книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Рис . 85. Пересчет всех вершин шестиугольного паркета при об­ ходе их по спирали.

Рассмотрим теперь пять символов (рис. 86), кото­ рые Дж. Б. Райн использует в своих экспериментах по изучению экстрасенсорного восприятия (ЭСВ). Какие из этих символов можно начертить на бумаге бесконечно много раз так, чтобы их множество имело мощность континуума? Предполагается, что образуют символы идеальные линии, не имеющие толщины, и что отдель­ ные символы нигде не перекрываются и не пересекаются. (Изображения символов могут и не совпадать по раз­ мерам, но они непременно должны быть одинаковыми по форме.) Оказывается, что все символы, кроме одного, могут образовывать множества мощности континуума. Можете ли вы самостоятельно, не заглядывая в ответ, определить, какой из пяти символов Райна является исключением?

Не так.давно множества мощности К0 и С заинтере­ совали специалистов по космологии. Физик из Мичиган­ ского университета Ричард Шлегель обратил внимание на странное противоречие, возникающее в теории «ста­ ционарного состояния» Вселенной. Согласно этой теории, во всей Вселенной в настоящее время имеется лишь счет­

132

ное множество атомов. (Вселенная считается бесконеч­ ной, хотя «оптический горизонт» ограничивает пределы видимости.) По мере расширения Вселенной число ато­ мов в ней увеличивается. Бесконечное пространство легко «выдерживает» любое конечное число удвоений исходного множества атомов, поскольку множество, со­ держащее вдвое больше элементов, чем счетное множе­ ство, само счетно. (Представьте себе, что у вас имеется счетное множество яиц, разложенных в счетное множе­ ство коробок по одному яйцу в коробке. Переложив яйцо из коробки 1 в коробку 2, яйцо из коробки 2 в ко­ робку 4 и, вообще, яйцо из коробки п в коробку 2п, вы сможете освободить коробки для еще одного счетного множества яиц: оно разместится в коробках с нечетными номерами.) Но если исходное множество атомов удваи­ вать счетное число раз, то получится множество мощно­

сти 2 *\ то есть 2 X 2 X 2 X - • • и т. д. К0 раз. Мы уже знаем, что это не что иное, как мощность континуума. Предположим, бесконечно давно во всей Вселенной име­ лось лишь два атома. Сейчас, после счетного числа удвоений, они «размножились» и превратились в множе­ ство атомов мощности континуума. Но Вселенная, в ка­ кой бы момент мы ее ни взяли, не может содержать множество атомов мощности континуума: любой набор различимых физических величин («сущностей») в отли­ чие от идеальных математических величин не более чем счетен.

В своей статье «Проблема бесконечной материи в ста­ ционарной космологии» * Шлегель указал остроумный выход из создавшегося затруднения. Вместо того что­ бы рассматривать прошлое как уже готовое, завер­ шенное счетное множество конечных интервалов времени

' f r + O f j

Р и с . 86. Пять символов, используемых Райном в экспериментах по ЭСВ.

* Philosophy of Sciences, 32, January 1965, pp. 21—31.

133

(разумеется, совокупность отдельных моментов времени образует континуум, но Шлегель имеет в виду лишь те конечные интервалы времени, на протяжении которых происходит удвоение множества атомов во Вселенной), Шлегель предложил принять прошлое и будущее как бесконечное множество отрезков времени в процессе его «становления»*: на какую бы дату ни назначили на­ чало мира, всегда можно указать еще более раннюю

«сильного взрыва» или Вселенной, испытывающей по­ переменно то стадии сжатия, то стадии расширения). В некотором смысле «начало» мира существует, но мы можем отодвигать его сколь угодно далеко назад, в прошлое. Существует и «конец» мира, но его мы мо­ жем отодвигать сколь угодно далеко в будущее. Воз­ вращаясь назад по времени и уменьшая каждый раз множество атомов во Вселенной вдвое, мы успеваем со­ вершить лишь конечное число «ополовиниваний», по­ этому число атомов во Вселенной, убывая, тем не менее не перестает быть счетным. Продвигаясь вперед по вре­ мени, мы также успеваем совершить лишь конечное число удваиваний множества атомов во Вселенной, по­ этому оно и в будущем всегда остается не более, чем счетным. В каком направлении мы бы ни двигались по времени — в прошлое или в будущее, множество интер­ валов времени, на протяжении которых множество ато­ мов во Вселенной удваивается или делится пополам, никогда не переходит в континуум. Соответственно мно­ жество атомов во Вселенной также остается лишь счет­ ным и никакого противоречия не возникает.

Кантор был убежден, что в построенной им бесконеч­ ной иерархии алефов, каждый из которых получается при возведении 2 в степень, равную предыдущему алефу, представлены все алефы, какие только могут быть. Але­ фов, которые занимали бы промежуточное положение между «ступеньками» иерархии бесконечностей, по Кан­ тору, просто не существует, как не существует и послед­ него, «высшего», алефа.

* Бесконечность в «готовом виде», как нечто законченное, в математике принято называть актуальной бесконечностью в отличие от потенциальной бесконечности — возможности неограниченно до­ бавлять к множеству все новые и новые элементы. — Прим, перев.

134

До конца жизни Кантор безуспешно пытался дока­ зать свою знаменитую «континуум-гипотезу»: К] = С (иначе говоря, не существует бесконечного множества, мощность которого была бы больше мощности счетного множества, но меньше мощности континуума). В 1938 г. Курт Гёдель доказал, что предположение об истинности континуум-гипотезы не противоречит аксиомам теории множеств.

Результат, полученный Коэном в 1963 г., заключался в доказательстве противоположного утверждения: пред­ положение о том, что Si ф С (иначе говоря, между S 0 и С существует по крайней мере один алеф, хотя мы и не имеем ни малейшего понятия о том, как построить бесконечное множество с таким кардинальным числом), также не противоречит аксиомам теории множеств. Ги­ потеза Кантора неразрешима. Подобно постулату о па­ раллельных в евклидовой геометрии, она представляет

Р ис . 87. Решение задачи о символах Райна.

135

собой независимую аксиому: систему аксиом теории мно­ жеств можно пополнить не только континуум-гипотезой, но и ее отрицанием. Так же как принятие и непринятие аксиомы о параллельных Евклида разделили геометрию на евклидову и неевклидову, так и предположения об истинности или ложности континуум-гипотезы делят тео­ рию бесконечных множеств на канторовскую и неканто-

пока сказать трудно.

ОТВЕТЫ

Единственным из пяти символов Райна, который всегда обра­ зует лишь счетные множества, является знак плюс. Из остальных четырех символов нетрудно построить множества мощности кон­ тинуума. Точки на отрезке прямой АВ образуют континуум. На рис. 87 изображены вложенные друг в друга копии каждого из четырех символов, находящиеся во взаимно однозначном соответ­ ствии с точками отрезка АВ. Расположить аналогичным образом

(хотя его и можно сделать сколь угодно малым). Таким образом, плюсы всегда образуют не более чем счетное множество точек *.

ГЛАВА 11

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИСКУССТВО МОРИЦА ЭШЕРА

Среди современных художников в жанре «математи­ ческого искусства» наиболее успешно выступает гол­ ландский художник Мориц Эшер.

«Я часто ощущаю большую близость к математикам, чем к коллегам-художникам», — писал сам Эшер. Ему

* Много интересных сведений о теории множеств можно по­ черпнуть в книжке Н. Я- Виленкина «Рассказы о множествах» (М„ изд-во «Наука», 1965).

136

же приписывают слова: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Его литографии, гравюры на де­ реве, меццо-тинто можно увидеть в кабинетах матема­ тиков и других ученых во всех уголках мира. Некоторые из его работ носят жутковатый, сюрреалистический от­ тенок, но произведения Эшера — это не фантасмагории Сальвадора Дали или Рене Магритта, а тонкие фило­ софские и математические наблюдения. Но, прежде чем рассказать о некоторых удивительных произведениях Эшера, приведем кое-какие сведения о самом художнике.

Мориц Эшер родился в 1898 г. в Голландии. В юно­ сти учился в Школе архитектуры и орнамента в Гар­

в Брюсселе и затем поселился в голландском городе Варне, где жил до конца жизни. Обширную коллекцию работ Эшера собрал внук президента Теодора Рузвель­ та инженер Корнелиус Ван Шаак Рузвельт.

Среди кристаллографов наибольшей известностью пользуются хитроумные орнаменты Эшера, заполняю­ щие всю плоскость. Орнаменты на стенах Альгамбры свидетельствуют о том, сколь искусны были испанские мавры в изобретении узоров, состоящих из периодиче­ ских повторений конгруэнтных фигур. Но мусульман­ ская религия запрещала мавританским мастерам ис­ пользовать в орнаментах изображения живых существ. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации конту­ ров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и че­ ловеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.

На литографии «Рептилии» (рис. 88) маленькое чу­ довище выползает из шестиугольной мозаики, чтобы начать краткий цикл трехмерного бытия. Достигнув выс­ шей точки, — взобравшись на додекаэдр, рептилия вновь возвращается в безжизненную плоскость. На гравюре «День и ночь» (рис. 89) правая и левая части компози­ ции не только зеркально симметричны, но и как бы слу­ жат своеобразными «негативами» одна другой. По мере того как наш взгляд перемещается снизу вверх, квад­ раты полей превращаются в белых птиц, летящих в ночи, и в черных птиц, летящих на фоне светлого дневного неба. На круглой гравюре «Рай и ад» (рис. 90) фигуры

137

Амстердамского университета. Называлась она «Симметрийные аспекты периодических рисунков М. К. Эше­ ра» * и была издана Международным союзом кристал­ лографов.. В ней собраны репродукции 41 орнамента Эшера (многие из них — цветные).

Работами совсем иной категории являются игры с законами перспективы, создание «невозможных» кон-, фигураций. Примерами их могут служить литографии Эшера, воспроизведенные на рис. 91 и 92. Обратите вни­ мание на схематическое изображение куба на литогра­ фии «Бельведер» (на листе бумаги, лежащем на выло­ женном квадратными плитами полу). Точки, в которых скрещиваются ребра куба, отмечены кружками. На остове куба в руках у сидящего мальчика ребра скре­ щиваются самым невероятным (и не реализуемым в трехмерном пространстве) образом. Множество «не­ возможных» деталей имеется и в самом бельведере. Юноша, взобравшийся на самый верх приставной лест­ ницы, висит снаружи бельведера, хотя основание лест­ ницы находится внутри его. Человек в темнице, вероят­ но, сошел с ума, пытаясь разобраться в противоречиях причудливого мира, в котором он оказался по воле ху­ дожника.

В литографии «Восхождение и спуск» (рис. 92) ис­ пользована одна из удивительных («невозможных») фи­ гур, впервые обнаруженных английским генетиком Л. С. Пенроузом и его сыном математиком Р. Пенроузом **. Монахи неизвестного ордена совершают ежеднев­ ный ритуал — нескончаемую прогулку по круговой га­ лерее на крыше своего монастыря. При этом те, кто идет по «невозможной» лестнице во внешнем ряду, все время взбираются вверх, а те, кто шествует во внутрен­ нем ряду, столь же неуклонно спускаются вниз.

«И то, и другое, хотя и не лишено смысла, одина­ ково бесцельно, — комментирует Эшер. — Два мысля­ щих индивидуума (один — на балконе, другой — на лест­

141