книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Ри с . 80, К доказательству тео­

ремы об инвариантности числа оборотов катящейся монеты от­ носительно изменения формы це­ почки монет.

должна состоять не менее чем из 6 монет). Для цепочки, состоя­ щей ровно из 6 монет, формула предсказывает 0 оборотов: в этом

122

случае монета просто заполняет внутреннюю «пустоту», касаясь всех шести монет, образующих цепочку, одновременно. При обходе «разорванной» цепочки из п монет катящаяся монета совершает */з(2я + 4) оборотов вокруг собственного центра.

6. Способ расстановки 10 монет в 5 рядов по 4 монеты в каж­ дом ряду показан на рис. 81.

7. Первая задача-шутка решается так. Чтобы поместить моне­ ту С между двумя касающимися друг друга монетами Л и Л, не прикасаясь к Л и не двигая В, прижмите кончиком пальца моне­ ту В, а монету С щелчком направьте к В. В тот момент, когда С вплотную приблизится к В, но еще не успеет коснуться ее, отпус­

ГЛАВА 10

ИЕРАРХИЯ БЕСКОНЕЧНОСТЕЙ

В 1963 г. Пол Дж. Коэн, 29-летний математик из Стэнфордского университета, нашел поистине удиви­ тельный ответ на одну из великих проблем современной теории множеств: существует ли бесконечное множе­ ство, мощность которого больше мощности множества натуральных чисел, но меньше мощности множества то­ чек на прямой? Чтобы смысл результата, полученного Коэном, был ясен, необходимо сообщить кое-какие све­ дения о самых «бедных» из известных бесконечных множеств — множества натуральных чисел и множе­ стве точек на прямой.

Георг Кантор первым открыл, что существуют не только бесконечные множества, содержащие «больше» элементов, чем множество натуральных чисел (мощ­ ность которого — «количество элементов» Кантор назвал «алеф-нуль» — N0), но и бесконечное множество «типов» таких множеств, отличающихся друг от друга мощ­ ностью. Ведущие математики реагировали на открытие Кантора неодинаково. Анри Пуанкаре назвал канторовскую иерархию бесконечных множеств «болезнью, от которой математика должна излечиться», а Герман

123

Вейль отозвался о последовательности «алефов», как

о«тумане на тумане».

Вто же время Давид Гильберт заявил: «Никто не

сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором», а Бертран Рассел назвал теорию Кантора «величайшим достижением, которым, по-видимому, может похвастать наш век».

В настоящее время иерархия алефов вызывает бес­ покойство лишь у математиков-интуиционистов и неко­ торых философов. Большинство же математиков давно утратили страх перед ними, и доказательства, с по­ мощью которых Кантор установил свои «ужасные ди­ настии» (выражение аргентинского писателя Жоржи Луиса Боргеса), ныне пользуются всеобщим признанием и справедливо считаются одними из наиболее блестя­ щих и красивых в истории математики.

торозской лестнице алефов это бесконечное множество самого низкого ранга. Разумеется, пересчитать по од­ ному все элементы такого множества (оно называется счетным) в действительности было бы невозможно. Мы можем лишь показать, каким образом элементы счет­ ного множества можно поставить во взаимно однознач­ ное соответствие с «номерами» — элементами множества натуральных чисел 1, 2, 3..........Рассмотрим, например, множество простых чисел. Оно бесконечно. Его эле­ менты нетрудно поставить во взаимно однозначное со­ ответствие с натуральными числами:

1 2 3 4 5 6 ...

1 I t t t I

2 3 5 7 11 13 . . .

Следовательно, множество простых чисел счетно (имеет кардинальное число алеф-нуль).

Уже при рассмотрении счетных множеств мы стал­ киваемся с основным парадоксом всех бесконечных мно­ жеств — утверждением о том, что «часть меньше це­ лого», для них неверно. Бесконечные множества в отли­ чие от конечных можно поставить во взаимно однознач­ ное соответствие с их частью, или, если воспользоваться

124

точной математической терминологией, с одним из их «собственных подмножеств» *. Так, множество простых чисел, хотя они и составляют лишь незначительную часть всех натуральных чисел, обладает тем же карди­ нальным числом. Точно так же целые числа составляют лишь малую часть рациональных чисел (к которым от­ носятся все целые числа и дроби, числитель и знамена­ тель которых выражаются целыми числами), но и более «богатое» множество рациональных чисел обладает кар­ динальным числом алеф-нуль.

Существуют разнообразнейшие доказательства того, что множество рациональных чисел счетно. Все они ос­ нованы на том, что рациональные числа тем или иным образом упорядочивают («выстраивают») и ставят во взаимно однозначное соответствие с множеством нату­ ральных чисел. Самый известный способ упорядочения рациональных чисел заключается в том, что их записы­ вают в виде дробей, «развешивают» по узлам бесконеч­ ной квадратной решетки и затем «считают» узлы, об­ ходя их зигзагообразно или по спирали, если решетка содержит не только положительные, но и отрицательные рациональные числа. Другой, несколько неожиданный метод упорядочения и счета положительных рациональ­ ных чисел был предложен американским логиком Чарл­ зом С. Пирсом.

Возьмем две дроби — 0/1 и 1/0 (вторая дробь не имеет смысла, но для наших целей это обстоятельство несущественно). Образуем новую дробь, числитель ко­ торой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей двух исходных дробей, и поместим ее ме­ жду ними: 0/1, 1/1, 1/0. Проделав только что выполнен­ ные операции над каждой парой дробей, стоящих рядом, получим

1 2 1 1 0 ’

В свою очередь эти пять дробей превращаются в девять дробей

0 1 1 2 1 3 2 3 1

1 3 2 3 1 2 1 1 0

Ит . д .

*Собственными подмножествами данного множества назы­ ваются подмножества, отличные от всего множества и пустого множества, не содержащего ни одного элемента. — Прим, перев.

125

В получающейся бесконечной последовательности каждое рациональное число будет встречаться один и только один раз, причем в несократимом виде. Метод Пирса делает излишним вычеркивание таких дробей, как, например, 10/20, эквивалентных более простым дробям, также представляющим рациональные числа. При использовании метода Пирса сократимые дроби не появляются. При использовании же других методов упо­ рядочения рациональных чисел исключение дробей, чис­ литель и знаменатель которых содержат общие множи­ тели, просто необходимо, иначе одно и то же рациональ­ ное число будет сосчитано несколько раз. В методе Пирса происходит постепенное, шаг за шагом, «зама­ зывание щелей» в ряду рациональных чисел, а дроби можно нумеровать в порядке их появления. Пирс обра­ тил внимание на многочисленные любопытные свойства возникающего числового ряда. На каждом шаге цифры, стоящие в числителях, если их брать по порядку слева направо, начинаются с группы цифр, стоявшей в числи­ телях дробей на предыдущем шаге: 01, 011, 0112 и т. д. На каждом шаге цифры, стоящие в знаменателе, совпа­ дают с цифрами, стоящими в числителе, но взятыми в обратном порядке — справа налево. Члены этого ряда тесно связаны с числами Фари (названными так в честь английского геолога Джона Фари, впервые исследовав­ шего их), которым в настоящее время посвящена об­ ширная литература.

Нетрудно доказать, что существуют бесконечные мно­ жества, более «богатые» элементами, чем счетные мно­ жества. Чтобы пояснить основную идею одного из луч­ ших доказательств этого факта, воспользуемся колодой карт. Для простоты начнем с множества, состоящего из трех элементов: ключа, часов и колечка. Каждое под­ множество этого множества условно обозначим тремя картами, выложенными в ряд (рис. 83). Светлый пря­ моугольник (карта, обращенная вниз рубашкой) озна­ чает, что предмет, изображенный над столбцом, при­ надлежит подмножеству, темный прямоугольник (карта, обращенная вверх рубашкой), — что предмет отсут­ ствует. Первое подмножество — это само множество из трех элементов. Затем идут три подмножества, каждое из которых содержит лишь по два элемента. После них следуют три подмножества, содержащих по одному

126

элементу, и, наконец, пустое подмножество, не содержа­ щее ни одного элемента. Число подмножеств конечного множества, содержащего п элементов, равно 2”. Заме­ тим, что эта формула применима и к пустому множеству, поскольку 2° = 1, а пустое множество содержит един­ ственное подмножество — пустое множество.

Применим тот же метод к бесконечному, но счетному множеству (рис. 84, слева). Можно ли подмножества этого множества поставить во взаимно однозначное со­ ответствие с натуральными числами («перенумеро­ вать»)? Предположим, что можно. Каждое подмноже­ ство, как и в примере с множеством из трех элементов, будем обозначать картами, выложенными в ряд (на этот раз бесконечный). Представим себе, что мы каким-то об­ разом упорядочили ряды карт и перенумеровали их по порядку сверху вниз. Можно ли быть уверенными в том, что, продолжая неограниченно долго выкладывать бесконечные ряды карт, мы рано или поздно включим в наш список подмножеств любое подмножество рас­ сматриваемого счетного множества? Оказывается, нет: подмножество, которое ни разу не встретится среди за­ несенных в наш список, можно составить не одним,

абесконечно многими способами. Проще всего убедиться

вэтом, если рассмотреть карты, стоящие на диагонали (на рис. 84 она указана стрелкой), и представить, что

все эти карты перевернуты (то есть карта, лежавшая рубашкой вниз, заменена картой, лежащей рубашкой вверх, и наоборот). «Диагональное» подмножество (пе­ ревернутых) карт не может совпадать с первым под­ множеством нашего списка, поскольку его первая карта обращена вверх не той стороной, которой обращена пер­ вая карта первого подмножества. Не может оно совпа­ дать и со вторым подмножеством, поскольку его вторая карта обращена вверх не той стороной, которой обра­ щена вторая карта второго подмножества. Вообще, «диагональное» подмножество не может совпадать с «-м подмножеством из составленного нами списка, посколь­ ку его п-я карта — это п-я карта «-го подмножества, но только перевернутая. Таким образом, мы построили под­ множество, которое никогда не войдет в список подмно­ жеств, сколько бы мы его ни продолжали. Следователь­ но, наше исходное предположение (о том, что, продол­ жая список подмножеств неограниченно долго, мы рано

128

или поздно включим в него любое подмножество) ложно. Множество всех подмножеств счетного множества обла­ дает мощностью, большей, чем мощность счетного мно­

жества: его кардинальное число равно 2So(2 в степени алеф-нуль). Из проведенного нами доказательства видно, что элементы множества всех подмножеств счетного множества нельзя перенумеровать натуральными чис­ лами, оно обладает более высоким кардинальным чис­ лом и служит примером несчетного бесконечного мно­ жества.

Знаменитый «диагональный» метод Кантора в том его виде, каким мы только что воспользовались, таит в себе приятный сюрприз. Сами того не зная, мы дока­ зали, что множество вещественных (рациональных и иррациональных) чисел несчетно. Рассмотрим отрезок числовой оси от 0 до 1. Каждой рациональной дроби, заключенной между 0 и 1, соответствует некоторая точ­ ка нашего отрезка^ Между двумя любыми рациональ­ ными точками существует бесконечно много других ра­ циональных точек. Тем не менее даже после того, как мы выколем все рациональные точки, останется беско­ нечно много невыколотых точек, соответствующих беско­ нечным непериодическим десятичным дробям, представ­ ляющим такие алгебраические иррациональные числа,

как, например, У 2, и такие трансцендентные иррацио­ нальные числа, как л и е.

Каждой точке на отрезке рациональной или ирра­ циональной прямой можно сопоставить бесконечную де­ сятичную дробь. Использовать десятичную систему счис­ ления совсем не обязательно — двоичная система была бы ничуть не хуже. В двоичной системе каждой точке отрезка можно сопоставить бесконечный набор нулей и единиц и, наоборот, любой бесконечной последователь­ ности нулей и единиц соответствует ровно одна точка отрезка.

Условимся теперь, что каждую карту, лежащую ру­ башкой вниз, мы будем обозначать единицей, а каждую карту, лежащую рубашкой вверх, — нулем. Тогда, по­ ставив перед каждой последовательностью нуль и «двоичную» запятую, мы получим бесконечный список различных двоичных дробей, заключенных между 0 и 1 (рис. 84, справа). «Диагональная» дробь, в которой

130

каждая единица заменена нулем, а каждый нуль — еди­ ницей, в списке не встретится. Итак, мы видим, что взаимно однозначное соответствие существует между тремя множествами: множеством всех подмножеств счетного множества, множеством вещественных чисел (записанных в виде двоичных дробей) и совокупностью точек на отрезке прямой. Этот тип бесконечных мно­ жеств Кантор наделил кардинальным числом С («мощ­ ность континуума»). Кантор считал, что С = Ni (алефодин). Иначе говоря, Кантор считал, что множество то­ чек отрезка прямой (или любого эквивалентного ему множества) — бесконечное множество, ближайшее по мощности к счетному множеству.

Кантор привел простые и изящные доказательства того, что мощностью континуума С обладают такие бесконечные множества, как множество трансцендентных иррациональных чисел (счетность множества алгебраи­ ческих иррациональных чисел также была доказана Кантором), множество точек на бесконечной прямой, множество точек, принадлежащих любой плоской фигуре или всей плоскости, а также множество точек любого трехмерного тела и всего трехмерного, пространства. Переход к пространствам более высокого числа измере­ ний не увеличивает мощности множеств. Точки на от­ резке длиной в 1 см можно поставить во взаимно одно­ значное соответствие с точками, принадлежащими телу в пространстве сколь угодно высокой размерности.

Различие между счетным множеством и множеством мощности континуума играет важную роль в геометри­ ческих задачах, связанных с пересчетом бесконечных множеств различных фигур. Рассмотрим, например, пло­ скость, выложенную правильными шестиугольниками. Чему равна мощность множества вершин шестиугольни­ ков — N0 или С? Оказывается, N0: вершины шестиуголь­ ников легко пересчитать, обходя их по спирали (рис. 85). В то же время множество различных окружностей ра­ диусом в 1 см, которые можно разместить на стандарт­ ном листе писчей бумаги, имеет мощность континуума потому, что мощностью континуума обладает множе­ ство точек, заполняющих любой квадрат в центре листа (отстоящий от краев листа более чем на 1 см), а каж­ дую точку можно рассматривать как центр окружности радиусом в 1 см.