книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

операций площадь заштрихованной части единичного квадрата бу­ дет стремиться к 1. Иначе говоря, в пределе весь единичный квад­

если отрезки времени, затрачиваемые нами на последовательные операции, будут образовывать сходящийся ряд.

ГЛАВА 2

ПОЛИАМОНДЫ

В 1953 г. С. Голомб, ныне известный математик, а тогда еще аспирант Гарвардского университета, пред­ ложил называть фигуры, составленные из одинаковых примыкающих друг к другу квадратов, специально при­

ленным из двух одинаковых квадратов, Голомб назвал фигуры из трех квадратов — тримино, из четырех — тет­ рамино и т. д.

Особую популярность у любителей головоломок за­ воевали 12 фигур пентамино, соответствующих 12 раз­ личным способам составления связных фигур из 5 квад­ ратов. О них мы уже неоднократно говорили*. Ком­ бинаторные задачи, возникающие в связи с этими 12 причудливыми фигурками, настолько интересны, что ре­ шение их стало любимым развлечением американцев. На изобретателя пентамино Голомба обрушился нескончае­ мый поток писем: их авторы предлагали новые задачи, пррсили уточнить старые, выясняли подробности. На ра­

гл. 12 и 46. Здесь и далее, когда в ссылке речь идет о предыдущих сборниках математических головоломок М. Гарднера, имеются в виду книги: М. Г а р д н е р , Математические головоломки и развле­ чения, М., изд-во «Мир», 1971; М. Г а р д н е р , Математические до­ суги, М., изд-во «Мир», 1972.

20

известно сегодня о пентамино и их «квадратных» род­ ственниках, в одной тщательно иллюстрированной книге *.

Однако здесь мы рассмотрим «треугольных» род­ ственников полиомино. В книге Голомба о них упоми­ нается лишь вскользь, правда, кое-какие упоминания можно найти в отдельных журналах, но большая часть того, что известно о составленных из равносторонних треугольников аналогов полиомино, открыта лишь в са­ мое последнее время и публикуется впервые. Перед нами обширная и почти совсем неисследованная область, в которой предстоит решить немало важных задач, от­ крыть множество изящных фигур и доказать ряд тонких теорем.

Еще в 1954 г. Голомб обратил внимание на то, что в игру, аналогичную полиомино, можно играть, если воспользоваться фигурами, составленными из равносто­ ронних,треугольников. Математик из Глазго Т. О’Бейрн предложил называть такие фигуры «полиамондами». В качестве этимологического образца для своей номен­ клатуры О’Бейрн избрал терминологию, введенную Голомбом в полиомино. Если алмазом, или диамондом, на­ зывается фигура, составленная из двух равносторонних треугольников, рассуждал О’Бейрн, то фигуру, составлен­ ную из трех равносторонних треугольников, естественно назвать триамондом, из четырех треугольников — тетриамондом. Затем идут пентиамонд, гексиамонд, гептиамонд и n-иамонды более высоких порядков (состоящие из п > 7 равносторонних треугольников). Очевидно, что существует лишь по одной форме диамонда и триамонда.

амонда. (Так же как и при подсчете фигур полиомино, формы н-иамондов, переходящие друг в друга при зеркальных отражениях, принято считать тождествен­ ными.) Различных гексиамондов всего 12 — приятное совпадение с числом различных пентамино. Гептиамонды существуют в 24 вариантах. Число более сложных фигур пока что не установлено.

Всего 12 гексиамондов изображены на рис. 5; названия их, как правило, придуманы О’Бейрном.

* S. W. G о 1 о m b, Polyominoes, N. Y., 1965.

21

Гексиамонды необходимо перечертить на лист картона и аккуратно вырезать, не обращая внимания на штриховку. Лучше всего, если лист картона, из которого вырезаются гексиамонды, будет с обеих сторон одного цвета: это позволит как угодно переворачивать асимметричные гек­ сиамонды. Полезно иметь под рукой лист бумаги с тре­ угольной системой координат для «записи» решений — вычерчивания соответствующих фигур.

Ясно, что число единичных треугольников в фигуре, составленной из гексиамондов, делится на 6. Можно пойти дальше. Раскрасим единичные треугольники в два цвета (на рис. 5 этим цветам соответствуют два вида штриховки). Мы видим, что все гексиамонды, кроме двух последних (яхты и сфинкса), «уравновешены»: они со­ держат по 3 единичных треугольника каждого цвета. Любая фигура, составленная из уравновешенных гекси­ амондов, также будет уравновешенной. Яхта и сфинкс не уравновешены с одинаковым соотношением треуголь­ ников различных цветов — 4:2. Если какая-нибудь фи­ гура содержит лишь один неуравновешенный гексиамонд, то она также будет неуравновешенной, причем треугольников одного цвета у нее должно быть на 2 больше, чем треугольников другого цвета. Если же фи­ гура содержит оба неуравновешенных гексиамонда, то она может быть и уравновешенной (если яхта и сфинкс расположены так, что «компенсируют» друг друга), и неуравновешенной. В последнем случае элементарных треугольников одного цвета в ней должно быть на 4 больше, чем треугольников другого цвета. Эти простые соображения помогают оценить реальность построения различных фигур, позволяя заранее исключать многие конфигурации как невозможные.

Рассмотрим, например, равносторонний треугольник шестого порядка (то есть со стороной, равной 6 едини­ цам), изображенный на рис. 6 вверху. Он содержит 36 единичных треугольников. Это единственный из равно­ сторонних треугольников, лежащих в «пределах дося­ гаемости» 12 гексиамондов (то есть содержащих число элементарных треугольников, не превосходящее 72), число единичных треугольников которого кратно 6. Много часов можно было потратить в безуспешных по­ пытках составить такой треугольник из 6 гексиамондов. Раскрасив же его так, как показано на рис. 6, мы сразу

23

обнаружим, что в нем число элементарных треугольни­ ков одного цвета на 6 больше, чем другого. Поскольку, как мы показали выше, максимальная разность для фигур, составленных из гексиамондов, не может пре­ вышать 4, вполне очевидно, что составить равносторон­ ний треугольник 6-го порядка из гексиамондов невоз­

гексиамондов диамонд меньших размеров невозможно, зато диамонд 6 X 6 можно составить несколькими спосо­ бами. Одно из решений представлено на рис. 7. Оно интересно в двух отношениях: во-первых, все гексиамонды, кроме шестиугольника, примыкают к одной из гра­ ниц параллелограмма, во-вторых, параллелограмм де­ лится на две конгруэнтные половины. Разумеется, эти половинки можно располагать и по-иному, получая фи­ гуры, обладающие двусторонней симметрией.

О возможности построения ромбоидов (параллело­ граммов, у которых все углы отличны от прямых, а сто­ роны, сходящиеся в любой из вершин, не равны) из

амондом в форме ромбоида (гексиамондом-ромбоидом), то рядом с ним в ромбоиде со стороной 2 нельзя будет уложить ни один из остальных гексиамондов. Каждый же из гексиамондов, кроме гексиамонда-ромбоида, де­ лит ромбоид со стороной 2 на две части, содержащие по нечетному числу элементарных треугольников. По­ скольку нечетное число не делится на 6, никакой другой ромбоид со стороной 2, кроме изображенного на рис. 8, составить из гексиамондов невозможно,

25

Рис. 8. Единственный ромбоид со стороной 2, который можно составить из гексиамондов.

2. Если одна сторона ромбоида равна 3, то число элементарных треугольников должно быть кратно 6.

это сложная задача, поэтому я предоставляю ее реше­ ние читателям в качестве упражнения повышенной труд­ ности. Во всех известных решениях (одно из которых приводится в конце главы) отсутствует гексиамонд «ле­ тучая мышь». Я не знаю, существует ли решение, в ко­ тором отсутствует какой-нибудь другой гексиамонд.

Если бы ромбоид 3 X 1 2 можно было сложить из гексиамондов, то понадобились бы все 12 фигур — от

26

3. Если одна сторона ромбоида равна 4, то длина другой стороны должна быть кратна 3. Ромбоид 4 X 3 (уже упоминавшийся ранее как ромбоид 3 X 4 ) , как из­ вестно, можно построить из гексиамондов. Допускает построение и ромбоид 4 X 6 . Ромбоид 4 X 9 можно со­ ставить из гексиамондов многими способами, один из которых изображен на рис. 7 (обращаем внимание на то, что в этот ромбоид входят все 12 гексиамондов). При отражении заштрихованных участков возникают три других решения.

4. Единственным ромбоидом со стороной, равной 5, который можно составить из гексиамондов, является ромбоид 5 X 6 . Задача допускает много решений.

При решении задач на построение из гексиамондов не обязательно ограничиваться «сплошными» фигура­ ми— с тем же успехом можно рассматривать и кольце­ образные фигуры с «пустотами» (такие, как, например, две нижние фигуры на рис. 6). Нетрудно показать, что составить треугольное кольцо из гексиамондов невоз­ можно: для этого достаточно раскрасить элементарные треугольники в шахматном порядке, чтобы подсчитать, что треугольников одного цвета на 6 больше, чем тре­ угольников другого. Шестиугольное кольцо уравнове­ шено, но, как нетрудно заметить, построить его из гексиамондов также невозможно. Действительно, гекси- амонд-шестиугольник может занять в кольце лишь два существенно различных положения — все остальные по­ ложения получаются из них с помощью поворотов или отражений. Какое бы из двух положений ни занимал гексиамонд-шестиугольник, добавив к нему гексиамондаомара, мы разделим остальную часть шестиугольного кольца на две области. Ни в одной из этих областей число элементарных треугольников не кратно 6.

Из гексиамондов были построены фигуры, обладаю­ щие осью симметрии третьего порядка (то есть совпа­ дающие сами с собой при повороте вокруг этой оси на 120°). Существуют шестиугольники второго и третьего порядка (рис. 9 ,а). Трилистник (рис. 9,6) можно сло­ жить из гексиамондов несколькими способами. Если за­ штрихованный шестиугольник пристроить к остальной части трилистника сверху или снизу, получится цепочка из трех одинаковых шестиугольников, выстроенных вдоль прямой. На рис. 9, в показан трилистник, рассеченный

27