книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

служащего зеркальным отражением ромба на рис. 70. Весьма вероятно, что ваш приятель не заметит подвоха и, пытаясь повторить ваши три хода, вскоре столкнется

ссерьезными трудностями.

Кэтой задаче естественно примыкает другая — об

«опрокидывании» треугольника. Разложим 10 монет в виде треугольника (рис. 71). Это знаменитая «тетрактис» (четверица) пифагорейцев. Задача заключается в том, чтобы, передвигая по одной монете, перевернуть тре­ угольник— обратить его вершиной вниз. Как и в преды­ дущей задаче, новое положение каждой монеты должно однозначно определяться точками ее касания с двумя другими монетами. Чему равно минимальное число хо­ дов, которые необходимо совершить для опрокидывания треугольника? Большинство людей быстро находят реше­ ние из четырех ходов, но опрокинуть треугольник можно и быстрее — за три хода.

Задача об опрокидывании треугольника допускает интересное обобщение. Треугольник из трех монет можно опрокинуть, передвинув лишь одну монету, треугольник из шести монет, — передвинув две монеты. Треугольник из десяти монет, как только что говорилось, можно опро­ кинуть тремя ходами. Можно ли опрокинуть следующий равносторонний треугольник, состоящий из 15 монет, рас­ положенных так же, как 15 бильярдных шаров перед на­ чалом игры, передвинув всего лишь четыре монеты? Оказывается, нельзя: для опрокидывания треугольника из 15 монет требуется совершить 5 ходов. Тем не менее существует удивительно простой способ, позволяющий

112

2 3

по числу монет в треугольнике определять число ходов, необходимых для его опрокидывания. Можете ли вы ука­ зать этот способ?

Пифагорейскую «тетрактис» нетрудно превратить в увлекательную игру — своеобразную разновидность соли­ тера. В солитер обычно играют на крестовидной доске. Традиционной форме той игры посвящена обширная ли­ тература *. Насколько известно, игра в солитер на треугольных досках еще не привлекала к себе должного внимания. Пифагорейская «тетрактис» — с десятью лун­ ками— служит простейшей из нетривиальных, началь­ ных позиций на треугольной доске. Чтобы упростить за­ пись партий, расположите «лунки» на листе бумаги (рас­ стояния между «лунками» должны быть такими, чтобы на них можно было без помех класть монеты, служащие фишками) и перенумеруйте их (рис. 72).

Сняв одну монету с доски, образуйте пустую лунку. Игра продолжается до тех пор, пока на доске не оста­

* См., например, гл. 16 книги Гарднера «Математические до­ суги». — Прим, перев.

113

нется одна монета. Ход в солитере делается так же, как в шашках: монета «перепрыгивает» через соседнюю мо­ нету и занимает следующую за ней пустую лунку. Мо­ нету, через которую перепрыгнула другая монета, сни­ мают с доски. «Прыгать» на треугольной доске можно в шести направлениях: в обе стороны вдоль прямой, па­ раллельной основанию треугольника, и в две стороны вдоль прямых, параллельных его боковым сторонам. Так же как и в шашках, один ход может состоять из цепочки прыжков, следующих один за другим. Методом проб и ошибок можно убедиться в том, что основная задача игры в солитер на треугольной доске — свести число мо­ нет, оставшихся на доске, к одной — разрешима, но, ра­ зумеется, ни один истинный любитель занимательной ма­ тематики не почувствует полного удовлетворения, пока не решит ту же задачу за минимальное число ходов. Вот, например, одна из партий в шесть ходов на треугольной доске с пустой лункой на месте монеты 2:

Однако существует лучшее решение, состоящее лишь из 5 ходов. Читатель, которому удастся найти это реше­ ние, может приступать к игре на треугольной доске боль­ ших размеров — с 15 лунками. Самые короткие из из­ вестных партий на такой доске насчитывают по 11 ходов. До сих пор не ясно, является ли это число минимальным.

А вот задача из совсем иной области занимательной нумизматики. Возьмем две одинаковые монеты и одну из них покатим без скольжения по ободу другой. Сколь­

ко оборотов совершит монета, когда полностью обойдет вокруг неподвижной монеты?

На первый взгляд может показаться, что поскольку периметры монет равны, то подвижная монета, описав полный круг вокруг неподвижной, успеет повернуться один раз. Однако экспериментальная проверка показы­ вает, что такой ответ неверен: в действительности под­ вижная монета, описав круг вокруг неподвижной, повора­ чивается на два полных оборота. «Лишний» оборот воз­ никает вследствие того, что центр вращающейся монеты также описывает окружность. Предположим теперь, что мы катим монету (без скольжения) по периметру сло­

114

почке снаружи, не зависит от формы цепочки? (Для доказательства теоремы необ­ ходимы лишь самые элементарные сведения из геомет­ рии.) Те, кто сумеет доказать это утверждение, сразу же увидят, как воспользоваться полученным доказатель­

позволяющую получать полное число оборотов как функ­

цию п для монеты, катящейся по цепочке изнутри и сна­ ружи.

Монеты удобно использовать в качестве фишек при решении так называемых задач о «посадке деревьев». Вот одна из них. Фермер хочет посадить 9 деревьев так, чтобы они образовали 10 рядов по 3 дерева в каждом ряду. Читатель, знакомый с проективной геометрией, без труда сообразит, что решение этой задачи можно исполь­ зовать в качестве чертежа (рис. 75) при доказательстве знаменитой теоремы Паппа; «Если три точки А, В, С ле­ жат на одной прямой, а три точки D, Е, F — на другой прямой (прямые не обязательно должны быть парал­ лельны, как на рис. 75), то точки пересечения G, Н, I противоположных сторон шестиугольника AFBDCE, вер­ шины которого попеременно лежат то на прямой АВС,

116

Рис . 75. Задача о посадке деревьев и теорема Паппа.

го на прямой DEF, также лежат на одной прямой». За­ дача о посадке деревьев самым тесным образом связана с разделом проективной геометрии, который изучает отношение инцидентности (точка инцидентна любой про­ ходящей через нее прямой, прямая инцидентна любой лежащей на ней точке). Чертеж, с помощью которого в курсах проективной геометрии обычно доказывают зна­ менитую теорему Дезарга, позволяет решить две задачи о посадке деревьев: как посадить 25 деревьев в 10 рядов по б деревьев в каждом ряду и как посадить 19 деревьев в 9 рядов по 5 деревьев в каждом ряду. Задача о де­ ревьях уводит нас в «глубокие воды» комбинаторики. Общего метода, позволяющего решить любые задачи

117

подобного типа, пока не существует, и эта область зани­ мательной математики изобилует нерешенными вопро­ сами.

Но вернемся к монетам. Оказывается, что 10 монет можно расположить в 5 рядов по 4 монеты в каждом

(

118

Р и с . 77. Задача-шутка о трех монетах.

ряду. («Рядом» мы будем называть прямую, проходя­ щую через центры монет.) Пять вариантов решения этой задачи представлены на рис. 76. Каждый из них можно деформировать бесконечно многими способами, не изме­ няя его топологической структуры. На рис. 76 решения представлены в форме, приданной им знаменитым англий­ ским составителем головоломок Генри Э. Дьюдени. Все пять решений на рис. 76 обладают двусторонней симмет­ рией. Существует еще одно, шестое, решение той же за­ дачи, но оно совсем иного топологического типа, чем пять предыдущих. Сумеете ли вы самостоятельно найти это решение?

Задачи и головоломки с монетами открывают широ­ кие возможности для различных розыгрышей, пари и т. п., поскольку во многих из них используются не только те или иные математические факты, но и всякого рода «ло­ вушки».

Расположите, например, четыре монеты в вершинах квадрата и заключите с кем-нибудь пари, что вы, пере­ двинув лишь одну монету, сумеете перестроить монеты в два ряда по три монеты в каждом. Подобное пере­ строение кажется невозможным, но решение задачи три­ виально: достаточно взять любую монету и положить ее на монету, находящуюся на другом конце диагонали квадрата.

А вот еще две задачи-шутки.

П е р в а я з а д а ч а - ш у т к а . Расположите три мо­ неты так, как показано на рис. 77, и попросите кого-ни­ будь поместить монету С между монетами А и В так, чтобы все три монеты оказались расположенными вдоль одной прямой, не двигая при этом монету В, не касаясь монеты А руками, какой-либо иной частью тела или предметом и не дуя на А с тем, чтобы сдвинуть монету с места.

119

В т о р а я з а д а ч а -ш утка . Проведите на листке бумаги вертикальную линию. Можно ли расположить на листке три монеты таким образом, чтобы два герба на­ ходились справа от прямой, а две «решетки» — слева?

ОТВЕТЫ

1. Задача о «вздваивании» ряда из 8 монет — перестройка его

столбик из двух монет нужно «возвести» на одном из концов (на­ пример, поставить монету 7 на монету 10), после чего задача све­ дется к предыдущей. Ряд из 2п монет можно вздвоить за п ходов, выстраивая столбики из 2 монет с одного конца ряда до тех пор,

пока и эта задача не сведется к задаче о «вздваивании» ряда из 8 монет.

2. Перестроить монеты из ромба в круг с соблюдением пере­ численных в условии задачи правил можно следующим образом. Перенумеруем монеты так, как показано на рис. 78. Передвинем

шение общей задачи об опрокидывании равностороннего треуголь­ ника произвольных размеров существенно упрощается, если заме­ тить, что эта задача эквивалентна следующей. Начертим равносто­ ронний треугольник, ограничивающий интересующий нас треуголь­

120

ного треугольника. И в первом, и во втором случае число монет, которые необходимо передвинуть для того, чтобы исходный тре­ угольник из монет опрокинулся, равно частному от деления числа монет на 3 (остаток от деления отбрасывается).

9-ходовой партии пустая лунка в начале игры находится в центре треугольника. Вполне возможно, что минимальных решений с иным расположением начальной лунки не существует. В большинстве

одновременно (рис. 80,6), таким образом «пропускает» на каждой паре монет угол в 4/з -полного угла. Обходя всю цепочку из « мо­ нет, катящаяся монета пропускает дугу в «/3 полных углов. Следо­ вательно, сумма дуг, проходящих ею при одном обходе цепочки, составляет (‘/г« + 1) — lkn — ЧцП + 1 полных углов.' Поскольку, проходя дугу в 1°, катящаяся монета поворачивается вокруг своего центра на угол в 2°, угол, на который она успевает повернуться за

121