книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Я умышленно не указал самой короткой партии в пен­ тамино на доске 5 X 5 , чтобы не лишать читателей удо­ вольствия самостоятельно решить две несложные задачи. Какая партия, которую можно сыграть в пентамино на этой доске, самая короткая, какая — самая длинная?

От обычных, квадратных, досок естественно перейти к прямоугольным. Проведя исчерпывающий анализ всех прямоугольных досок, площадь которых не превышает 36 клеток, Голомб обнаружил, что наиболее удивитель­ ными свойствами обладает доска размером 5 X 6 : пер­ вый игрок на такой доске всегда может выиграть, но лишь при условии, если он сделает правильный первый ход. Читатели, которым четыре предыдущие задачи по­ казались слишком простыми, могут поразмыслить над решением гораздо более трудной задачи: найти тот пер­ вый ход на доске 5 X 6 , который ведет к победе.

Совершенно иной тип задач возникает при попытке заполнить прямоугольник копиями какой-нибудь одной фигуры полиомино. (Асимметричные фигуры разрешается переворачивать любой стороной вверх и использовать в любой из двух зеркально-симметричных форм.) О за­ дачах этого типа ничего не говорится в книге Голомба, и теория их еще далека от завершения.

Первый вопрос, который возникает в этой связи, мож­ но сформулировать так: каковы размеры наименьшего прямоугольника, составленного из одинаковых копий одной из фигур полиомино? Если вы считаете, что данная фигура не может заполнить прямоугольник при любом соотношении сторон, докажите это.

Задача о построении прямоугольников из повторений одной и той же фигуры пентамино была поставлена в 1963 г. Д. Кларнером, в то время аспирантом математи­ ческого факультета Университета Альберта. На следую­ щий год группа студентов, участвовавших в работе орга­ низованной Калифорнийским университетом в Беркли летней математической школы, занялась изучением этой задачи под руководством своего преподавателя Р. Спира. О фигуре пентамино, которой можно заполнить прямо­ угольник, студенты говорили, что она «спрямляема», а саму задачу Кларнера называли «задачей о спрямлении фигур полиомино».

Ясно, что мономино (состоящее из одного квадрата) и домино (состоящее из двух квадратов) спрямляемы,

92

Рис . 56. Задача о спрямлении фигур полиомино.

ма. Доказательство этого утверждения тривиально: как бы мы ни располагали Z-образное тетрамино в левом верхнем углу прямоугольника, правый верхний угол пря­

прямоугольник из большинства фигур пентамино. Дока­ зательство «неспрямляемости» пентамино Т, U, V, W, X, Z, F и N мы предоставляем читателю в качестве само­ стоятельного упражнения. Построить прямоугольник из пентамино I, L и Р совсем несложно. Остается последняя из 12 фигур — пентамино Y. Она труднее других под­ дается анализу. Спрямляемо ли пентамино Y, изобра­ женное на рис. 56, г? Если да, то каков наименьший пря­ моугольник, который можно составить из Y? Если нет, докажите «неспрямляемость» Y.

«Спрямляемость» 35 фигур гексамино (каждая из которых состоит из 6 квадратов) до сих пор подробно не исследована, хотя группа, руководимая Спиром, пришла к заключению, что число спрямляемых гексамино равно

93

Рис . 57. Спрямление наиболее сложной фигуры гексамино и одна из фигур гептамино.

них молено заполнить прямоугольник. Спрямление девя­ той фигуры гексамино сложнее: эта фигура и состав­ ленный из ее копий минимальный прямоугольник изо­ бражены на рис. 57 вверху. Есть основания полагать, что наименьшим прямоугольником для этой фигуры служит квадрат 14 X 14, состоящий из 28 ее копий. (При состав­ лении квадрата копии можно переворачивать любой сто­ роной вверх.)

ОТВЕТЫ

В первой задаче из 33 двухходовых партий в пентамино на доске 4 X 4 , изображенных на рис. 54, нужно было выбрать ту, в которой второй игрок может выиграть, лишь сделав один-един- ственный ход. Нужным свойством обладает партия 26. Для удоб­

ветствующий ход на левой части доски. С другой стороны, если второй игрок поставит на левую часть доски любую фигуру, кроме L-образного пентамино, то первый игрок сможет добиться выиг­ рыша, расположив L-образное пентамипо на правой части доски. Следовательно, второй игрок может одержать победу лишь в том

гую половину доски. Самая короткая партия при игре в пентамино

94

в том случае, если делает первый ход, изображенный на рис. 58, д. Доказать это утверждение непросто, а поместить здесь правильные ответы на все возможные вторые ходы не позволяет их громозд­ кость.

Y-образное пентамино спрямляемо. Наименьший прямоугольник, который можно составить из нескольких экземпляров этой фигуры, показан на рис. 58, е. Существуют 4 различные схемы составления такого прямоугольника.

ГЛАВА 8

ВОСЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ

1. Назойливый поклонник. Одна молодая особа ре­ шила покупаться и позагорать на Круглом озере — искус­ ственном водоеме, названном так за идеально круглую форму. Чтобы избавиться от назойливого поклонника,

95

девушка села в лодку и уплыла к центру озера, где на якоре стоял плот. Незадачливый Ромео решил дожи­ даться на берегу. «Рано или поздно ей все равно при­ дется вернуться на берег, •— рассуждал он, — а посколь­ ку я бегаю вчетверо быстрее, чем она гребет, мне удастся встретить ее в тот самый момент, когда лодка причалит к берегу».

Попав в затруднительное положение, девушка заду­ малась над тем, как ей быть. Она знала, что на суше сумеет легко убежать от своего преследователя, а потому необходимо было разработать такую стратегию, которая позволила бы причалить к берегу в точке, до которой не успеет добежать поклонник. После непродолжительных размышлений девушке, которая была студенткой послед­ него курса математического факультета, пришла в го­ лову удачная идея. Воспользовавшись своими познания­ ми из области прикладной математики, она успешно осу­ ществила остроумный замысел. '

Какой стратегии придерживалась девушка? (Предпо­ лагается, что в любой момент девушка располагает самыми точными сведениями относительно координат той точки озера, в которой она находится.)

2. Топологическая головоломка. Для этой несколько обескураживающей топологической головоломки нужен дверной ключ и кусок прочной веревки длиной в не­ сколько метров. Сложив веревку вдвое, просуньте ее в

зано на рис. 59,6. Теперь разведите концы веревки — один направо, другой налево (рис. 59, в), на левый ко­ нец наденьте ключ и сдвиньте его к двери. После этого закрепите оба конца веревки, привязав их, например, к спинкам двух стульев. Натягивать веревку не надо.

Задача заключается в том, чтобы, манипулируя клю­ чом и веревкой, перевести ключ из точки Р на левом конце веревки в точку Q на ее правом конце. После всех манипуляций веревка должна выглядеть так же, как и тогда, когда ключ находился в точке Р.

3. Головоломка с зубочистками. Эта на первый взгляд безобидная задача по комбинаторной геометрии, заим­ ствованная из одного давно забытого сборника занима­ тельных задач, на самом деле гораздо сложнее, чем мо-

96

Рис . 59. Топологическая головоломка.

Можно ли передвинуть ключ из положения Р в положение Q ?

4 Зак. 799

Р и с . 60. Головоломка с зубочистками.

жет показаться. Сорок зубочисток расположены так, чго образуют очертания шахматной доски 4 X 4 (рис. 60). Требуется убрать наименьшее число зубочисток так, что­ бы периметр любого квадрата на шахматной доске ока­ зался разрушенным. Говоря о «любом» квадрате, мы

различных прямоугольников, из которых

п (п + 0 (2п + I)

6

квадраты. «Интересен и удивителен тот факт, — писал известный английский специалист по математическим головоломкам Генри Э. Дьюдени, — что полное число

98

прямоугольников всегда равно квадрату п-го треуголь­ ного числа *»).

Ответ, приведенный в старом сборнике, оказался пра­ вильным, и я не сомневаюсь, что читатели без особого труда сумеют решить эту задачу. Но смогут ли они сде­ лать еще один шаг, доказав, что найденное ими решение действительно соответствует минимальному числу зубо­ чисток?

Поставленный вопрос отнюдь не исчерпывает всех «глубин» задачи. Следующий шаг, очевидно, должен за­ ключаться в исследовании квадратных досок различных размеров. Случай доски 1 X 1 тривиален. Нетрудно ви­ деть,.что для полного разрушения всех квадратов с доски 2 X 2 необходимо снять три зубочистки, а с доски 3 X Х З — шесть зубочисток. Ситуация с доской 4 X 4 доста­ точно трудна для того, чтобы быть интересной. При рас­ смотрении досок больших размеров трудности быстро возрастают.

Специалист по комбинаторной математике вряд ли по­ чувствует удовлетворение до тех нор, пока ему не удаст­ ся вывести формулу, выражающую минимальное число зубочисток, которые необходимо снять для разрушения всех квадратов с доски п \ п , как функцию числа п, и указать способ, позволяющий получить хотя бы одно ре­ шение для любого п. Затем задачу можно обобщить па случай прямоугольных досок и задать себе вопрос о том, чему равно минимальное число зубочисток, при снятии которых разрушаются контуры .всех прямоугольников,

втом числе и квадратов.

Вкачестве самостоятельного упражнения мы предо­ ставляем читателю решить задачу для квадратных досок

торой имеется всего 204 различных квадрата, не так-го просто.

4. Удивительная прямая. Внутри замкнутой кривой,

совпадает с числом кружков одинакового радиуса, из которых на плоскости можно выстроить треугольник (п — число слоев). (См.

главу 17.) — Прим, перев,

точек. Предположим, что мы выбрали из них наугад 1 000 000 точек. Всегда ли на плоскости можно провести прямую так, чтобы она пересекала нашу замкнутую кри­ вую, не проходила ни через одну из миллиона выбранных точек и при этом делила множество отобранных точек на две равные половины (иными словами, чтобы по лю­ бую сторону от прямой находилось по 500000 отобран­ ных точек)? Оказывается, что такая прямая всегда су­ ществует. Докажите это.

5. Логическая задача. Три игральные карты из одной колоды выложены в ряд на стол вверх рубашкой. Справа от короля находится дама или двойка. Слева от дамы лежит дама или двойка. Слева от карты червовой масти лежит карта пиковой масти или двойка. Справа от карты пиковой масти лежит карта пиковой масти или двойка.

Назовите карты, выложенные на стол.

6. Геометрическая задача Стифена Барра. Пять бу­ мажных прямоугольников (один из них с оторванным углом) и шесть бумажных кружков брошены на стол. Они расположились так, как показано на рис. 62. Назо­ вем вершины прямоугольников и точки пересечения кон­ туров прямоугольников и кружков избранными точками. Можете ли вы указать среди избранных точек четыре набора (по 4 точки в каждом) точек «одного круга», то есть таких, что они лежат на одной окружности?

Например, точками «одного круга» служат вершины прямоугольника, расположенного на рис. 62 справа вни­ зу: через вершины прямоугольника, как известно, всегда можно провести окружность. Можете ли вы указать три других набора точек «одного круга»?

7.Детективная история.

—Странный народ эти математики, — заметил поли­ цейский комиссар, обращаясь к своей жене. — Помнишь,

100

я рассказывал тебе про тот случай в отеле? Так вот. Все недопитые бокалы мы выстроили рядами на столе в кух­ не отеля. В одном из них был яд, и нам хотелось узнать, в каком именно, прежде чем отправлять бокал в дакти­ лоскопическую лабораторию. Разумеется, наши химики могли взять на анализ жидкость и из каждого бокала, но на это ушло бы немало времени и денег. Поэтому мы и хотели сократить число анализов до минимума. Позво­ нили в университет, и те прислали нам на помощь про­ фессора математики. Он пришел, пересчитал бокалы, улыбнулся и сказал:

—Выбирайте любой бокал, какой вам нравится, ко­ миссар. С него и начнем анализ.

—А стоит ли так делать? — спросил я. — Ведь след­ ствию дорога буквально каждая минута.

— Стоит, — ответил он. — То, что я предлагаю, ве­ дет к быстрейшему установлению истины. Прежде всего необходимо взять на анализ пробу из одного бокала. Из какого именно — безразлично.

— А сколько бокалов стояло на столе? — спросила у комиссара жена.

Р и с . 62. Три набора из четырех точек, лежащих на одной окружности.

101