиграть. Уда­ стся ли вам найти ее?

4. Новая логическая задача. Логическим задачам о лжецах и людях, говорящих одну лишь правду, «несть числа», однако следующий необычный вариант их, на­ сколько известно, ранее не публиковался.

Представьте себе, что перед вами стоят трое людей. Один из них всегда отвечает на вопрос правдиво, другой изрекает только ложь, а ответы третьего постоянно но­ сят случайный характер: иногда он отвечает правдиво, иногда— лжет. Кто из стоящих перед вами людей лжет, кто говорит правду и кто придерживается «смешанной» стратегии, вам заранее неизвестно, хотя стоящие перед вами люди это отлично знают. Каким образом вы с по­ мощью трех вопросов можете установить, «кто есть кто»? Каждый вопрос можно обращать к любому из трех людей. Формулировать его следует так, чтобы ответить на него можно было коротко: «да» или «нет».

5. Зубчатая передача. Механическое устройство, изо­ браженное на рис. 28, придумал Джеймс Фергюсон, шо­ тландский астроном XVIII в., пользовавшийся в свое время широкой известностью как лектор, писатель и изо­ бретатель. Самое удивительное в биографии Фергюсо­ н а— это то, что, хотя он и удостоился избрания в члены Королевского общества, его официальное образование ограничивалось... тремя месяцами грамматической шко­ лы. (Один из биографов Фергюсона весьма красноре­ чиво назвал -свою книгу «История крестьянского маль­ чика, ставшего философом»). Сконструированное Фер­ гюсоном механическое устройство мы приводим здесь

46

0

0

как головоломку, которая после своего решения пре­ вращается в еще более удивительный парадокс.

Шестерня А жестко закреплена на оси и не может вращаться. Если всю систему повернуть за ручку во­ круг нее по часовой стрелке, то шестерня В будет вра­ щаться также по часовой стрелке. Зубцы шестерни В входят в зацепление с зубцами трех более тонких ше­ стерен С, D и Е, каждая из которых насажена на ось независимо от двух остальных. Шестерни А, В и Е имеют по 30 зубцов, шестерня С — 29 и шестерня D — 31 зубец. Диаметры всех шестерен одинаковы.

При повороте всей системы вокруг шестерни А каж­ дая из более тонких шестерен С, D и Е может повора­ чиваться вокруг своей оси либо по часовой стрелке, либо против нее (относительно наблюдателя, смотря­ щего на систему сверху), либо вообще не двигаться. Опишите движение всех шестерен, пользуясь наглядным пособием в виде модели передачи Фергюсона. Если чи­ тателю все же захочется построить модель, то следует иметь в виду, что число зубцов у шестерен не обяза­ тельно должно совпадать с приведенным выше. Необ­ ходимо лишь, чтобы число зубцов у шестерен А и Е было одинаковым, шестерня С имела на один зубец

нях было распространено одно любопытное гадание. Девушка зажимала в руке шесть длинных травинок,

4 7

Ри с . 29. Современный вариант старинного гадания на шести тра­ винках.

концы которых сверху и снизу выступали наружу, а ее подружка наугад попарно связывала сначала верхние, а потом нижние концы. Считалось, что если все шесть травинок окажутся связанными в кольцо, то девушка,, связавшая их, в этом году непременно выйдет замуж.

На том же принципе основана следующая игра (только вместо травинок нам потребуется карандаш и листок бумаги). На листке бумаги проведите шесть вер­ тикальных линий. Первый участник в любом порядке попарно соединяет верхние концы линий, затем пере­ гибает листок пополам, чтобы верхние концы не были видны, и передает его второму игроку. Второй игрок соединяет попарно нижние концы линий так, как по­ казано на рис. 29, после чего листок разворачивают. Если в результате всех манипуляций линии оказались соединенными в кольцо, то второй игрок считается вы­ игравшим (такой случай изображен на рис. 29, справа). Кто имеет больше шансов на выигрыш: первый или вто­ рой игрок? Какова вероятность выигрыша второго игрока?

7. Игра в 8. Мы уже неоднократно рассказывали о знаменитой головоломке Сэма Лойда — игре в 15*. Существует множество аналогичных головоломок. Как

48

правило, они выглядят так. В прямоугольной (в част­ ном случае — в квадратной) коробочке, заполненной квадратными шашками, имеется «пустота», позволяю­ щая перемещать шашки, не вынимая их из коробки. Задача состоит в том, чтобы расположить шашки в определенном порядке.

Во всех гоДоволомках этого типа существует про­ верка на четность, позволяющая быстро распознавать, разрешима ли данная задача: можно ли от начального расположения шашек перейти к конечному или нет. Рассмотрим, например, простейшее нейтральное игро­ вое поле в форме квадрата (рис. 30). Слева числа на шашках идут в порядке убывания, справа — в порядке возрастания. Можно ли перевести левую позицию в правую?

Чтобы ответить на этот вопрос, будем попарно пе­ реставлять шашки до тех пор, пока они не располо­ жатся так, как изображено на рис. 30, справа. При этом следует подсчитывать число сделанных транспозиций. Производить транспозиции можно в любом порядке, при этом совершенно необязательно стремиться мини­ мизировать их число. Если число транспозиций четно (как, например, в рассматриваемом случае), то задача разрешима. При нечетном числе транспозиций решения не существует (то есть одно расположение квадратных шашек нельзя перевести в другое, не вынимая шашки из коробки, а лишь передвигая их).

Займемся теперь поиском оптимального решения. Чему равно наименьшее число ходов, позволяющее ре­ шить задачу, изображенную на рис. 30?

8

7 8

Рис . 30. Игра в 8.

49